江苏省扬州市扬州中学2024届新高考一卷数学模拟测试一（含答案解析）

江苏省扬州市扬州中学2024届新高考一卷数学模拟测试一

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一、单选题

1.己知集合&={如鸣彳>2},B={xeN|x<2024},则集合AcB的元素个数为（）

A.2014B.2015C.2023D.2024

2.设复数z=x+M（x>0,yeR）,且满足z?=18i,则2=（）

A.3+2iB.3+3iC.3-2iD.3-3z

3.在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

sin2A—sin2C+sin2B=sinAsinB»且ABC的外接圆的半径为山，则；ABC面积的最

大值为（）

A.73B.吨C.业D.273

44

-2一

4.如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=4,点p满足八尸=%℃，其中六0,-,

则向+用的取值范围是（）

A.[4,5]

B.[8,10]

C.[4,何

D.[2717,10]

5.已知函数，（尤）=&+bx+c,若b是a与c的等比中项，则的零点个数为（）

A.0B.0或1C.2D.。或1或2

JT

6.函数式x)=cos(+5)ln(e*+e-)的图象大致为()

7.对于一个给定的数列｛%｝,令2=4包，则数列｛2｝称为数列｛%｝的一阶商数列，

an

再令。，=导，则数列｛5｝是数列｛%｝的二阶商数列.已知数歹£4｝为1，2,8,64,

1024,L,且它的二阶商数列是常数列，则4=（）

15192128

A.2B.2C.2D.2

8.已知焦点分别在x，y轴上的两个椭圆G，Cz，且椭圆c?经过椭圆G的两个顶点与两

个焦点，设椭圆C.C2的离心率分别是4勺，则（）

A.且e：+e；<lB.e；且e：+e；>1

C.且e：+e；<lD.e；且e；+e；>1

二、多选题

9.若实数4，巧，覆满足电-2f=鼻-3也=1,则下列不等关系可能成立的是（）

A.xx<x2<x3B.x2<x3<x1C.x3<x2<x1D.x3<x1<x2

10.等差数列｛风｝的前〃项和为s“，已知与=0,兀=25,贝IJ（）

A.a5=--B.｛〃〃｝的前〃项和中S5最小

q

C.”S”的最小值为-49D.j的最大值为0

n

11.已知函数〃无）=cc>Mtanx|,则（）

A./（%）为偶函数

B.-兀,-]]是“X）的一个单调递增区间

C.f(n+x)=-f(x)

试卷第2页，共4页

D.当时，/W>/(0)

12.已知实数相，"满足缤=ln"+ln2,且e2”=L,则()

4〃emm

73

A.n,=—B.根=iC.tn+n<—D.1<2H—nt2<一

252

三、填空题

13.—2x+2)=%+4%+%%2++a］。％］。，贝!J%=.

14.等差数列｛4｝中的%，〃2023是函数/(%)=%3—6f+4x—1的极值点，则Jlog8aion=_.

15.已知点尸是直线4：iwc-ny-5m+n=0^\］l2：m+my-5m-n=0(m,neR,

苏+〃200)的交点，点。是圆ca+l)2+y2=i上的动点，则|PQ|的最大值是.

22

16.已知直线y=x-2与双曲线c：1-2=1(。>0力>0)的两条渐近线分别交于点A,

ab

B(不重合)线段A5的垂直平分线过点(4,0),则双曲线。的离心率为.

四、解答题

(71Y<3)

/、cos—+asin-Ti-a

17.(1)已知角。终边上一点P(T3),求(2J12J的值;

tan(-7i+a)

(2)化简求值：(log43+log83)•(log32+log92)+

18.在.ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c是公差为1的等

差数列.

(1)若3sinC=5sinA,求ABC的面积；

(2)是否存在正整数〃，使ABC为钝角三角形?若存在，求〃的值；若不存在，说明理由.

19.已知〃>0且awl,函数/(%)=loga%—1

⑴若。=6且彳€1,e,求函数“X)的最值；

(2)若函数/(X)有两个零点，求实数。的取值范围.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，则面上位>，底面ABC。，侧棱PA=PO=拒，底

面A3CD为直角梯形，其中BC//AD,ABLAD,AD=2AB=23C=2,。为AD中点.

p

⑴求证：尸。1平面ABC。；

（2）求异面直线尸3与8所成角的大小.

2L已知椭圆C:J>S6>。）的两焦点分别为耳居,C的离心率为当C上有三

点、Q、R、S,直线Q&QS分别过招,8,,。尺鸟的周长为8.

⑴求C的方程;

⑵①若。（OS），求0RS的面积;

②证明：当0RS面积最大时，QRS必定经过C的某个顶点.

22.在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标（4，。2，%）表示，其中

%e{0』}（l<z<3,zeN）.而在n维空间中（〃22,〃eN）,以单位长度为边长的“立方体”

的项点坐标可表示为"维坐标（4%，/，…，4），其中现有

如下定义：在〃维空间中两点间的曼哈顿距离为两点（％,%，/，，。“）与

（伪也也，-，或）坐标差的绝对值之和，即为

k—4|+|%—白|+|七—&|++|%—回答下列问题:

（1）求出〃维“立方体”的顶点数;

（2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离

①求出X的分布列与期望;

②证明：在〃足够大时，随机变量X的方差小于Q25川.

1（A、

（已知对于正态分布XN3b°），尸随X变化关系可表示为

八/2兀

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据集合的交集运算求解.

【详解】因为A={x|log3X>2}={xlx>9},B={%eN|x<2024}={0,1,2,3,,2024}

所以Ac3={10,11,12,.,2024},

故集合An5的元素个数共有2015个.

故选：B

2.B

【分析】根据复数的乘法运算及复数相等可以求参即可.

【详解】由题意，得Z?=（尤+何）2=*2一旷+2个i=18i,

尤2-y2=0,

解得x>0,・•・z=3+3i.

2孙二18,

故选:B.

3.B

【分析】在ABC中，由正弦定理边角关系得片+匕2一°2="，由余弦定理求出角C,由余

弦定理结合基本不等式可得必W9,进而可求出三角形面积的最大值.

【详解】在ABC中，sin2A—sin2C+sin2B=sinAsinB,

由正弦定理得：a2+b?—c1=ab,

由余弦定理得：cosC=

lab2

因为。为ABC的内角，则0<。<兀，

所以C=g,

因为ABC的外接圆的半径为百，

由正弦定理得：二=3=三=2如，所以c=2有sinC=2Wx3=3,

sinAsinBsmC2

由余弦定理得/=/+/一2"cosC,&?9=a2+b2—ab

因为标+炉N2H,所以必W9,当且仅当。=6=3时取等号，

故.ABC的面积S=^MsinCW2叵，

24

答案第1页，共20页

所以ABC面积的最大值为述.

4

故选：B.

4.B

~2~

【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到P（644）,Ae0,-,从而求出

|PA+PB\=,J（6-122）2+64,求出最值.

【详解】以A为坐标原点，AB,A£>所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，

则A（0,0）,B（6,0）,D（0,4）,C（6,4）,设尸（s,。,

因为。尸=2Z）C，所以（SJ-4）=4（6,0）,即s=64,f=4,

故尸（644）,2c0.|,

贝B4+=（-6X,-4）+（6-64,-4）=（6-124-8）,

贝”PA+Pfi|=’（6-12/1）2+64,

因为0,-,所以6—12Xe[—2,6],（6-122）2e[0,36],

故pA+=J（6-12Xy+64e[8,10].

5.A

【分析】根据给定条件，确定判别式的正负即可得解.

【详解】由b是a与c的等比中项，得。*0力*0,ac=b2,

方程办2+Zzx+c=0的判另U式A=〃-4ac=-3b2<0,因此方程办?+fcv+c=O无实根,

所以的零点个数为0.

故选：A

6.C

答案第2页，共20页

【解析】先根据函数为奇函数排除D,再根据函数在[0,句，[肛2句上的符号排除A,B,进而得

答案.

【详解】解：函数的定义域为R,

1T

/(尤)=cos(尤-ln(e%+e~x)=sinxln(ex+ex),又因为

/(-x)=sin(-x)-In(^ex+e^x^=-[sinx-lnS+"*)]=-/(x),

所以函数为奇函数，故排除D,

因为ln(e*+eT)Nln2>0,sinx>0在(0,%)上成立，sinx<0在(匹2%)上成立，

故函数/(%)在(0㈤上有/(x)>0,在(i,2万)上有/(%)<0,

所以排除A,B,故C正确.

故选：C.

【点睛】关键点睛，解题关键在于化简得/(x)=sinxln(/+eT),进而利用函数的奇偶性和

利用特殊值进行判断选项，难度属于中档题

7.C

【分析】由数歹MA｝的二阶商数列｛cj是常数列可知数歹u｛4｝的一阶商数列也,｝是等比数

列，再利用累乘法求得从，即可得解.

【详解】设数列｛4｝的一阶商数列为抄,J,二阶商数列为｛c“｝,

28b,八

贝！J4=丁=2,b,=-=4,G=M=2,

12队

又数列｛4｝的二阶商数列｛g｝是常数列，

则％=G=2,

b

贝隆％｝满足,=%=2,

所以数列出｝是2为首项，2为公比的等比数歹U,

则勿=2.2"7=2",

所以第=2",

叁=2"-3,L,&=2?,%=2,

A.A,A

答案第3页，共20页

等式左右分别相乘可得3=2"工2T...2?•吸=2("T)+g)+g)++2M_上普_竽,

4一乙一乙

在［、1zfcl)

物以4=22.A=22，

7(7-1)

则4=2丁=221>

故选：C.

8.A

【分析】由题意得出=4也=9,进而得至1」!<£<11<与<2,从而结合不等式的性质与

2a：斤

对勾函数的性质即可得解

【详解】依题意，设椭圆C1对应的参数为q，2，q,椭圆C?对应的参数为%力2,C2，

贝=。1，所以d=1-"，W=]_与=1一务=2—务，

又因为外>打，即々>q,b；>c；=a；—b；,则2斤>〃；,

即一<^"<1,1<*^~<2,得Ovl—y<—,0<2—-^-<1,即0<e；<—,0<^|<1,

2axl\q2bx2

令'=%€&，"，则44=3-仅+手)=3++；；

由对勾函数的性质可知产/+；在。”上单调递减，故4+彼=3-1}

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是依题意得到出=4，&=9,从而得到

4s=2—多,结合不等式的性质与对勾函数的性质即可得解.

%bx

9.ABC

【分析】将条件转化为2为=3*=:，在同一平面直角坐标系中作出函数y=23y=31y=1

的函数图象，判断他们与V=加有交点时横坐标的大小情况.

【详解】实数毛，巧，/满足三・2%=当-3*=1,

...三30,2^'=3^=-,

答案第4页，共20页

如图在同一平面直角坐标系中作出函数y=2,，y=3">的函数图象，再作直线V

X

“3；

变换机的值发现，不，演，演的大小关系可能为W<见，X3=x2<xltx2<x3<xlt

x2<x3=x1,x2<xt<x3,x2=xt<x3,xl<x2<x3,故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC.

10.ABC

【分析】根据已知条件可计算出生和公差d,然后可计算出出对A进行判断；求出S“，即

可对B进行判断；求出,S”的表达式，运用导数求出最小值即可判断C；求出2的表达式

即可判断D.

【详解】设等差数列｛叫的公差为d,

10%+45。=0

15〃]+105<7=25

所以%=%+4d=—§,则A正确;

如乜—+皿a

Sn=nal+

=-(n2-l0M)=-(n-5)2--

333

则当〃=5时，取得最小值，故B正确;

设函数/(x)=；-3(x>0),

70on

则/(幻=炉-毛x,贝悄0<x<T时，­(无)<0,

当尤>§时，ra)>o,

答案第5页，共20页

所以/(X)在上单调递减，在+8)上单调递增，

90

故〃尤)皿=/(可)，

因为6〈,<7,且〃6)=-48"(7)=-49,

所以最小值为-49,C正确；

々=:("-10),没有最大值，故D错误，

n3

故选：ABC.

11.ACD

【分析】根据正弦函数、正切函数奇偶性判断A,取特值判断B,根据诱导公式判断C,分

类讨论判断D.

【详解】因为的定义域为］x［+关于原点对称，

且〃-x)=cos(-x)卜an(-x)|=cosx|tan%|=/(x),所以/⑺是偶函数，故A正确；

因为/(-兀)=oj,所以〃-兀)>小亳，

且-私-1三一无「］)所以一兀，一］)不是函数的递增区间，故B不正确；

/(7i+x)=cos(兀+x)|an(兀+%)|=-co&x|tanx|=-f(x),故C正确；

因为当时，cosx>0,tanx>0,sinx>0,所以/(%)=sinx20,

同理，当尤e［-］,0时，/(j;)=-sinx>0,即”卜了向时，/(x)>/(0)=0,故D正确.

故选：ACD.

12.ACD

【分析】根据题意可得2me2"，=(2w)21n(2")2,即Ine?"，=(2〃『ln(2〃y,构造函数

f(x)=xlnx,利用其单调性和函数值确定e2m=(2"))进而等量代换将双未知量变为单未

知量，即可一一求解.

［详解］由吗=mw+ln2可得,=4〃21n2”，

4n2em

即2me为=4〃2x21n2〃,则有2旌2"=（2z?）2ln（2/i）2,

也即e2mIne2m=（2n）2In（2n）2,

答案第6页，共20页

设函数/(无)=xlnx,则/(e2m)=/［(2")］，

f\x)=Inx+1,

当xe［o,：j时，f\x)<0,函数/(x)单调递减，

当时，f\x)>0,函数Ax)单调递增，

且当xe(O,l)时，/(x)<0.当xe(l,向时,/(x)>0；

因为e?，"=1,所以2,—"'=(2疗In(2〃y=2>0,

即/32)=/［(2"月>0,所以e2nl=(24，即〃=^，A正确；

222

mn=-^-xn=-l5-x«,B错误；

设心)=疣2"-1,%>0,tr(x)=e2x+2xe2x>0在(0,+8)恒成立，

Mr(0)=-l<0,/(1)=1e-l>0,

所以存在唯一X。e(0，£|使得心)=0,

由，"'=工可得，"如2'"-1=0,所以"Ze］。,1］,

m\27

m+n=m+^Qm,设g(x)=x+ge”在［o,；］上单调递增，

匚匚2/、1J、11r11.77

所以g(%)=%+jex<^(-)=-+-Ve<-+—=1.35<-,

乙乙乙乙乙乙J

17

所以根+〃=m+5暧,c正确；

2n—m2=em—m2f

设/z(x)=e*—元2,%£(0,；),//(X)=/—2%,

令〃(x)=e"-2x,〃'(%)=e"-2,

易得函数〃'(x)=e=2在xe„单调递增，且"§)=2<0,

所以函数〃(x)=e*-2尤在xe(0,)单调递减，

且〃(；)=&-1>0,所以"(x)>0恒成立，

所以//(幻=d-苫七40,；［单调递增，

答案第7页，共20页

所以/z(0)<h{x)<〃(；)，即1<h(x)<V^-1<1.7-0.25<1,

3

所以1<2"-/<一正确，故D正确；

2

故选:ACD.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用同构思想，将原等式化为2/2根=(2")21n(2”)2,

进而构造函数f(x)=xlnx,利用单调性和函数值确定e2m=(2才，进而利用等量代换，即

可求解.

13.-592

【分析】由组合数以及分类加法和分步乘法计数原理即可得解.

【详解】(乂-2龙+2丫表示5个因数(炉-2x+2)的乘积.而应为展开式中炉的系数，设这5个

因数，_2x+2)中分别取/、-2x、2这三项分别取仃,左个，所以i+j+左=5,若要得到

含尤5的项，则由计数原理知左的取值情况如下表：

X2—2x2

i个■7个上个

050

131

212

由上表可知(一，)

«5=C；2)5+C；•CH)-2-+CjC；(-2)'-23T=_32+(-320)+(-240=-592.

故答案为：-592.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于对上述详解中的上正确分类，另外一点值得

注意的是在分完类之后，每一类里面还要分步取/、-2x、2这三项.

14.-

3

【分析】求得「(尤)=3/-12尤+4,结合题意，得至ljq,%°23是方程3x2-12x+4=0的两个根，

再由等差数列的性质和对数的运算性质，即可求解.

【详解】由函数/(%)=/—6/+4x—l,可得1(x)=3/一12%+4,

答案第8页，共20页

因为〃1，%023是函数，（犬）的极值点，即%，%023是方程3-一12%+4=0的两个根，

可得4+%023=4,又由.2=%I—=2,所以logs%32=l°g82=g

故答案为：g.

15.6+20

【分析】根据题意分析直线4,分别过定点A，8,点尸的轨迹是以A3为直径的圆，结合圆

的性质运算求解.

【详解】因为直线4：mx-ny-5m+n=0,即7”（x-5）-"（y-l）=。，

人fx-5=0（x=5/、

令1y_l=0,解得jy=l'可知直线4过定点A（5，l）,

同理可知：直线4过定点5（1,5）,

又因为机X〃+（_〃）x机=0,可知/1_1_，2，

所以直线4与直线k的交点P的轨迹是以42的中点M（3,3）,半径r=JA邳=2五的圆，

因为圆C的圆心C（-l,0）,半径R=l,

所以忸。|的最大值是|MC|+r+R=J（3+l），32+2/+1=6+2/.

故答案为：6+20.

16.冥1

3

【分析】由已知结合直线垂直的斜率关系和直线过的点根据直线的点斜式方程得出线段A3

的垂直平分线的方程，即可联立两直线得出的中点坐标为（3,1），设4（石,%），3（%,%）,

分别代入双曲线方程后作差整理得出3k=1，再根据线段中点与端点坐标关系

玉+々％]―/a

与两点的斜率公式得出为+%=2,芳+%=6,上三匹=1,即可得出匕，在根据双曲线离

b2

心率公式变形后代入」即可得出答案.

a

【详解】直线、=尤-2与线段A3的垂直平分线垂直，

则线段A3的垂直平分线的斜率为-1,

线段AB的垂直平分线过点（4,0）

答案第9页，共20页

线段AB的垂直平分线为：y=—（九—4）,即x+y—4=0,

联立[y[=:一x-243解得:x=3

y=l

即AB的中点坐标为（3,1）,

2

-4-o

b*2两式作差可得3纵正匹=与

设4（%，%），矶%,为），财

a

x2%-0演+兀2再一々

la2b2

AB的中点坐标为（3』），A3的斜率为1,

二.%+%=2,必+%=6,31=1

xl-x2

则上

所以双曲线C的离心率e="7^=聆=羊.

故答案为：正.

3

17.（1）—；（2）2

25

44

【分析】（1）根据三角函数的定义得到cosa=-不，利用诱导公式化简后，代入cosa=-

求出答案;

（2）利用对数运算法则计算出结果.

【详解】（1）因为角。终边上一点P（T3）,

cos—+asm-Ti-a

所以12J12J一sinax(-cosa).cosa

----------------------=sinacosa

tan(-7i+cr)tana------------------sina

216

=cosa=——

25

i

(2)

(log43+log83)-(log32+log92)+

答案第10页，共20页

5,3

7log23x-

oZ

53c

=—+—=2.

44

18.(1)6

⑵存在整数“=2使得为钝角三角形’此钝角的余弦值为一；.

【分析】(1)利用等差数列得结合正弦定理求出d仇c,结合勾股定理判

断出直角三角形，应用面积公式即可；

(2)结合等差数列用b,c表示a,得到。的不等式，解出。进而求出b,c,再计算cosC即

可.

【详解】(1)由a,b,c是公差为1的等差数列，则。=6-l,c=6+l,

又3sinC=5sinA,由正弦定理得：3c=a,

则3S+1)=5(8—1),解得b=4,「.a=3,c=5,

故=9+16—25=0,所以qABC为直角三角形，

贝U「•^AABC=~^b=6

(2)ABC为钝角三角形，即/>"+〃，由〃，，。是公差为1的等差数列，得

(Q+2)2>。2+(。+1)2=Q<3,显然a=l,b=2,c=3,不能构成三角形，

4+9-161

当〃=2,b=3,。=4可构成三角形，止匕时cosC=-------=—.

124

19.(\1)/(\^)/max=-J1,\/fmiinx).=l-e

1

⑵1<a<e©

【分析】(1)先求出函数的单调区间，进而得出函数的最值；

(2)将函数零点转化为方程根的问题，利用分离变量的方法，转化为两个函数图象的交点

问题，进而求解结果.

【详解】⑴当。=e时，函数〃x)=log.X-x=lnx-x,

故;(x)」-1=^^,

XX

答案第11页，共20页

当x«l,e)时,尸(x)<0,故y=f(x)在(l,e)单调减,

当时，/<x)>0,故y=〃x)在单调增，

所以"x)a="l)=T，

又因为/(e)=l-e,f=

所以〃xL=f(e)=l—e；

(2)因为函数/(x)有两个零点

1nv

^f(^x)=logx-x=-----%=0有两解，

aIna

所以方程处=In。有两个不同的解，

X

InX

即为函数y=」的图象与函数y=in。的图象有两个不同的交点,

x

令g(x)=F，故g，(x)=EF，

当X€(e,+oo)时，g'(x)<0,故y=g(x)在(e,+oo)单调减,

当xe(O,e)时，g[x)>0,故y=g(x)在(0,e)单调增,

如图所示

而g(e)=L所以0<lna<L所以1〈”击

令//(%)=^^-lna,

因为/z(l)=-lna<0,/z(e)=——lntz>0,

所以"(%)=乎-Ina在(0,e)上有一个零点，

又当%f+oo时，g(%).0,/z(x)——ln〃<0,/i(e)=——In>0,

所以//(力=手-Ina在(e,+8)上有一个零点，

答案第12页，共20页

所以函数/，（力有两个零点，即当l<q<1时，函数/（X）有两个零点.

20.(1)证明见解析

(2)arccos

3

【分析】（1）根据已知可推得尸0，相）,然后即可根据面面垂直的性质定理，得出线面垂

直；

（2）根据已知证明OCLAD,建立空间直角坐标系，得出P8,CD的坐标，即可根据向量

法得出答案.

【详解】（1）由已知可得，PA=PD,。为AD中点，

所以，POLAD.

因为面上4£>_L底面ABCD,面上4£>c底面ABCD=AD,POu平面PAD,

因为AD=23C,。为中点，

所以0A=3C=l,po=y/p/c-OA1=1-

又因为BC7/AD,

所以四边形BCQ4为平行四边形，

所以，OC//AB,S.OC=AB=1.

由已知AB_LXD,所以OCJ_AE).

如图，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,l),C(l,0,0),3(1,-1,0),0(0,1,0),

所以，PB=(1,-1,-1),CD=(-1,1,0),

答案第13页，共20页

PBCD-1-1A/6

所以，cos(PB,CD)=

PB||CD|73X723'

所以，异面直线PB与CD所成角的余弦值为逅，大小为arccos逅

33

丫2

21.⑴亍+y2=i

誓；②证明见解析.

⑵①SQRS

【分析】(1)利用椭圆的定义与性质计算即可；

(2)①直接求直线QR的直线方程，与椭圆联立可得RS的坐标，利用三角形面积公式计算

即可；②法一、设Q,RS三点坐标及直线OR和直线QS的方程，与椭圆联立结合韦达定理

s

化简得出RS纵坐标与。纵坐标的比值，再根据三角形的面积公式用坐标表示不理，从而

3少M

构造函数“X)二

X2+——

48

证明外力(〃1)即可；法二、设"=40耳，QS=g,根据定比点差法由。横坐标表

示4〃，再利用三角形面积公式计算得」^

°QFXF2

法三、设。耳=九耳氏，。耳=〃月5,同法二利用定比点差法由由。横坐标表示尢〃，再利用

ORSX+14+1

三角形面积公式计算得S三-=二—J,余下同法一计算即可.

,QFXF2”"

【详解】(1)依题意可得.以工的周长已阳=|。耳I+C闾+1阳川飓l=4a=8n〃=2,

又椭圆的禺心率为贝Ue=£=，^=>c=,

2a2

解得〃=/一°2=i,

所以C的方程为亍+丁=1；

(2)①由上可知:0(0,1),耳卜疯0)出(后=#,

所以直线QR的方程为丫=走尤+1,

3

答案第14页，共20页

片丁+1

联立直线QR与椭圆方程

f2।

一+V=1

14/

（ah

由椭圆的对称性可得s

\'7

因止匕S^QRS

②证明：设直线。尺和直线QS的方程为％=my—石,％=”+旧,

设。（%，％），氏（%，%），5（%2，%），

联立QH和椭圆得：（加2+4）/一2行仅y—1=0,

2y/3m

%+M=2;…二一心

可得m+4,同理可得：＜

11

%%=一7^

又因为毛=my「瓜x0，所以为+苗.二=-26%+四,

^^为X%

所以如__ZL=-2V3x0-6,即如•二-2百%-7.

同理可得工±匹=2石〃=2池/-八,及±造=2®「6,即&=2gx0-7

%%%%%

于是S弊；3HQ驯必RQS30

%一%

不妨设为＞。,

S@g^\QF,\-\QF2\sin^RQS5,四治%

因此以2松=1一；!"；1_日_；!闺用%="vo1+

—----1—尸--------

20%+7人2百%-7,

_A2Gx0+82v§%0-8坨；

-为2氐0+7,2氐o-7

XQ---

012

答案第15页，共20页

4-4y：-y=昌。三

=

S^QRSy^y()

舟48

设〃%)=—U-，%e(O,l],

1~~

y°+48

下面证明〃x)4〃l)=誓,xe(O,l]

48后+16瓜v64石，化简得言言

48/+149

48

即(1)浮

即证明147尤3—192x2+49X-4<0,<0,

49cs44Q254

又5/_耳1+方=o的判另|j式小于等于0,^_zx__x+_>0,

因此(x-l)(Bx2_gx+\

«0,尤6(0』，原命题得证.

故当3s面积最大时，QRS必定经过C的上或下顶点.

解法二：②证明：设设砺=丸函,

玉二(1-/I)/-九

则有

、%=。-

[+"⑴

又

[(1-4)/-6"]

+[(1-乃为了=1⑵

4

2

2A/32(1-2)X0-3/1

⑴X(1—X)2_(2)可得=2(丸_2),

4

即2=2叶。+8

2yl3X。+7

设。5=〃凿，同理可得〃=；［；£：,

s^\QR\-\QS\sinXRQS

不妨设为＞。，于是所以不驾

：MM|sin/RQS以,。用

答案第16页，共20页

所以S郊”3年"国・段.武，

下同法一；

解法三：②证明：设Q（x0,%）,△（%,%）,设。耳=2耳R,

则有卜。+狗=-白（1+9

、［%+M=0

m=i⑴

又2

?+才=1⑵

⑴-⑵义万可得宜上半9!+（为+孙心「皿）=1一入

即％0-川二结合为+彳为=一6（1+彳）解得X=2瓜。+7，

设。6=〃£S,同理可得〃=7-26/,

丁是S"却