数学分析(二)试题及答案

（十六）数学分析2考试题

一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分）

1、函数/（X）在［a,6］上可积的必要条件是（）

A连续B有界C无间断点D有原函数

2、函数;'（X）是奇函数，且在卜2旬上可积，贝I］（）

A[f(x)dx=2，f(x)dxBff(x)dx=0

J-aJ。J-a

(

»af(x)dx=-2*1af(x)dxDpa[f(x)dx=2/(〃)

J-aJOJ-a

3、下列广义积分中，收敛的积分是（）

pl1p+co]p+oo.pl]

A—^dxB—f=dxCsinxJxD—7dx

J。4J'GJ°J」/

0000

4、级数£。“收敛是£an部分和有界且lim%=0的()

A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件

5、下列说法正确的是（）

000000000000

A和收敛，也也收敛B2>“和»”发散，»“+勿)发散

n=ln=ln=\n=\n=\n=\

0000000000

c收敛和“发散，£（。“+2）发散收敛和发散，

n=\n=ln-1n=ln=l

00

2发散

n=l

00

6、2。及（％）在［］，句收敛于3（x）,且a（x）可导则（）

n=\

00

AZ%(x)=a(x)Ba(x)可导

n=l

co人boo

cWjan=ja(x)dxDZ%(x)一致收敛，则a(x)必连续

n=ln=l

7、下列命题正确的是（)

00

在［a，6］绝对收敛必一致收敛

n=\

co

BZ%(x)在b,b\一致收敛必绝对收敛

n=l

00

C若limI。“(尤)1=0,则£a“(x)在［a,C必绝对收敛

ns

n=l

co

D£a“(x)在［a,b\条件收敛必收敛

n=l

001

8、y(-i)n——"+i的和函数为

士2〃+l

KexBsinxCln(l+%)Dcosx

9、函数2=ln(x+y)的定义域是()

A{(x,y)|x>0,y>0}B{(x,y)|y>-x}

c{(x,y)||x+，>0}D{(x,y)|x+ywO}

10、函数Hx,y)在(刈,，为)偏可导与可微的关系()

A可导必可可导必不可微

C可微必可导D可微不一定可导

二、计算题：(每小题6分，共30分)

1、jf（x）dx=4,求L#（2，+1）办:

1

2、计昇dx

b2+2x+x2

ooioo/_i\n

3、计算Z—x"的和函数并求Z匚人

n=l〃n=\〃

4、设/一2%z+y=O,求一

&（i,i,i）

求㈣吃

5、

y-0

三、讨论与验证题：(每小题10分，共20分)

x—y

1、讨论/Uy）=孙/+/（尤,y）H（0。）在（0,0）点的二阶混合偏导数

0（x,y）=（0,0）

007nOn2nY

2、讨论y（-i）n+i的敛散性

n=2n

四、证明题：（每小题10分，共30分）

1、设/i(x)在［a,6］上Riemann可积,

/+I(x)=［E,(x)dx("=L2,…)，证明函数列｛/“(x)｝在［a,6］上一致收敛于0

Ja

3、设/(X)在［石，6］连续，证明j/(sinx)tZx=~^/(sinx)Jx,并求

产xsinx.

----------^—ax

J01+cos%

参考答案

一、1、B2、B3、A4、c5、C6、D7、D8、C9、C10、C

二、1、£V(2x2+V)dx=f(2x2+l)J(2x2+1)(3分)令〃=2/+1,

£xf(2x2+l)t&=1£f(u)du=2(3分)

产1rAiA

2、--------dx=lim-----------d(l+x)=limarctan(l+x)

b2+2x+x2-----a"。1+(1+%)25o4"分)

CO1

3、解：令/(x)=y-xn,由于级数的收敛域［-1,1)(2分)，

〃=in

1I户1

f(x)=y=----,/(%)=［-----dt=ln(l-x)(2分)，令x=-l,得

Zi1-xJQ1-t

尸二皿2

〃=1H

2z

2

4、解：两边对x求导3ZZX-2z-2xzx=0(3分)z=--------(2分)

%3Z2-2X

&(i,i,i)

5、解：。9三$区一5分）叫"=。（1分）

yf0

由于产-2,产2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2,2）（3分）

x4+4x2y2-y2

22

,-,22、，x+y^0

三、1、解、£（x,y）=<(x+y)-(2分)

0x2+y2=0

x-4xy--y-

x----------；厂+厂2w20“公、

人（x，丁）=<(x2+y2)2(4分)

0%2+/=0

丸(。,。)=11m=

dydx与一。Ay

2

azr//Ax,o)-/v(o,o)

-----(0,0)=lim------------------=1(6分)

dxdy醺―°Ax

I2-sin2〃丫

2、解：由于limqK—l严--------|=2sin2x(3分)，即Zsh?%<1级数绝对收

Vn

敛2sin2x=l条件收敛，2sin2x>i级数发散（7分）

所以原级数发散（2分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：因为力0）在［a,6］上可积，故在［a,6］上有界，即三加>0,使得

|/；（x）|<M（Vxe［a,M）,（3分）从而优（刈（］］力⑺|川VM（x—a）一般来

说，若对〃有i/（x）K"胃口（5分）则上（小所

以｛<（%）｝在［石，句上一致收敛于0（2分）

（*a+Tpata

£f（x）dxx=T+/［f«+T）d（t+T）=「f（M（2）（4分）

将式（2）代入（1）得证（2分）

2、/叫，〉一。分）则啜+焉=%”-浮$=。（3

分)

3、证明：令x=7l—t

J。xf(sinx)dx=-J(»-%)/(sin(»-%))力=〃])f(sint)dt-"(sin/)力得证(7

八、yxsr•nx,7isi•nx,2.八、

分)-------dx=—\------^—dx=—(3分)

Jo1+cos2x2Jo1+cos'x8

(十七)数学分析2考试题

二、单项选择题(从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2

分，共20分)

1、函数/(x)在［a,b\上可积的充要条件是()

A>0,>0和>0使得对任一分法，当()<时，对应于।的

那些区间必长度之和Z

B>0,>0,>0使得对某一分法，当()<时，对应于i的那些

区间X长度之和工Xi<

C>0,>0使得对任一分法，当()<时，对应于i的那些区间

Xi长度之和工Xi<

D>0,>0,>0使得对任一分法，当()<时，对应于的

那些区间不长度之和工x,<

d

2、函数/(%)连续,则在［a,6］上;f(t)dt=()

dx"

A/(2x)B2/(2%)C2/(%)D2/(2%)-/(x)

叶公=

4、()

A-2B2C0D发散

00

则z%(

4、limanw0,)

00n=l

A必收敛B必发散C必条件收敛D敛散性不定

5、若级数是£*更序级数，则)

n=ln=l

000000

A>4和，6“同敛散B可以发散到+8

n=ln=ln=l

QO000000

c若z%绝对收敛，£么也收敛D若条件收敛，£包也条件收敛

n=ln=ln=ln=l

00

6、X。,。）在1句一致收敛，且d（x）可导（方1,2…），那么（）

n=l

00

A尸（x）在［a,6］可导，且/'（%）=X。"（》）

n=l

00

Bf（x）在［a,6］可导，但/‘（X）不一定等于Za〃（x）

n=l

00

cZa“（x）点点收敛，但不一定一致收敛

n=l

00

DZan（x）不一定点点收敛

n=l

00

7、函数项级数Z%（x）在。上一致收敛的充要条件是（）

n=l

A>0,N（>>0,使m>〃>N有|%+i（x）+…区〃（刈<£

B>0,N>0,使ni>n>NW|«„+1（x）+---am（X）|<E

C>0,N（）>0,使N有L+］（x）+…区〃（刈<£

D>0,N（>>0,使N有L+］（x）+…%（刈<£

001

8、—1）"的收敛域为（）

n=l〃

A（-1,1）B（0,2］C［0,2）D［-1,1）

9、重极限存在是累次极限存在的（）

A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件

3f（x,y）

10、（两加一'）

dx

Alim+&，%+A,）-/（/，%）BlimA/+醍%）-/（/，%）

ArfOA%-Ax

（

Clim于X。+■%+NO-/Qo+—，%）D11m/（Xo+-，%）

A%-Ax

三、计算题：（每小题6分，共30分）

risinxcosx+1,

1、--------；----ax

L1+X2

2、计算由曲线y=x+l,y=0,孙=2和x=e?围成的面积

3、求邛一的幕级数展开

5、已知z=/(尤+y,孙)J(〃,v)可微，求丁】

oxoy

6、求/(x,y)=土二］在(0,0)的累次极限

x+y

三、判断题(每小题10分，共20分)

1、讨论XIncos工的敛散性

n=3几

8Yn

2、判断Z—^7的绝对和条件收敛性

四、证明题(每小题10分，共30分)

1、设尸(x)是［-a,a］上的奇函数，证明J：f(x)dx=0

co4n

2、证明级数y=V——满足方程丫⑷=丁

M(4初

3、证明6为闭集的充分必要条件是£是开集。

参考答案

一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B

,r1sinxcosx+1,psinxcosx,p1,，八、______sinxcosx

二、1、解：--------；——dx=----------dx+--------dx（2分）由于-------

L1+x2L1+x2^l+x21+x2

为奇函数J：疝AC；s,x=0（2分）—二dx=arctanx|\=工（2分）所以积分值为

।1+尤1+x2

-（1分）

2

2、解：两曲线的交点为（1,2）（2分）

田2

所求的面积为：1/222+［-dx=6（4分）

Jix

Yx

3、解：由于e'=l+%+—+-----+…（3分）

2!nl

4

2X（一1）"必"

€—1-XH-----F,•---------F•••（3分）

2!nl

JzJ2z

4、解：—=fi+f2y=fi+f2x（3分）——=fn+f2+（x+y）fn+xyf22

oxoyoxoy

（3分）

「九一y「九1—八、

5、解:lrim-九-一--丁-=lrim-一--V-=-1,1（3分）lim-----=lim—=l（3分）

%-oy-ox+yy-。yy-oxfox+yy-。x

Jl兀281

三、1、解:由于lncos3~J（6分），又X和收敛（2分）

n2n2n-1"

所以原级数收敛（2分）

n

2、解：当|x|<l时，有一x一