期末复习（压轴54题22个考点）（解析版）

期末复习（压轴54题22个考点）一．Venn图表达集合的关系及运算（共1小题）1．用集合语言表示右图中的阴影部分，正确的是（）A．∁UB B．A∪B C．A∩（∁UB） D．A∩B【答案】C【解答】解：阴影部分的元素a满足：a∈A且a∉B，∴阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）．故选：C．二．不等关系与不等式（共1小题）（多选）2．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等式中正确的是（）A． B． C．ac＜bc D．|c|a＜|c|b【答案】AC【解答】解：因为a＞b＞0，c＜0，对于A，，所以，故正确；对于B，因为bc＞ac，所以ab﹣bc＜ab﹣ac，即b（a﹣c）＜a（b﹣c），两边同时除以a（a﹣c），得，故错误；对于C，因为a＞b＞0，所以因为，又因为c＜0，所以，即，所以ac＜bc，故正确；对于D，当c＝﹣1时，|c|a＝|c|b＝1，故错误．故选：AC．三．基本不等式及其应用（共7小题）3．若正实数x，y满足2x+8y﹣xy＝0，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴，∴，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立，∴．故选：D．4．若a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，则（）A．ab的最小值为 B．ab的最大值为 C．4a+b的最小值为6 D．a+b的最大值为【答案】C【解答】解：由于a＞0，b＞0，且（4a﹣1）（b﹣1）＝4，故4ab﹣4a﹣b+1＝4，整理得，当且仅当b＝4a时取等号，即，故，即或（舍去），此时b＝4a＝3，所以4a+b，∴4a+b的最小值为6．故选：C．5．已知实数a＞0，b＞0，且满足（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）恒成立，则a2+b2的最小值为（）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解答】解：依题意（a﹣1）3+（b﹣1）3≥3（2﹣a﹣b）＝3（1﹣a）+3（1﹣b），即（a﹣1）3+3（a﹣1）≥﹣[（b﹣1）3+3（b﹣1）]＝（1﹣b）3+3（1﹣b），设f（x）＝x3+3x，f（x）是奇函数且f（x）在R上递增，所以f（a﹣1）≥f（1﹣b），即a﹣1≥1﹣b，a+b≥2，由基本不等式得，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a2+b2的最小值为2．故选：A．（多选）6．下列命题中是假命题的有（）A．函数的最小值为2 B．若x2≤1，则x≤1 C．不等式ax2+ax﹣1＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的范围是（﹣4，0） D．若a＞b＞0，则【答案】ACD【解答】解：A．当x＝﹣1时，f（﹣1）＝﹣2，故错误；B．因为x2≤1，解得﹣1≤x≤1，故正确；C当a＝0时，不等式显然恒成立，故错误；D当c≤0时，，故错误．故选：ACD．（多选）7．已知a，b均为正实数且满足，则下列结论正确的是（）A．ab≤12 B．a+3b≥12 C． D．【答案】BC【解答】解：因为a＞0，b＞0，1＝，当且仅当a＝3b，即b＝2，a＝6时取等号，所以ab≥12，A错误；a+3b＝（a+3b）（）＝6+＝12，当且仅当a＝3b，即b＝2，a＝6时取等号，B正确；＝，当且仅当a＝3b，即b＝2，a＝6时取等号，C正确；当a＝，b＝3时，＝，D显然错误．故选：BC．（多选）8．下列选项正确的是（）A．若a≠0，则的最小值为4 B．若x∈R，则的最小值是2 C．若ab＜0，则的最大值为﹣2 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为6【答案】CD【解答】解：当a＜0时，A显然错误；令t＝，则t，所以＝＝+＝t在[，+∞）上单调递增，故当t＝时，上式取得最小值，B错误；ab＜0，则＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2，当且仅当a＝﹣b时取等号，C正确；正实数x，y满足x+2y＝1，则＝＝2+＝6，当且仅当x＝2y且x+2y＝1，即x＝，y＝时取等号，D正确．故选：CD．（多选）9．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则下列结论正确的是（）A．xy的取值范围是（0，1] B．x+y的取值范围是[2，3] C．x+2y的最小值是 D．x+5y的最小值为【答案】AC【解答】解：对于A，因为x＞0，y＞0，所以，当且仅当x＝y时取等号，由x+y+xy﹣3＝0⇒3﹣xy＝x+y，即，解得，即0＜xy≤1，A正确；对于B，由，当且仅当x＝y时取等号，得（x+y）2+4（x+y）﹣12≥0，所以x+y≥2，又3﹣（x+y）＝xy＞0，所以x+y＜3，即2≤x+y＜3，故B错误；对C选项，因为x＞0，y＞0，x+y+xy﹣3＝0，则x（y+1）＝﹣y+3，得，结合y＞0，则0＜y＜3，所以，当且仅当，即时等号成立，C正确；对于D选项知：，当且仅当时，即，但由于y+1＞1，因此等号不成立，故D不正确．故选：AC．四．二次函数的性质与图象（共1小题）10．已知函数f（x）＝x2﹣2x+a，g（x）＝ax+5﹣a．（1）若函数y＝f（x）在区间[﹣3，0]上存在零点，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x1∈[﹣3，3]，总存在x2∈[﹣3，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）[﹣15，0]；（2）（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）．【解答】解：（1）由题知，f（x）＝x2﹣2x+a，因为y＝f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以函数f（x）在[﹣3，0]上单调递减，因为函数y＝f（x）在区间[﹣3，0]上存在零点，所以，解得﹣15≤a≤0，所以实数a的取值范围为[﹣15，0]．（2）记函数f（x）＝x2﹣2x+a，x∈[﹣3，3]的值域为集合A，g（x）＝ax+5﹣a，x∈[﹣3，3]的值域为集合B，因为对任意的x1∈[﹣3，3]，总存在x2∈[﹣3，3]，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以A⊆B，因为y＝f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以当x∈[﹣3，3]，f（x）min＝f（1）＝a﹣1，f（x）max＝f（﹣3）＝a+15，得A＝{y|a﹣1≤y≤a+15}，当a＝0时，g（x）的值域为{5}，显然不满足题意；当a＞0时，g（x）的值域为B＝{y|5﹣4a≤y≤5+2a}，因为A⊆B，所以，解得a≥10；当a＜0时，g（x）的值域为B＝{y|5+2a≤y≤5﹣4a}，因为A⊆B，所以，解得a≤﹣6，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[10，+∞）．五．一元二次不等式及其应用（共2小题）11．设函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）．（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），求a，b的值；（2）若f（1）＝2，a＞0，b＞0，求的最小值和相应的a，b的值．【答案】（1）a＝﹣3，b＝2；（2）当且仅当时，的最小值为9．【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），由不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，1），所以a＜0且ax2+（b﹣2）x+3＝0的两根分别为﹣1，1，则，解得a＝﹣3，b＝2．（2）由f（1）＝2，可得a+b﹣2+3＝2，即a+b＝1，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为9．12．设函数y＝ax2+（b﹣2）x+3．（1）若关于x的不等式y＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求y≥4的解集；（2）若x＝1时，y＝2，a＞0，b＞0，求的最小值．【答案】（1）{1}；（2）9．【解答】解：（1）根据题意，不等式y＝ax2+（b﹣2）x+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，则ax2+（b﹣2）x+3＝0的两个根分别是﹣1，3，则，解得，故y＝ax2+（b﹣2）x+3＝﹣x2+2x+3≥4，x2﹣2x+1≤0，解得x＝1．所求解集为{1}．（2）x＝1时，y＝2，即a+b+1＝2，所以有a+b＝1，那么＝，当且仅当，即时，取等号．故的最小值为9．六．函数的值域（共1小题）（多选）13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[2.71]＝2，[﹣3.6]＝﹣4，定义函数：f（x）＝x﹣[x]，则下列结论正确的是（）A．f（﹣0.6）＝0.4 B．当2≤x＜3时，f（x）＝x﹣2 C．函数f（x）的定义域为R，值域为[0，1） D．函数f（x）是奇函数且为增函数【答案】ABC【解答】解：A选项：f（﹣0.6）＝﹣0.6﹣[﹣0.6]＝﹣0.6﹣（﹣1）＝0.4，故A正确；B选项：当2≤x＜3时，[x]＝2，即f（x）＝x﹣2，故B正确；C选项：函数f（x）＝x﹣[x]定义域为R，∵x﹣1＜[x]≤x，∴0≤f（x）＜1，即f（x）值域为[0，1），故C正确；D选项：f（0）＝0﹣[0]＝0，f（x）＝x﹣[x]，f（﹣x）＝﹣x﹣[﹣x]，又∵f（x）+f（﹣x）＝（[x]+[﹣x]），当x＝0.1时，f（x）+f（﹣x）＝﹣（[0.1]+[﹣0.1]）＝1≠0，∴f（x）不是奇函数．故D错误．故选：ABC．七．函数奇偶性的性质与判断（共6小题）14．已知函数．下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A．函数f（x）是奇函数 B．函数f（x）在R上是增函数 C．函数f（x）的值域是 D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根【答案】D【解答】解：因为函数的定义域为R，对于A，∵，且f（x）+f（x）＝0，∴函数f（x）是奇函数，A选项正确；对于B，函数，令x1＜x2，，∵x1＜x2，∴，而，，∴，即f（x1）＜f（x2），因此函数f（x）在R上是增函数，B选项正确；对于C，函数，∵1+ex＞1，∴，则，∴，即，所以函数f（x）的值域是，C选项正确；对于D，由B可知函数f（x）在R上是增函数，因此关于x的方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，D选项错误．故选：D．（多选）15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.3]＝﹣3．函数，则下列说法正确的有（）A．G（x）是偶函数 B．G（x）的值域是{﹣1，0} C．f（x）是奇函数 D．f（x）在R上是增函数【答案】BCD【解答】解：由高斯函数的概念可知，对于A，G（1）＝[f（1）]＝0，G（﹣1）＝[f（﹣1）]＝﹣1，G（1）≠G（﹣1），则函数G（x）不是偶函数，A错误；对于B，f（x）＝﹣＝﹣，由1+2x＞1，得﹣＜f（x）＜，即G（x）的值域是{﹣1，0}，B正确；对于C，因为，其定义域为R，且，满足f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，C正确；对于D，，因为y＝1+2x是增函数，故y＝为减函数，y＝f（x）＝﹣在R上是增函数，D正确．故选：BCD．16．已知y＝2x+a•2﹣x（a为常数，a∈R）（1）讨论该函数的奇偶性；（2）当该函数为偶函数时，记y＝f（x），若方程f（2x）﹣kf（x）＝3在x∈[0，1）上有实根，求实数k的取值范围．【答案】（1）a＝1为偶函数，a＝﹣1为奇函数，当a≠1且a≠﹣1时为非奇非偶函数；（2）．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝2x+a⋅2﹣x的定义域为x∈R，又∵f（﹣x）＝2﹣x+a⋅2x，∴①当f（﹣x）＝f（x）时，即2﹣x+a⋅2x＝2x+a⋅2﹣x时，可得a＝1，即当a＝1时，函数f（x）为偶函数；②当f（﹣x）＝﹣f（x）时，即2﹣x+a⋅2x＝﹣（2x+a⋅2﹣x）＝﹣2x﹣a⋅2﹣x时，可得a＝﹣1，即当a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．当a≠1且a≠﹣1时为非奇非偶函数．（2）由（1）可得，当函数f（x）为偶函数时，a＝1，即f（x）＝2x+2﹣x时，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2，由题可得：（2x+2﹣x）2﹣2﹣k（2x+2﹣x）＝3，则有（2x+2﹣x）2﹣k（2x+2﹣x）﹣5＝0，令t＝2x+2﹣x，∵x∈[0，1），∴2x∈[1.2），，又∵，当且仅当时，等号成立，根据对勾函数的性质可知，，即，于是原问题将转化成t2﹣kt﹣5＝0在上有解的问题．根据求根公式：，根据韦达定理，t1t2＝﹣5＜0，说明两个根异号，令，，，即t1＞t2，说明t2是负数根，故只可能，，，∴，可得k的取值范围为．17．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝3x+ln（x+1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（3x﹣1）+f（1﹣x2）≥0．【答案】（1）（2）．【解答】解：（1）∵当x∈[0，1）时，f（x）＝3x+ln（x+1）当﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，可得f（﹣x）＝3（﹣x）+ln（﹣x+1），又∵f（x）是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[3（﹣x）+ln（﹣x+1）]＝3x﹣ln（﹣x+1），综上可得：f（x）＝；（2）对任意的x1，x2∈[0，1），且x1＜x2，则0＜x1+1＜x2+1，3x1＜3x2，且y＝lnx在定义域内单调递增，可得ln（x1+1）＜ln（x2+1），故3x1+ln（x1+1）＜3x2+ln（x2+1），即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[0，1）上是增函数，由f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣1，0]上也是增函数，故f（x）在（﹣1，1）上为增函数，若f（3x﹣1）+f（1﹣x2）≥0，则f（3x﹣1）≥﹣f（1﹣x2），又∵f（x）是奇函数，所以﹣f（1﹣x2）＝f（x2﹣1），故原不等式等价于f（3x﹣1）≥f（x2﹣1），且f（x）是（﹣1，1）上的增函数，则，解得，故不等式的解集为．18．已知函数．（1）若f（x）为偶函数，且函数在区间[1，+∞）上的最小值为﹣11，求实数m的值；（2）若f（x）为奇函数，不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）m＝3；（2）[，+∞）．【解答】解：（1）由于为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），代入得：，所以2x+k•2﹣x＝2﹣x+k•2x，所以（k﹣1）•（2x﹣2﹣x）＝0，所以k＝1，所以f（x）＝2x+2﹣x，因为函数在区间[1，+∞）上的最小值为﹣11，令t＝2x+2﹣x，则，此时φ（t）＝t2﹣2mt﹣2，①当时，φ（t）在单调递增，所以，解得：，不满足题意；所以无解；②当时，φ（t）min＝φ（m）＝﹣11，解得：m＝±3；因为，所以m＝3，综上所述：m＝3．（2）因为f（x）为奇函数，所以f（0）＝0，所以k＝﹣1，经检验f（x）＝2﹣x﹣2x是奇函数满足题意．又因为不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，所以2﹣3x﹣23x≥m（2﹣2x﹣22x），所以23x﹣2﹣3x≤m（22x﹣2﹣2x），由平方差和立方差公式得：，令s＝2x+2﹣x，因为x∈[1，2]，所以，所以，在而在上单调递增，所以，因为不等式f（3x）≥mf（2x）在x∈[1，2]上有解，所以，即m的取值范围为[，+∞）．19．已知函数f（x）＝．（1）证明：函数f（x）为奇函数；（2）判断函数f（x）在区间（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）证明详见解析；（2）函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，证明详见解析．【解答】证明：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（x）＝＝，则f（﹣x）＝﹣x+，故函数f（x）＝为奇函数；（2）判断：f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，证明：∀x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝＝，∵x2＞x1＞2，∴x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增．八．抽象函数及其应用（共3小题）20．设函数f（x）定义域为R，满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（﹣2）＝0，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式（x+1）•f（x）＜0的解为（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，﹣1）∪（0，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）⋃（0，2）【答案】B【解答】解：由f（x）+f（﹣x）＝0和f（x）定义域可得，f（x）为奇函数，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质得f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（0）＝0，显然x＝0不满足（x+1）⋅f（x）＜0，又f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，于是由f（x）＜0，可得或，解得（﹣∞，﹣2）⋃（0，2），类似的，f（x）＞0的解集为（﹣2，0）⋃（2，+∞），所以不等式（x+1）⋅f（x）＜0等价为，解得x∈（0，2），或，解得x∈（﹣2，﹣1），综上所述，（x+1）⋅f（x）＜0的解为（﹣2，﹣1）∪（0，2）．故选：B．21．设函数的定义域是（0，1），且满足：（1）对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有．则下列结论：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞f（1﹣x）；②在（0，1）上单调递减；③f（x）的图象关于直线对称，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解答】解：由题意，令x1＝1﹣x2，则不等式⇔，由（1）对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，由基本不等式可得：，∴，当且仅当，即f（x2）＝f（1﹣x2）时等号成立，此时函数f（x）的图象关于直线x＝对称，故③正确；令x2＝x，可得f（x）＝f（1﹣x），故①错误；又由f（x1）＝f（1﹣x1），f（x2）＝f（1﹣x2）则不等式⇔，于是可得，∵对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，∴f（x1）≤f（x2），∴f（x1）＝f（x2）恒成立，∴函数f（x）是常数函数，则y＝+x＝+x（k＞0），由对勾函数的性质可知，此时函数在单调递减，在单调递增，∴只有当k≥1时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，故②错误．∴说法正确的只有③，共1个．故选：B．22．设函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．（1）写一个满足条件的f（x）并证明；（2）证明f（x）是奇函数；（3）解不等式．【答案】（1）f（x）＝kx（k＞0），证明见解析；（2）证明见解析；（3）（﹣∞，0）∪（5，+∞）．【解答】（1）解：因为函数f（x）是增函数，对于任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），这样的函数很多，其中一种为：f（x）＝kx（k＞0）．证明如下：函数f（x）＝kx（k＞0）满足f（x）是增函数，因为f（x+y）＝k（x+y）＝kx+ky＝f（x）+f（y），所以f（x）＝kx（k＞0）满足题意．（2）证明：令x＝0，则由f（x+y）＝f（x）+f（y），得f（y）＝f（0）+f（y），即f（0）＝0；令y＝﹣x，则由f（x+y）＝f（x）+f（y），得f（0）＝0＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数．（3）解：因为，所以f（x2）﹣2f（x）＞f（3x），则f（x2）＞2f（x）+f（3x），即f（x2）＞f（x）+f（x）+f（3x），因为f（x+y）＝f（x）+f（y），所以f（x）+f（x）+f（3x）＝f（5x），所以f（x2）＞f（5x），又因为函数f（x）是增函数，所以x2＞5x，所以x＜0或x＞5．所以不等式的解集为（﹣∞，0）∪（5，+∞）．九．对数函数的图象与性质（共1小题）23．在同一平面直角坐标系中，若0＜a＜1，则与y＝loga（﹣x）的大致图象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因为0＜a＜1，所以，所以指数函数是增函数，故排除A、B；y＝loga（﹣x）定义域为（﹣∞，0），其图像与函数y＝logax的图像关于y轴对称，函数y＝logax是减函数，所以y＝loga（﹣x）是增函数，排除D．故选：C．一十．对数函数的单调性与特殊点（共1小题）24．已知函数为偶函数．（1）求实数k的值；（2）解关于m的不等式f（2m+1）＞f（m﹣1）．【答案】（1）﹣1；（2）（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．【解答】解：（1）∵函数为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即，∴，∴k＝﹣1；（2）∵，当x≥0时，在[0，+∞）单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，又函数f（x）为偶函数，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0]上单调递减，∵f（2m+1）＞f（m﹣1），∴|2m+1|＞|m﹣1|，解得m＜﹣2或m＞0，∴所求不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．一十一．任意角的三角函数的定义（共1小题）25．如图，在平面直角坐标系内，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若线段OPn﹣1绕点O逆时针旋转得OPn（n≥2，n∈N），则点P2023的纵坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：因为角α的终边与单位圆交于点，所以，，设点P2023为角β的终边与单位圆的交点，则，所以，所以点P2023的纵坐标为．故选：B．一十二．三角函数的周期性（共1小题）26．下列四个函数中，以π为最小正周期的偶函数是（）A．y＝|tanx| B．y＝cosx C．y＝sinx D．y＝sin|x|【答案】A【解答】解：对于A：函数y＝|tanx|的图象如下图所示：由图可知，y＝|tanx|的周期为π，且图象关于y轴对称，则y＝|tanx|为偶函数，故A正确；对于BC：函数y＝cosx，y＝sinx的最小正周期都为2π，故BC错误；对于D：函数y＝sin|x|的图象如下图所示：由图可知，函数y＝sin|x|不具有周期性，故D错误．故选：A．一十三．正弦函数的单调性（共2小题）27．已知函数，且x1＜x2，都有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0，则ω的取值范围可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0，得．设，由于，且x1＜x2时，g（x1）＞g（x2），可知g（x）在上单调递减．由正弦函数性质可知，当ω＞0时，ωx+∈（+，+），且（+，+）⫋[]，即时，即时，已知不等式成立，故选项A正确，B错误．对于选项C，当ω＝2时，，当时，，显然，此时的g（x）在上不是单调递减，故选项C错误；对于选项D，当ω＝0时，，显然此时的g（x）在上不是单调递减，故选项D错误；故选：A．28．已知函数，求：（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求函数y＝|f（x）|的对称轴方程；（3）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）；（3），3．【解答】解：（1）令，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为．（2）因为，令，解得，所以函数y＝|f（x）|的对称轴方程．（3）因为，则，可得，当，即时，f（x）取到最小值；当，即时，f（x）取到最大值3；所以函数f（x）在区间上的最小值为，最大值3．一十四．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）29．已知+1．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）求出函数f（x）在[0，π]上的单调区间及最值．【答案】（1）；（2）增区间为，，减区间为；最大值为，最小值为．【解答】解：（1）因为，令，可得，所以函数f（x）的对称轴方程为．（2）当0≤x≤π时，则，由，可得；由，可得；由，可得；所以函数f（x）在[0，π]上的增区间为，，减区间为，因为，则，可得，故函数f（x）在[0，π]上的最大值为，最小值为．一十五．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共2小题）30．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（）A． B．g（x）＝2sin2x C． D．g（x）＝﹣2sin2x【答案】B【解答】解：由题意可得g（x）＝f（x+）＝．故选：B．（多选）31．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则（）A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）关于点对称 C．f（x）在是上单调递增 D．若f（x）在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为【答案】CD【解答】解：因为，所以把f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，因为g（x）关于y轴对称，所以，即ω＝6k+2，k∈Z，又因为0＜ω＜π，所以，A．对于，故A错误；B.，故B错误；C，由，得，所以当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，又因为，所以f（x）在上单调递增，故C正确；D，若函数f（x）在上存在最大值，由选项C可知，f（x）在上单调递增，且，即f（x）在时取得最大值，所以，即实数a的取值范围为，故D正确．故选：CD．一十六．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共1小题）（多选）32．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．点M的坐标为 B．函数f（x）关于点对称 C．函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象 D．方程的解为x1，x2，则【答案】ABD【解答】解：由图可知：A＝1，＝﹣（﹣）＝π，则T＝2π，从而ω＝1，又∵f（x）＝sin（x+φ）过点（﹣，﹣1），∴sin（﹣+φ）＝﹣1，∴﹣+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，∴得φ＝﹣+2kπ，k∈Z，又∵|φ|＜，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（x﹣），对于A，令x＝0，得f（0）＝sin（﹣）＝﹣，故A正确；对于B，将x＝﹣代入f（x），得sin（﹣﹣）＝0，故B正确；对于C，函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到y＝sin（x﹣﹣）＝sin（x﹣π）＝﹣sinx的图象，故C错误；对于D，如图所示，可得x1+x2＝×2＝，∴cos（x1+x2）＝cos＝﹣，故D正确．故选：ABD．一十七．三角函数的最值（共1小题）33．已知函数f（x）＝﹣cos2x+msinx+2m，x∈[0，π]．（1）若m＝﹣1，求f（x）的值域；（2）若f（x）在[0，π]上有零点，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由m＝﹣1，得，由x∈[0，π]得sinx∈[0，1]，所以，即f（x）的值域是．（2）因为x∈[0，π]，所以sinx∈[0，1]，由f（x）＝0，可得m（2+sinx）＝cos2x＝1﹣sin2x，则，令t＝2+sinx，则t∈[2，3]，则，由函数在[2，3]上单调递增，得，所以．一十八．三角函数应用（共2小题）34．如图，质点P在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P的角速度大小为2rad/s，起点P0为射线y＝﹣x（x≥0）与⊙O的交点．则当0≤t≤12时，动点P的纵坐标y关于t（单位：s）的函数的单调递增区间是（）A． B． C．D．【答案】B【解答】解：因为P在单位圆上的角速度大小为2rad/s，起点P0为射线y＝﹣x（x≥0）与⊙O的交点，所以A＝1，，所以动点P的纵坐标y关于t（单位：S）的函数，由，得，k∈Z，因为0≤t≤12，所以，，，．所以动点P的纵坐标y关于t（单位：S）的函数的单调递增区间是：，，，．故选：B．35．2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备．如图所示，在某项运动赛事扇形场地OAB中，，OA＝500米，点Q是弧AB的中点，P为线段OQ上一点（不与点O，Q重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道PO，PA，PB．记∠APQ＝θ，三条轨道的总长度为y米．（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的取值范围；（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道PO的长．【答案】（1）y＝250•，θ∈（，）；（2）当OP长为米时，此处三条轨道的总长度最小．【解答】解：（1）因为Q为弧AB的中点，有对称性可知，PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π﹣θ，∠OAP＝θ﹣，由正弦定理，得＝＝，又AO＝500，得PA＝，OP＝，所以y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝+＝250•，由题意知，求出P在O、Q处时对应θ的值，得θ的取值范围是（，）；（2）令f（θ）＝，θ∈（，），则f′（θ）＝，令f′（θ）＝0，得θ＝，列表：θ（，）（，）f′（θ）﹣0+f（θ）递减极小值递增所以当θ＝时，OP＝＝＝米，f（θ）有唯一极小值f（）＝250•（1﹣+）＝250（1+）．此时y有最小值250（1+）米．所以当OP长为米时，此处三条轨道的总长度最小．一十九．函数零点的判定定理（共1小题）36．已知函数f（x）＝x3+x﹣3，则f（x）的零点存在于下列哪个区间内（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【答案】B【解答】解：∵f（x）＝x3+x﹣3在（﹣∞，+∞）上是增函数，f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝7＞0，∴f（x）在（1，2）上有唯一零点．故选：B．二十．函数的零点与方程根的关系（共10小题）37．已知函数f（x）定义在R上，且f（﹣x）＝﹣f（x），满足f（x+2）＝f（﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则函数y＝f（x）﹣x3的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：定义在R上函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，又由f（x+2）＝f（﹣x），可得f（x）有对称轴x＝1，由f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2）＝f（x+4），则f（x）最小正周期为4，函数y＝f（x）﹣x3的零点即函数y＝f（x）与函数y＝x3图像交点的横坐标．又当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），在同一坐标系内作出函数y＝f（x）与函数y＝x3图像如下：两函数图像有3个公共点（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1），则函数y＝f（x）﹣x3的零点个数是3．故选：C．38．已知函数，若函数在[﹣1，1）内有且仅有两个零点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因为，函数在[﹣1，1）内有且仅有两个零点，所以f（x）＝m（x﹣）在[﹣1，1）内有且仅有两个零点，即y＝f（x）的图象与y＝m（x﹣）的图象在[﹣1，1）内有两个交点，又因为y＝m（x﹣）的图象恒过定点（，0），作出两函数的图象，如图所示：当直线过点（，0）和（0，1）时，此时m＝﹣，两函数图象只有一个交点，当m∈（﹣，0]时，结合图象可得两函数有两个交点，满足题意；当m＞0时，设函数y＝f（x）＝＝﹣3+在点（，0）处的切线为l，因为f′（x）＝，所以k切＝f′（）＝9，当直线y＝m（x﹣）过点（0，﹣2）时，m＝k＝＝3，要使y＝f（x）的图象与y＝m（x﹣）的图象有两个交点，则只需3≤m＜9；综上所述，m∈（﹣，0]∪[3，9）．故选：D．39．已知函数f（x）＝，若f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x4（x1+x2）+的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：当x≤0时，f（x）＝（x+1）2；当0＜x＜1时，f（x）＝﹣log4x；当x≥1时，f（x）＝log4x；作出函数f（x）的图象如下，则由图象可知，f（x）的图象与y＝1有4个交点，分别为，因为f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，所以0＜a≤1，且﹣2≤x1＜﹣1＜x2≤0，且x1+x2＝﹣2，，又因为f（x3）＝﹣log4x3，f（x4）＝log4x4，所以﹣log4x3＝log4x4，即log4x4+log4x3＝0，所以x3x4＝1，所以，且1＜x4≤4，构造函数在x∈（1，4]单调递减，所以．故选：B．40．已知函数f（x）＝（x+1）ex，若函数F（x）＝f2（x）﹣mf（x）+m﹣1有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：函数f（x）＝（x+1）ex的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+2）ex，当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，，且x＜﹣1，恒有f（x）＜0，由F（x）＝0，得[f（x）﹣1][f（x）﹣m+1]＝0，即f（x）＝1或f（x）＝m﹣1，由f（x）＝1，得x＝0，于是函数F（x）有3个不同零点，当且仅当方程f（x）＝m﹣1有2个不同的解，即直线y＝m﹣1与y＝f（x）图象有2个公共点，在同一坐标系内作出直线y＝m﹣1与y＝f（x）的图象，如图，观察图象知，当，即时，直线y＝m﹣1与y＝f（x）的图象有2个公共点，所以实数m的取值范围为．故选：C．41．函数f（x）＝ex+x2﹣4在区间（﹣2，1）内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数，即函数y＝ex与函数y＝2﹣x2在区间（﹣2，1）内交点个数，作图可得，这两个函数有2个交点，即函数f（x）＝ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内有2个零点．故选：C．42．已知函数，g（x）＝x2﹣ax+1，若y＝g（f（x））有6个零点，则a的取值范围为（）A． B． C．（3，+∞） D．【答案】B【解答】解：作出函数的图象如图所示：根据图像可得，当k＝0或2＜k＜3时，f（x）＝k有两个解；当0＜k＜1时，f（x）＝k有4个解；当1≤k≤2时，f（x）＝k有3个解；当k≥3时，f（x）＝k有1个解．因为g（x）＝x2﹣ax+1＝0最多有两个解．因此要使y＝g（f（x））有6个零点，则g（x）＝x2﹣ax+1＝0有两个解，设为k1，k2．则存在下列几种情况：①f（x）＝k1有2个解，f（x）＝k2有4个解，即k1＝0或2＜k1＜3，0＜k2＜1，显然g（0）≠0，则此时应满足，即，解得＜a＜；②f（x）＝k1有3个解，f（x）＝k2有3个解，设k1＜k2即1≤k1＜2，1＜k2≤2，则应满足，即，解得a的值不存在；综上，a的取值范围是（，）．故选：B．43．已知函数的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A． B．（0，+∞） C． D．（0，2]【答案】D【解答】解：如图，作函数f（x）的大致图像（实线），平移直线y＝k﹣x，由k﹣x＝x2+2x+2可得，x2+3x+2﹣k＝0，，故当时，直线与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）相切；当k＝0时，直线y＝﹣x经过点（0，0），且与曲线y＝x2+2x+2（x≤0）有2个不同的交点；当k＝2时，直线y＝2﹣x经过点（0，2），且与f（x）的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当k∈（0，2]时，f（x）的图像与直线y＝k﹣x有3个不同的交点．故选：D．（多选）44．已知函数f（x）＝方程[f（x）]2﹣mf（x）﹣1＝0有4个不同的实数根，则下列选项正确的是（）A．函数f（x）的零点的个数为2 B．实数m的取值范围为 C．函数f（x）无最值 D．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增【答案】ABC【解答】解：函数，作出f（x）的图象如图所示，由图象可知，f（x）＝0有x＝﹣2和x＝1两个零点，故选项A正确；方程f2（x）﹣mf（x）﹣1＝0有4个不同的实数根，令f（x）＝a，f（x）＝b，a≠b，则或或，因为方程x2﹣mx﹣1＝0必有一正一负两个根，所以，且ab＝﹣1，所以a＝﹣≤﹣，所以f（x）≤﹣或0＜f（x）≤2，则，令t＝f（x），则m＝t﹣，t∈（﹣∞，﹣]∪（0，2]，因为函数m＝t﹣在（﹣∞，﹣]和（0，2]上单调递增，当t＝﹣时，m＝，当t＝2时，m＝，所以m≤，故选项B正确；由图象可知f（x）无最值，故选项C正确；f（x）在（0，+∞）上不单调，故选项D错误．故选：ABC．（多选）45．已知函数，若f（x）＝a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（）A．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]∪[1，+∞） B．a的取值范围是（0，2） C．x1x2x3的取值范围是（﹣2，0] D．函数g（x）＝f（f（x））有4个零点【答案】CD【解答】解：作出y＝f（x）的图象，如图所示：对于A，由图象可得y＝f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（1，+∞），不能用并集符号，故错误；对于B，因为f（x）＝a有三个不等实根，即y＝f（x）与y＝a有三个不同交点，所以a∈（0，2]，故错误；对于C，则题意可知：﹣2＜x1≤0，﹣log2x2＝log2x3，所以x2x3＝1，所以x1x2x3＝x1∈（﹣2，0]，故正确；对于D，令f（x）＝t，则有y＝f（t），令y＝0，则有t＝﹣2或t＝1，当t＝﹣2时，即f（x）＝﹣2，即x+2＝﹣2，解得x＝﹣4；当t＝1时，即f（x）＝1，所以x+2＝1或|log2x|＝1，解得x＝﹣1，或x＝或x＝2，所以y＝f（t）共有4个零点，即g（x）＝f（f（x））有4个零点，故正确．故选：CD．46．设a∈R，函数f（x）＝x•|x﹣a|+2x．（1）若a＝2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＝4，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）＝t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【答案】（1）9；（2）单调递增区间为（﹣∞，3]和[4，+∞），单调递减区间为[3，4]；（3）．【解答】解：（1）当a＝2，x∈[0，3]时，，当x∈[0，2）时，函数y＝﹣x2+4x为增函数，f（x）∈[0，4）；当x∈[2，3]时，函数y＝x2为增函数，f（x）∈[4，9]；所以函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为9．（2）当a＝4时，，作出图象如图所示：由图象可得，当x∈（﹣∞，3]和[4，+∞）时，函数f（x）单调递增，当x∈[3，4]时，函数f（x）单调递减；（3）当a∈（2，4]时，，函数y＝x2+（2﹣a）x的对称轴，所以函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，函数y＝﹣x2+（2+a）x的对称轴，则f（x）在上，f（x）单调递增，f（x）在上，f（x）单调递减，函数图象如图所示：要使f（x）＝t⋅f（a）有三个不相等的实数根，即t⋅f（a）应介于如图所示两虚线l1，l2范围之间，而f（a）＝2a，，即，化简得，即存在a∈（2，4]，使得上式成立．只需．令，设4≥x2＞x1＞2，则，由4≥x2＞x1＞2得x2﹣x1＞0，x1x2＞4，故g（x2）﹣g（x1）＞0，所以g（x2）＞g（x1），所以g（x）在x∈（2，4]为增函数，所以当a∈（2，4]时，，故，故．二十一．分段函数的应用（共4小题）47．函数，其中a≤﹣2，则满足f（x）+f（x﹣1）＜3的x取值范围是（）A．（﹣1，+∞） B． C． D．（0，+∞）【答案】D【解答】解：∵a≤﹣2，当x＜a时，f（x）＝﹣x3+3x2+9x+5，则f′（x）＝﹣3x2+6x+9＝﹣3（x+1）（x﹣3）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，故f（x）＞﹣a3+3a2+9a+5．当x≥a时，f（x）＝﹣x+1，显然函数f（x）在[a，+∞）上为减函数，此时，f（x）≤f（a）＝﹣a+1．∵（﹣a3+3a2+9a+5）﹣（﹣a+1）＝﹣a3+3a2+10a+4，令h（a）＝﹣a3+3a2+10a+4，其中a≤﹣2，则h′（a）＝﹣3a2+6a+10＝﹣3（a﹣1）2+13≤﹣3×（﹣3）2+13＜0，∴函数h（a）在（﹣∞，﹣2]上单调递减，故h（a）≥h（﹣2）＝8+12﹣20+4＝4＞0．综上可知，函数f（x）在R上为减函数，令p（x）＝f（x）+f（x﹣1），则函数p（x）在R上单调递减，又∵p（0）＝f（0）+f（﹣1）＝1+2＝3，∴f（x）+f（x﹣1）＜3等价于p（x）＜p（0），结合函数p（x）的单调性可得x＞0，故原不等式的解集为（0，+∞）．故选：D．48．已知函数，若m＜n，且f（m）＝f（n），则mf（n）的取值范围是（）A． B．[﹣1，7] C．[﹣1，7） D．【答案】D【解答】解：作出f（x）的图象如图所示：由f（m）＝f（n），得3m+4＝3n﹣2，n∈[1，2），可得，则，令t＝3n，t∈[3，9），则，故．故选：D．49．已知函数，其中，若∃x∈[2，4]，使得关于x的不等式f（x）≤f（a）成立，则正实数a的取值范围为（）A．a≥2或 B．a≥2或 C．a≥4或 D．a≥4或【答案】B【解答】解：由题意可知f（x）＝，若∃x∈[2，4]，使得关于x的不等式f（x）≤f（a）成立，则f（a）≥f（x）在x∈[2，4]上的最小值，∴f（a）≥f（2）＝4，∵a为正实数，则当0＜a＜1时，f（a）＝≥4，解得0＜a≤；当a≥1时，f（a）＝a2＞4，解得a≥2，综上，正实数a的取值范围为a≥2或0＜a≤．故选：B．（多选）50．已知函数，则（）A． B．若f（x）＝﹣1，则x＝2或x＝﹣3 C．f（x）＜2的解集