山西省高二年级上册11月期中考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.已知点/。,0),8(2,句，则直线力3的倾斜角是()

A.60°B.120°C.30°D.150°

【答案】A

【分析】求出直线Z8的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.

【详解】因为点/(1,0),网2,间，所以3B=S二2=6，

设直线AB的倾斜角为a,则0<cr<180°，

所以a=60.

故选：A.

2.已知圆(X-1)2+/=4内一点尸(2,1),则过尸点的最短弦所在的直线方程是()

A.x-y-l=0B.x+y-3=0

C.x+y+3=0D.x=2

【答案】B

【分析】设圆心C,由圆的对称性可知过点尸与3垂直的直线被圆所截的弦长最短

【详解】由题意可知，当过圆心且过点尸(2」)时所得弦为直径，

当与这条直径垂直时所得弦长最短，

圆心为。(1,0),尸(2,1),

则由两点间斜率公式可得3~1-0=\,

所以与PC垂直的直线斜率为％=-1,

则由点斜式可得过点P(2,l)的直线方程为y-1=-1X(X-2),

化简可得x+y-3=0,

故选：B

3.直线3x+4y+5=0关于直线x=l对称的直线方程为()

A.3x—4y+13=0B.3x-4y—11=0

C.3x+4y-11=0D.3x+4y+13=0

【答案】B

【分析】设点P(x,y)是所求直线上任意一点，进而求得其关于X=1对称的点为尸'(2-X/),再代

入已知直线方程即可得答案.

【详解】解：设点P(x,y)是所求直线上任意一点，

则尸(X/)关于直线X=1对称的点为P'(2-xj),且在直线3x+4y+5=o上，

所以，代入可得3(2-x)+4y+5=0,整理得3x-4y-lI=0.

所以，所求直线方程为3x-4y-ll=0.

故选：B

4.“q=-l"是"直线4：(a+2)x+(l_q)y_l=O与4：(a_l)x+(2q+3)y+2=0互相垂直”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】判断两直线垂直的方法：设两直线为4：4X+8J+G=0,l2-.A2x+B2y+C2=0,

4，/2=44+与&=0,代入求解参数“，根据充分必要性的判断法则即可得答案.

【详解】解：由题意得：

/,112的充要条件是(。+2)(0-1)+(1-a)(2a+3)=0

即T-l=0,故解得1=±1

于是“4=_[”是"直线4：5+2)—》_1=0与/2：("l)x+(2a+3)y+2=0互相垂直”的充分不必

要条件.

故选：A

5.若两条平行直线4：工一2歹+阳=0(〃?>0)与/2：%+^-3=0之间的距离是逐，贝+()

A.0B・1C・—2D・—1

【答案】A

【分析】由两直线平行求得参数〃，再由距离求出“，后即得.

【详解】由题意两直线平行，则；==，〃=-2,

1-2

又”=加智=遥，而加>o,所以〃?=2.

V5

所以加+〃=0.

故选：A.

6.以下四个命题表述正确的是()

A.直线mx+4yT2=O0neR)恒过定点(3,0)

B.两圆x?+y2+4》一4了=0与》2+_/+2》-12=0的公共弦所在的直线方程为》+2夕+6=0

C.已知圆C：x2+y2=2,P为直线x+y+2g=0上一动点，过点P向圆C引条切线P4,其中

力为切点，则口的最小值为收

D.圆G：/+必+2》=0与圆G：x2+/-4x-8y+4=0恰有三条公切线

【答案】D

【分析】代入检验法判断A,两圆方程相减可得公共弦所在直线方程（如果有公共弦），由此判断

B,求出圆心到直线的距离得|PC|的最小值，从而得切线最小值判断C,确定两圆位置关系后得公

切线的条数判断D.

【详解】选项A,3加+0-12=0不可能恒成立，因此直线加x+4y-12=0不恒过点（3,0）,A错；

选项B,两圆方程相减并整理得x-2y+6=0,因此它们的公共弦所在直线方程不可能是

x+2y+6=0,B错；

选项C,C（0,0）,圆半径为厂=及，|p/|=J|pq2--=J|PCf一2,

而1Pqim.」°+蓑2闽=卡,所以归/仁=疝/=2,C错；

22

选项D,两圆标准方程分别为G：（X+1）2+/=1,C2:（x-2）+（y-4）=16,

6（-1,0）,4=1,GQ,4）,r2=4,

|C£|="（-1-2）2+（0-4>=5,而|GG|=4+2，两圆外切，它们有三条公切线，D正确.

故选：D.

7.已知中心在原点,焦点在x轴上,焦距为4的椭圆被直线［：）=x+3截得的弦的中点的横坐标为-

2,则此椭圆的方程为（）

.x2y2x1y222x2y2

A.—+—=1B.—+—=1C.—x+—y=1D.—+—=1

426284128

【答案】C

【分析】因为是弦中点问题,可以用点差法，找到长半轴长和短半轴长之间关系,再根据焦距求出椭圆

方程即可.

【详解】解:由题设,若椭圆方程为会+会>=1（。>6>0）,

令直线/与椭圆交点分别为力（再,必）,8（%,巴）,

则有句+4=1①看+4=1②,

abab

两式作差可得：史在=丘这，

ab

即皿3=上,

x2-x}x24-Xja

易知，弦的中点（-2,1）,所以乂+%=2,芭+%=-4,

因为直线，：1x+3,所以心=1,

故如,：二一5'所以'=；，

又c=2,a?一b?=4,

解得从=4,/=8,

故E的方程为4=1.

84

故选:C

8.在一平面直角坐标系中，已知5（2,-6）,现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角，则

折叠后A,B两点间的距离为（）

A.2aB.aC.V17D.3加

【答案】D

【分析】平面直角坐标系中已知力（T6）,8（2,-6）,现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角后，通

过向量的数量积转化求解距离即可.

【详解】解：平面直角坐标系中已知/（T6）,8（2,-6）,沿x轴将坐标平面折成60。的二面角后,

作/Clx轴，交x轴于C点，作801%轴，交x轴于。点，

则即卜6,回=3,|/=6,定,丽，丽_L丽，就质的夹角为120°

•,•石=%+丽+而，

AB2=~AC2+CD2+DB2+2AC-CD+2CD-DB+2AC-DB=62+32+62-2x6x6x1=45

2

AB=3#),

即折叠后A,B两点间的距离为3VL

故选：D.

【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理

运用.

9.已知尸是椭圆。:三+券=1的右焦点，尸为椭圆C上一点，4（1,2a）为椭圆外一点，则

|尸才|+|尸产|的最大值为（）

A.4+亚B.472C.4+73D.473

【答案】D

【分析】设椭圆C的左焦点为尸（-1,0）,由已知条件推导出眼|+|尸产|=阳|+2江-|尸凹,当点P

在ZP的延长线上时，得|尸4|+归产|的最大值.

【详解】解：••・点尸为椭圆C:二+片=1的右焦点，

32

，尸。,0）,

・••点P为椭圆C上任意一点，点4的坐标为4（1，2后），点Z在椭圆外，

设椭圆C的左焦点为尸'（-1,0）,

：.\PA\+\PF\=\PA\+2y/3-\PF'\,

=2y/3+\PA\-\PF'\,

■.■\PA\-\PF'\„|^|=273,当点P在/F的延长线上时取等号,

.-.|P^|+|PF|„4石,

则|可+|尸尸|的最大值为4vL

故选：D.

10.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数A

（%>0且人工1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点工、8间的距离为

2,动点P与/、8距离之比为拉，当△P/B面积最大时，APPB=（）

A.-8B.-16C.8D.16

【答案】B

【分析】由题意，建立平面坐标系，根据圆的几何性质以及三角形的面积公式，求得三角形面积最

大时，动点的坐标，根据数量积的坐标表示，可得答案.

【详解】由题意，以48的中点。为原点，以所在直线为x轴，以过。垂直于直线力8的直线为

N轴，建立坐标系，

则力（-i,o）,HLO）,设尸a、），故博=&，则）x+i）：+y=五,

附7（^-0+/

整理可得：（X-3『+J，2=8,即尸的轨迹是以C（3,0）为圆心，以r=2&为半径的圆，如下图：

由48,C共线，则当CPL/B时，△尸的面积最大，不妨设P在第一象限，此时尸（3,20）,

可得万=（4,20）,而=卜2,-2&）,丽=-8-8=-16.

故选：B.

11.如图，在棱长为2的正方体中，E为8c的中点，点P在线段上，点P

到直线CG的距离的最小值为（）

「75

L•----口音

5

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点P到直线CG距离的函数关系，再求其最小值

作答

【详解】以。为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则E(l,2,0),£>,(0,0,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),

所以西=(一1,-2,2),CC；=(0,0,2),C£=(1,0,0),

因点尸在线段RE上,则4e[0,1],>=AED；=(-2,-22,2/1),

CP=CE+EP=(1-2,-22,22),

所以向量屈在向量而上投影长为"=，^|^=彳=23

而同=J（1-4）2+（_2㈤2+（24,

则点P到直线CC,的距离仁J阿-/=。5把-2/1+1=业->手，

当且仅当7=（时取等号，

所以点尸到直线cq的距离的最小值为竽，

故选：D

12.我国南北朝时期的著名数学家祖唯原提出了祖晒原理：“基势既同，则积不容异意思是，夹在

两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，

则这两个几何体的体积相等.运用祖眶原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径

相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶

点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它

们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即

1%=万心,R-：万Rg^内现将椭圆片+以=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如

图③），类比上述方法，运用祖胞原理可求得其体积等于（）

图1图2图3

A.32乃B.24万C.184D.16万

【答案】D

【解析】构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖晒

原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.

【详解】解：构造一个底面半径为2,高为3的圆柱，

在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，

则当截面与顶点距离为〃（04〃43）时，小圆锥底面半径为r,

则”，

2,

/.r=—/?,

3

4,

故截面面积为：4兀-37rh2,

把y=〃代入工+片=1,

49

x2h2

即Rn一+——=1t,

49

解得：X=±|j9-〃2,

4

橄榄球形几何体的截面面积为^x2=4^--7Th2,

由祖眶原理可得橄榄球形几何体的体积为：

>=2（夕圆柱圆锥）=2x（4乃x3-；x4万x3）=16万.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱,通过计算得到高相等时截面面积相

等，根据祖瞄原理得到橄榄球形几何体的体积.

二、填空题

，2

13.若产是工+匕=1上的一点，耳，鸟是其焦点，若3"=60。,则△耳P玛的面积为

10064

【答案】处3嗯6

33

【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.

【详解】根据椭圆的定义有|产用+|尸用=20①，c=Jj而二莉=6,

根据余弦定理得144=|PZf+|PE「-2|PGPE|cos60。，②

结合①②解得归耳||Pg|=华，所以△月也的面积S=3尸制|尸用sin60。=，x空x且=处8,

J22323

故答案为：处8

3

14.实数X"满足了=收二”，那么一2二的最大值为

【答案】1

【分析】判断点(XJ)的轨迹，然后结合斜率以及图象求得上；的最大值.

【详解】y=^7nx2+y2=2(y>0),

所以点(x,y)的轨迹是以原点为圆心，半径为正的圆的上半部分，

胃匚齐表示点GM与点/(-2,o)连线的斜率，

X十乙兀IX1

过A作半圆的切线48,切点为8,如下图所示，则O8J.48,

由于|。/|=2,|。邳=y/2,\AB\=拒了=V2，

所以三角形是等腰直角三角形，所以直线的斜率为1,

也即二二的最大值为1.

故答案为：1

15.如图，已知四棱柱Z8C0-44GA的底面481G2为平行四边形，AE=^AB,AF=^AD,

—■—­——AM

AG-2GAt,与平面EFG交于点M,贝•

DC

2

【答案】Ts

【分析】设/M=4/G(O<2<1),由空间向量运算法则表示出4"=3/ME+3/M尸+5-G,结合M,

E,F,G四点共面，可得3/+3/t+|/=l,解出即可得到答案.

【详解】解：由题设而=2布(0”<1),

------------..-----3--

JC,=AB+AD+AAy=3AE+3AF+^AG,

所以而=3/荏+34万+豺而,

又因为"，E,F,G四点共面，

所以34+3/+9=1,

2

解得几=行，

2

故答案为：—.

16.已知椭圆。:]+/=1(“>6>0)的左、右焦点分别是耳，F”斜率为g的直线/经过左焦点

耳且交C于A,5两点(点A在第一象限)，设△//=；"的内切圆半径为的内切圆半径为

4，若1=3,则椭圆的离心率6=.

r2------

【答案】叵

4

【分析】根据题意得:=一放=3,进而联立直线与椭圆方程得〃+%=/1余，

"•几=进而令&=-丛=力>1,贝+=再代入值计算即可得答案•

。+46riy84一7

【详解】解：如图所示，由椭圆定义可得M耳|+X为|=2%|明|+|阳|=2a,

设△《大鸟的面积为S-ZX8K工的面积为$2,因为q=3,

；(2a+2ck5；x2cx”

所以，T----------=-r=-r---------^-=--=3,即”=-3几,

$(2a+2c儿2-x2cx(-yfi)公为

设直线/:x=2y-c,则联立椭圆方程与直线/,可得

x=2y-c,>>>4

b2x2+a2y2+4b一4b①-b=0,

所以'"几=

a2+4b2

2—卜+；.("+%J_-16c?_-16(?16

令「=_%■=几>1,则

a2+4/?25a2-4c2h

弓yyAyB

ffe-

416e」ne*

当-=2=3时，有2-3+-

F164•

ri

故答案为：正

三、解答题

17.已知£=(3,-2,-3),i=(-1,3,1),求:

(1)(a-2ft)(2a+6);

(2)以2，否为邻边的平行四边形的面积.

【答案】(1)58

(2)772

【分析】(I)先计算(£—25)，(2a+1)的坐标，再计算(£—2否)，(2a+5)即可；

⑵利用coseal>=M^计算cos再计算sin<£,B>=Jl-cos?<£[>

,结合面积公式

1«11*1

S=|tz||ft|sin<a,h>即得解.

【详解】(1)由£=(3,-2,-3),*=(-1,3,1)

a-26=(5,-8,-5),2a+ft=(5,-1,-5)

(a-26H2a+6)=5x5+(-8)x(-l)+(-5)x(-5)=58

-ra-h—126>/2

(2)'/cos<a,b>=­r==------

\a\\b\V22-V11H

/.sin<a,h>=^/1-cos2<a,h>=5

故以£，g为邻边的平行四边形的面积：S=\a\\b\sin<a,h>=y[22x^\x2-=7y/2

【点睛】本题考查了向量数量积的运算以及在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数

学运算的能力，属于中档题.

22

18.已知圆G:/+/=1,HC2:x+y+4x-4y+4=0,直线/过点”(1,2).

(1)求圆G的圆心和半径；

(2)若直线/与圆G相切，求直线/的方程；

⑶求圆G和圆G的公共弦长.

【答案】(1)圆心坐标为Cz(-2,2),半径4=2；

⑵3x-4y+5=0或x-1=0

⑶半

4

【分析】(1)根据题意将圆G的方程化成标准方程，直接求出圆心坐标和半径；

(2)根据题意可知：直线/的斜率可能不存在，直接写出方程，当直线/的斜率存在时，设其方

程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解；

(3)将两圆方程联立可得出公共弦所在直线方程，然后求出其中一个圆心到直线的距离，再利用

垂径定理即可求出公共弦长.

【详解】(1)因为圆G：/+_/+4x-4y+4=0可化为(x+2『+(夕-2『=4,

所以圆G的圆心坐标为GQ2,2),半径与=2.

(2)因为过点"(1,2)的直线/与圆弓：/+/=1相切，

所以分两种情况：若直线/的斜率不存在时，则直线/的方程为x=l；

若直线/的斜率存在，设直线/的方程为y-2=©x-l),也即b-y-A+2=0,

\l-k\3

由点到直线的距离公式可得："=力^=1,解得：k=j

Jl+%24

此时直线/的方程为3x_4y+5=0,

所以直线/的方程为3x-4y+5=0或x-l=O.

(3)因为圆G的圆心坐标G(°，°),半径6=1，

则1=々-「<\CtC2\=2y/2<r2+rt=3,所以两圆相交，

两圆方程联立可得公共弦所在直线方程为：4x-4y+5=0,

圆G的圆心到公共弦的距离d==半，

>/42，+428

由垂径定理可得公共弦长为2^-d-=2^P||=孚,

所以圆G和圆G的公共弦长为巫.

4

【点睛】1.过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系.

若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.

2.圆的弦长的常用求法：

(1)几何法：求圆的半径为r,弦心距为d,弦长为/,贝h=2户方；

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|^|=Vr7F|x,-x2|.

19.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4,且过点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)倾斜角为45。的直线/过椭圆的右焦点尸交椭圆于48两点，求口048的面积.

【答案】(1)上+^=1

43

⑵字

-V

【分析】(1)设椭圆的标准方程为:7V=1（。>6>0）长轴长可得。值，再代入P点坐标求得

b,得椭圆方程;

(2)设/(占,必)，8(Z,%)，写出直线48方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得再+%,为々，由

弦长公式求得弦长|力耳，再求得圆心到直线Z5的距离后可得三角形面积.

【详解】(1)因为椭圆的中心在原点，焦点在X轴上,

X2y2

所以设椭圆的标准方程为:——H--——1(〃>6>0),

a"b"

因为椭圆的长轴长为4,所以2〃=4,得。=2

319

又过点尸(1»)，所以7+/=晨得〃=3

所以椭圆的标准方程为：—+^=1;

43

(2)由(1)可知：尸(1,0),倾斜角为45。的直线/的斜率为1,

所以直线’的方程为：j-O-lx(x-l)^x-y-1=0,

代入椭圆方程中，得片+生辿1=1,

43

lx"—8x—8=0>设/(须，必)，8(々,%)，

by88

所以玉+%2=,，阳工2二一亍

因此=Vl+lxJ(X1+々)2—41覆=亚x^~+~=~，

原点到直线AB的距离d=~^==4,

01,1247265/2

S&OAB=-</-||^7(^D||=-X—X—=-y-,

所以。0/8的面积为逑

7

20.如图，四棱锥尸-N88中，PDLJ^4BCD,ABUCD,ABLBC,AB=2PD=2DC=2BC=4

—1—•

,〃为CO的中点，PN=-PB.

(1)求证：儿火〃平面尸/。；

(2)求二面角尸-/N-M的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵-画

59

【分析】（1）在网上取一点。，使得而=:苏，证明四边形是平行四边形，即可由线面

平行的判定定理证明MN//平面PAD；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面尸/N和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角

P-AN-M的余弦值.

—1—

【详解】（1）在左上取一点。，使得=

4

1------]一

DC=-AB,M为C。的中点，则〃。=一"4,

24

而而=而-丽=；（苏-西=；初，

所以而=而，即N。//"。，NQ=MD,

所以四边形MN。。是平行四边形，则MN//。。，

又MNU平面H4D,。0<=平面P/。，

所以用N//平面

（2）以。为原点，DC,。尸分别为V轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,-2,0),尸(0,0,2),5(2,2,0),(0,1,0)

AP=(-2,2,2),而=(2,2,-2),AM=(-2,3,0),

353

AN=AP+PN=AP+-PB=

4222

设平面PAN的法向量为m=(xj,z),

则正.»=(),嬴俞=0，

-2x+2y+2z=0

,353八，所以y=。，取x=l,可得z=l,加=(1,0,1)

222

设平面4M0的法向量为〃=(£)',z。，则7.京=0,n-AM=0,

-2/+3/=0

353取x'=9,/=6,z'=-lA?=(9,6,-1)

--/+-y+-?=o

222

8__4病

V2VH8-59

又二面角P-/N-也为钝角，故其余弦值为一生画.

59

21.如图，在三棱柱48C-14G中，口/8C为等边三角形，四边形8CG4是边长为2的正方形,

。为45中点，且％£>=石.

⑴求证：C。L平面4844；

(2)若点尸在线段8c上，且直线4尸与平面4。所成角的正弦值为半，求点尸到平面4CD的距

离.

【答案】(1)证明见解析

⑵亚

'5

【分析】(1)由勾股定理证明再由4/L8C,可证平面/8C,即得CO_L14,

由可证8,平面(2)由题意证明得0403,。。两两垂直，建立空间直角坐

标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面4。。的法向量，设

丽=4西=(2力,27,0)"e[0,1],再由向量夹角的公式代入计算得方=(1,1,0),根据点到平面的距

离公式代入计算，可得答案.

【详解】(1)证明：由题知"4=2,40=1,4。=6，

22

/.AD+A,A=5=QnA{A1AD,

又B】BLBC,B】B〃A、A,所以N/LBC,

又ZZ)n8C=8,ZD,8Cu平面/8C,

所以4/J.平面NBC,又CL>u平面/8C,所以CO，/4,

在正口45。中，。为中点，于是CDJ.48,

又Z8c441=/,48,44]u平面,所以C£)_l.平面45月4

(2)取8c中点为。，与G中点为0,则0ZJ_8C,0QJ.8C,

由(1)知，Z/1平面ZBC,且ONu平面48C,

所以。/_L441,又B、B〃A、A,

所以OA工BB\,BB\CBC=B,,8Cu平面8。。四

所以0/，平面8cqq,于是。4。5,。2两两垂直.

如图，以。为坐标原点，砺，而，厉的方向为x轴、了轴、z轴的正方向,

建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),/仅,0,@，4仅，2,@,"-1,0,0),

噌,0,凰,片(1,2,0),所以函=|,0,叫斗(1,2词，

西=(2,2,0),万=(-1,0,-6).

设平面4co的法向量为5=(xJ,z),

，+储=0

n-CD=O

则即<22

n-CA=0

1x+2y+Gz=0

令x=l,贝ljz=-ay=l,于是〃=(1,1,一百).

设丽=4两=(22,22,0),2€[0,1],

则万=%+而=就+几西=(2丸_1,2/1,_百).

由于直线力尸与平面4C。所成角的正弦值为乎,

|22-1+2Z+3|2亚

Vl+l+3-J(2/l-l)2+(2Z)2+35

即|22+1|二版匚1百五厂K,整理得

4储-8力+3=0,由于2e[0,l],所以％=；,

于是而=2两=(1,1,0).

\CP-n\|1+1|2石

设点p到平面4CD的距离为d,贝|Jd=Lpn-1=]=4-,

所以点P到平面4CD的距离为誓.

【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法

向