高考数学一轮复习强化训练题一 集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用（含解析）

阶段复习检测（一）

集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用

[对应学生用书P299]

（时间：100分钟满分：120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设集合/=Error!,8=｛（x,力卜=3%则416的子集的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

D[由函数y=3*的图象及椭圆必+必=1知208含2个元素，所以208的子集的

416

个数为22=4个.]

2.曲线p=/+lnx在点（1,1）处的切线方程为（）

A.3x-y-2=0B.x-3y+2=0

C.3x+y-4=0D.x+3y-4=0

A[y=2x+1,故川X=1=3,故在点（1,1）处的切线方程为外1=3（x-1）,化简整理

x

得3x-y-2=0.]

3.（2019•安徽蚌埠一模）设a>0,且左1,则"函数。）=/在R上是增函数"是

"函数am=*在R上是增函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

D[由函数0）=射在R上是增函数知，a>1;当a=3时，貳切的定义域为（0,+

2

8）,不能满足aM=*在R上是增函数；而当a=：时，g（M=x：在R上是增函数，止匕时

/W=A『在R上是减函数.]

4.（2019•贵州贵阳月考）已知函数/w的导函数为6（取且满足0）="皿+%则尸

X

'⑴二（）

A.-1B.-1

2

C.1D.1

2

C[由4M=何口+%得尸(M=-&^+1

XA2

故"⑴=-尸⑴+1,即"⑴=1]

2

5.（2019・山东日照模拟）设曲线y=sinx上任一点（x,勿处切线斜率为则函数y

的部分图象可以为（）

ABCD

C[曲线JZ=sinX上任一点（x,M处切线斜率为p（A）,=cosx,则函数y=

足或力=/-cosx,设KM=/-cosx,则4-M=4M,cos（-M=cosx,:.y-4M为偶函

数,其图象关于y轴对称，排除A、B.令x=0,得頫）=0.排除D.]

6.若函数仆）=^v-lnx在区间（1,+8）上单调递增，则左的取值范围是（）

A.（-oo,-2]B.（-co,-1]

C.[2,+oo）D.[1,+oo）

D[由条件知，⑴二八11在（1,+8）上恒成立，即公1在（1,+8）上恒成立，

XX

A>1,

X

7.（2019・陕西宝鸡模拟）已知偶函数力）对vxeR满足Q+用=絃-用，且当-34心

0时，/W=log5（2-M,贝！J寸2015）的值为（）

A.2015B.2

C.1D.0

C[.72+M=42-M,.•/4+M=/f2-(2+»]=/rM.又MM为偶函数,即小M

=0），.Mx+4）=/（M,

则4M是以4为周期的周期函数，

••.42015）=43）=4-3）=log5［2-（-3）］=1.］

8.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27n,且用料最省，则圆柱的底面半径

为（）

A.3B.4

C.6D.5

A［设圆柱的底面半径为??,母线长为/,则I/=TT乃/=27n,.•./=〃，要使用料最

序

省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和5最小.由题意，S=n不+2n/?/=n乃+2TV27

R

..•.S=2TT/?-54U,令S=0,得/?=3,则当/?=3时，5最小.］

9.已知a为函数上）=2-12x的极小值点，贝!|a=（）

A.-4B.-2

C.4D.2

D［由题意可得，（M=3M-12=3（x-2）（x+2）,令，（M=0,得x=-2或x=2,

则，（M,/W随x的变化情况如下表：

X(…，-2)-2(-2,2)2(2,+oo)

+0-0+

□极大值□极小值□

二函数/W在x=2处取得极小值，则8=2.］

10.函数的定义域是R,頫）=2,对任意尤氏厶）+，（团>1,则不等式

eMM>e*+1的解集为()

A.{^A>0}B.{很<0}

C・{闻><-1或A>1}D.{Mx<-1或0<x<1}

A［构造函数p（A）=铲心）-e\因为g（R=物心）+e"（M-ex=+/（A）］-

e>>e，-e*=0,所以-e*为R上的增函数，又因为/0）=6。選0）-e0=1,所

以原不等式转化为>[0),解得Q0.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

11.(2019•广西桂林检测)如图，函数[»=的图象在点。处的切线方程是y

5

=-x+8,贝!105)+f'(5)=.

-5[由图象可得夕点坐标为(5,3),得[5)=3,故Q)=p(5)-lx52=-2,。(5)=

5

-1且。(M=〃(M+2X,贝〃'⑸=。⑸-2X5=-3,故45)+>(5)=-2+(-3)=-5.]

一55

12.(2019•广东汕头一模)已知函数0)=[)〃+Inx-2x在定义域内是增函数，则实

2

数m的取值范围是.

[1,+OO)=/77X+1-220对一切X>0恒成立，

X

二心一》产2令生)=-R2+2,则当1=1时，函数夂用取最大值1.故加1.]

%X%XX

13.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为夕元，销量

。(单位：件)与零售价双单位：元)有如下关系：。=8300-170夕-加，则该商品零售价定

为元时利润最大，利润的最大值为元.

3023000[设商场销售该商品所获利润为y元，则y=(p-20)(8300-170p-田

=-^-150^+11700p-166000(p>20),则八-3^-300^+11700.令p=0得

加+100夕-3900=0,解得夕=30或夕=-130(舍去).贝(|夕，y,〃变化关系如下表：

P(20,30)30(30,+oo)

+0-

y□极大值□

故当p=30时，y取极大值为23000元.

又卜=-4-150伊+11700夕-166000在[20,+8)上只有一个极值，故也是最

值.所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元.］

14.(2019•山东临沂统考)对于函数/W,如果可导，且/W=F(M有实数根X,则

称x是函数的驻点.若函数aM=〃(x＞。)，/Z=lnx,o(M=sin的驻点

分別是用，加，跖，则为，及，跖的大小关系是(用连接).

的〈及＜用［由题意对于函数如果")可导，且/W=有实数根x,则称x是

函数4M的驻点.可知函数［M=/(x＞0),可得2x=〃，解得M=2,/XM=lnx,可得1

x

=lnx,如图:

至w(1,2),夕(M=sinM。＜*＜爪)，可得cosx=sinx,解得的=岂＜1,所以的＜此＜

4

用.］

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(12分)已知定义在R上的奇函数/W有最小正周期2,且当旌(0,1)时，仆)=

2乂

4'+「

⑴求对)和心1)的值；

(2)求心)在［-1,1］上的解析式.

解⑴是周期为2的奇函数，

.•如=册-2)=…)=-4D,

.-./(1)=0,仆1)=0.

(2)由题意知，"0)=0.

当疋(-1,0)时，-疋(0,1).

MM是奇函数，

二例=-4-M=—2*=—^―,

4-+14*+1

综上，在［-1,1］上，=Error!

16.(12分)设/为曲线C片此将点(1,0)处的切线.

x

⑴求/的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.

⑴解.7=",.夕=1-広x,

x/

・•・/的斜率k="=1=1，，/的方程为片x-1.

⑵证明令4M=Mx-1)-lnx,(x>0),

曲线。在直线/的下方，即/W=Mx-1)-lnx>0,

贝［I=2x-1-1=口2=+1口口x-1口,

XX

:/W在(0,1)上单调递减，在。，+8)上单调递增，又41)=0,

.•.代(0,1)时，4M>0,即心<*-1;

X

尤(1,+8州寸，仆)>0,即皿<x-1,

X

即除切点(1,0)之外，曲线6■在直线/的下方.

17.(12分)(2019•湖北武汉调研)已知函数七)=Inx-皿印(awR).

x

(1)求函数4M的单调区间；

(2)求证：不等式(x+1)lnM>2(X-1)对vx£(1,2)恒成立.

⑴解定义域为(0,+8),

①a40时，，(M>0,/(M在(0,+8)上为增函数；

②a>0时，4M在(a,+8)上为增函数，在(0,a｝上为减函数.

(2)证明法--.^(1,2),/.%+1>0,

，要证原不等式成立,

即证In%>20x-1口对VXRI,2)恒立,

x+1

令p(M=lnx-202c^(^=0^-^>0,

x+1口丫+1口2

.力团在(0,+8)上为增函数，

二当代(1,2)时，«M>ai)=ln1二m-1口=0,

1+1

.".In2alm对vxR1,2)恒成立，

x+1

：.(x+1)lnx>2(x-1)对vxe(1,2)恒成立.

法二令片切=(*+1)1|1*-2(*-1),

户(M=lnx+"^-2=ln

XX

令夂MTnx-2^,由(1)知a=1时，

x

到M在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数.

,.冋1,2),则以M在(1,2)为增函数,仪M>仪1)=0,

即冋1,2),户(M>0,•.・平)在(1,2)上为增函数，

尺①>尺1)=0,

「.(X+1)lnA>2(%-1)对\/恒(1,2)恒成立.

18.(14分)(2019•辽宁丹东模拟)已知仆)=-呢+Inx,-2ax+1+Inx

22

⑴求函数/W的极值.

(2)若均是函数p(M的极大值点，证明：AblnXQ-a>&>-1.

⑴解4M定义域是(0,+8),，囚=3处

X

令,(用=0得X=血冽表：

3

V3

X电(0,+8)

3

+0-