直击2024年高考-高三数学秋季期末卷3（全国版）-答案解析

高三数学秋季期末押题卷（全国版）3-答案解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1,已知全集U=R,A={x\x2<9},B={x\-2<x<4},则4n（CRB）等于（）

A.{x|-3<%<—2)B.{x|3<x<4]

C.{x|-2<%<3}D.{x|—3<x-2}

【答案】D;

【解析】解：因为全集U=R,A=[x\x2<9},B={x\-2<x<4},

所以4={x|-3<%<3},CRB={x\x>4或x<—2},

则2n(CRB)={x|-3<%<-2}.

故选：D.

2、已知复数z满足z=—1+gi(其中i为虚数单位)，则。=()

\z\

A.一工+更IB.-i-^IC.工+更ID.

222222

【答案】B;

【解析】解：•・,z=—1+gi,5=-1—百i,\z\-2,

故选：B.

3、FE[1,2],a%2+1<0”为真命题的充分必要条件是()

i

A.a4—1B.a4—C.a4—2D.a40

'4'

【答案】B;

【解析】解：:VxG[1,2],ax2+140,・,・ax2<—1,a<0,

,・,%G[1,2],・•・ax2G[4a,a],

“V久e[1,2],a%2+1<0"=>"a<--",

4

“a<0u\ixC[1,2]，aK2+i《。”，

“V久G[1,2],a/+140”为真命题的充分必要条件是a

4

故选：B.

4、已知向量q,b满足|a|=1，b=2,(a—b),(a+3b)=—13,贝!Jq与人的夹角。为()

A.7B.IC.—D.—

6336

【答案】c；

【解析】解：由|a|=1，b=2,(a—b),(a+3b)=—13,

得M—3庐+2a-b=l—3x4+2xlx2xcos6=-13，

-i

解得cos。=

又ee[o,TT],

所以"季

即曲评勺夹角。为小

故选：C.

5、已知2a=3-21，c-b=logi(x2+2%+3),则实数a,b,c的大小关系是()

2

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】A;

【解析】解：因为2a=3・2〃T,所以2a=|x2b=2a-b=|>i=20=a—b>0na>b,

又因为c—b=logi(x2+2%+3)=logi[(x+I)2+2]<logi2=—l=c—bV0=c<b,

222

则实数a,b,c的大小关系是a>b>c.

故选：A.

6、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、

蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次

选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜

欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）

1155

A.—B.—C.—D.—

66556611

【答案】C；

【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：

如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，

此时的选法有禺X禺0=30种；

如果同学甲选羊，那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，

此时的选法有禺X禺o=30种；

如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选,

此时的选法有禺X玛0=40种，

则不同的选法共有30+30+40=100种，

而总数有A%=12X11X10种，

故让三位同学选取的礼物都满意的概率是P=,w=

12X11X1066

故选：C.

22

7、已知双曲线,一方=l（a>0,b>0）的右焦点为尸式2声,0）,点A的坐标为（0,1）,点P为双曲

线左支上的动点，且AAPFi的周长的最小值为8,则双曲线的离心率为（）.

A.VIB.V3C.2D.2V2

【答案】D;

【解析】解：由右焦点为0（2四,0），点/的坐标为（0,1），得c=2奁，=回彳=3,由

△4P0的周长的最小值为8,可得|P川+|PF/的最小值为5,

设尸2为双曲线的左焦点，连接PF?,如图所示，则IP&I=IPF2I+2a,

当A,P,尸2三点共线时，|PA|+IPF2I取得最小值，为|力尸2|=3,

即有3+2a=5,即a=l,又c=2鱼,

可得e=£=2vL

a

8、对于数列｛a",规定｛△为数列｛%J的一阶差分数列，其中△an=an+1-an(nEN*),对

自然数k(k>2),规定｛△欠为数列｛a"的k阶差分数列，其中△欠出1=小-1与+1—

k-1

△an.若%=1,且M-△%+i+%=eN*),则数列｛a"的通项公式为()

2n171

A.an=n-2~B.an=n-2T

711

C.an=(n+1)-2n-2D.an=(2n-1)-2-

【答案】B;

【解析】解：根据题中定义，an-△an+1+=(Aan+1-Aan)-Aan+1+an=

-2n(neN*),

a=aa-anan

即时—△nn~(n+ln)=2(Zn—an+1=—2,即册+1=^n+2，

等式两边同时除以291,得瑞=爱+(

.a」+i__工T7也_工

9

••2n+l-9_5，乂万一2

.•・数列｛爱｝是以m为首项，以1为公差的等差数列，

J1+!(«-1)=p--an=n-251.

故选：B.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9、已知点A是直线八支+y—四=0上一定点，点P、Q是圆/+y2=1上的动点，若NPAQ的

最大值为90°,则点/的坐标可以是().

A.(0,V2)B.(1,V2-1)C.(V2,0)D.(V2-1,1)

【答案】A;C;

【解析】解：设点4的坐标为—t),当4P、4Q均为圆的切线时，ZPAQ=90°,

此时四边形24Q。为正方形，则|0川=VI，即七2+(加—£=2，

解得t=0或1=V2，

故4(0,四)或4(加,0),

故选：AC.

10、已知/■(无)为定义在R上的奇函数，当久》0时，有/■(久+1)=—/'(久)，且当xe[0,1)时，

下列命题错误的是()

/(x)=log2(x+l),

A./(2019)+f(—2020)=0

B.函数/(久)在定义域上是周期为2的函数

C.直线y=%与函数八久)的图象有2个交点

D.函数人尤)的值域为[-1,1]

【答案】B;C;D;

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4当久>0时，有f(%+1)=-f(x),则/'(久+2)=-f(x+1)=f(x),即有/'(%+2)=

/1(久)，

又当%时，则

e[0,1)/(%)=log2(x+1),/(0)=log2l=0,

故/⑴=-/(0)=0,

故"2019)=/(I)=0,/(2020)=/(0)=0,

又/(%)为奇函数，则/(一2020)=-/(2020)=0,

故/(2019)+f(-2020)=0,A正确；

对于B,函数门尢）在定义域上不是周期为2的函数，B错误；

对于C,直线y=x与函数〃久）的图象有1个交点，即（0,0）,C错误;

对于D,函数/（久）的值域为（—1,1）,D错误.

故选：BCD.

11、针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中

被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的:女生喜欢抖音的人数占女生人数

的|,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生可能有（）人

附表：

P(K2?*)0.0500.010

附：K2=__n(a"bc)2________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

kXa416.635

A.25B.45C.60D.75

【答案】B;C;D;

【解析】解：设男生可能有无人，依题意可得列联表如下；

再次抖音不喜欢抖音总计

41

男生-X-XX

55

3、

女生XX

55

73

总计-X-X2x

55

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K2>3.841,

由腔=2嘴、=艺〉3,841，解得x>40.3305,

由题意知%>0,且％是5的整数倍，所以45,60和75都满足题意.

故选：BCD.

12、已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,直线/的斜率为旧且经过点尸，直线I与抛物线C

交于点4、B两点(点4在第一象限)，与抛物线的准线交于点£>,若|ZF|=8,则以下结论正确的是

().

A.p=4DF=FAC.\BD\=2\BF\D.\BF\=4

【答案】A;B;C;

【解析】解：如图，Fg,0),直线/的斜率为旧，则直线/的方程为y=遍(久一9，

y2=2px

联立；g(P\9得12%2—20px+3P2=o,

解得：x=fp,x=；p,

AzBo

由=|p+§=2p=8,得p=4,

.•.抛物线C的方程为y2=8x.

•1-=|>则|BF|=|+2=*

又•••|BD|=一吟，二|BD|=2\BF\=争

cos603

\BD\+\BF\=|+y=8,则尸为2。中点，

.,•结论正确的是4,B,C.

故选：ABC.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13、随机变量X的取值为0、1、2,尸(X=0)=02,DX=0.4,则EX=.

【答案】1；

【解析】解：•.•随机变量X的取值为0、1、2,P(X=0)=0.2,DX=0.4,

.•.设P(X=1)=a,贝i|P(X=2)=0.8-a,0<a<0.8,

则EX=0x0.2+a+2(0.8一a)=1.6-a,

DX=(a—1.6)2x0.24-(a-0.6)2a+(a+04)2(0.8-a)=0.4,

整理得a?-0.2a-0.24=0,

解得a=0.6或a=—0,4(舍)，

EX=1.6-a=1.6-0.6=1.

故答案为：L

14、已知函数/(x)=4sin(cox+(p)>0,a)>0,\(p\<g)的最大值为8，其相邻两个零点之间

的距离为全且/(%)的图象关于直线％=*对称，则当工€卜?弓时，函数/(久)的最小值

为.

【答案】—西；

2

【解析】解：由题意知，在函数/(%)=力sinQo%+R)中，A=W，=p

T-TCco——2,

T

・••/(x)=V3sin(2x+cp),

又/⑺的图象关于直线X=-翔称，

2X(—+(p=k.Tc+5/cGZ,解得0=kn+—■)kwZ,

・•,Iwl<p

71

•••/(%)=V3sin(2x+3

.re卜沆］一,•2%+江卜屋］，可得sin(2x+$C昌,斗

故答案为：-巴

15、在(2/+1)6的展开式中，常数项为；系数最大的项

是.

【答案】60;240%6;

【解析】解：(1)展开式的通项公式为7；+i=C式2x2)6-r-(gr=26TxCrxl2-3r,令—

3r=0,则r=4,

2

T5=2XC^=60,故展开式的常数项为60.

26~rX篇》26-(r-1)XCRT

(2)若设第r+1项的系数最大，则有

26TxCr>26-(r+l)*C/l

7

6212-3x26

解得2<r<vrGZ,r=2,T3=2-X鬣-x=240x,

系数最大的项为240久6.

故答案为：60,240久6.

16、中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为

长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为

鳖膈，如图为一个阳马与一个鳖腌的组合体，已知PA1平面力BCE,四边形ABCD为正方形，

AD=V5，ED=V3，若鳖腌P-40E的外接球的体积为9或兀，则阳马P-4BC0的外接球的表

面积等于.

£D

【答案】20兀;

【解析】解：鳖腌P-4CE可以看成如图所示的长方体的一部分,

则长方体的外接球即为鳖臊P-40E的外接球，

又•••鳖膈P-ADE的外接球的体积为9鱼兀，

二鳖HP-4DE的外接球的半径为R=越，

2

->JED2+AD2+PA2=―，：.PA=V10，

22

阳马P-ABCD可以看成如图所示的长方体的一部分，

则长方体的外接球即为阳马P-ABCD的外接球，

•••阳马P-ABCD的外接球的半径为/?'=^<AD2+CD2+PA2=V5,

•••阳马P-ABCD的外接球的表面积为4兀X5=20兀，

故答案为：207r.

四、解答题(本大题共6小题，共70分)

17、已知数列｛%｝的前践项和为%，且％！>°，^sn=a^+2an.

(1)求数列的通项公式.

【答案】数列｛%｝的通项公式为即=2加

【解析】解：an>0,4Sn=碌+2an,

当九=1时，4cH=+2%,解得%=2,

当九>2时，4s九-1=忌_]+2an-1,又4sti=欣+2an,

两式相减可得4。九=欣+2azi—W-i—2azi

化简为(a九+。九一］)(%i—%i-i—2)=0,

由。九>0可得a九-an_r=2,

则a.=2+2(n-1)=2n.

(2)若"=合,求数列｛,｝的前n项和%.

【答案】数列｛九｝的前建项和〃=^-1n.

1

【解析】由S九=-n(2+2n)=n(n+1),

Sg.-Sh_11_1.____1____1

则"2-nn+l2'

SnSin(n+l)

11

可得%=+…——n

n+l2

11n1

=1-------------71=--------------71

n+l2n+l2

18、已知a,b,c分别为△ABC内角4B,C的对边，若△4BC同时满足下列四个条件中的三个:

①三=半展；②cos2A+2cos2q=l；③a=倔④6=2也

c3(a+b)2

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？

【答案】满足有解三角形的序号组合有：①③④，②③④.

【解析】解：①三=华誉，化为四±=—且=c°sB.由cos^=-星可得手<B<

c3(a+b)2ac3626

n.

②cos2A+2cos2：=1,化为cosZ=*Ae(0,7r),解得4=

可得①②不能同时出现作为条件，

••・满足有解三角形的序号组合有：①③④，②③④.

(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积.

(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)

【答案】取②③④，对应△ABC的面积为8.

【解析】取②③④.

由正弦定理可得盖=餐，解得sinB=1,BE(0,7i),

SillOlliDZ

・•・c=V2,力3c的面积S=|xV6xV2=V3.

19、如图(1),在边长为2的正方形4BEF中，D,C分别为EF、4尸上的点，且ED=CF,现沿DC

把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形，再将ABEC,ACDF,AABD沿BC,CD,BD折起，使E、

F、A三点重合于点4,如图(3).

(1)求证：BA1CD.

【答案】见解析

【解析】证明：折叠前，BE1EC,BALAD,

折叠后BA'14C，BA'1A'D，

又力‘COAD=4，

所以BA'I平面a'CD,

因为CDu平面A'CD,所以BA'1CD.

(2)求二面角B-CD-A,最小时的余弦值.

【答案】二面角B—CD—1最小时的余弦值为

【解析】解：作A'E1CD交CD于点E,连接BE,

•：BA'1CD，：.EB为二面角B—CD—/的平面角,

令1C=a，AD=b，则a+b=2,

由题意得CA’14D,=g/，

Va2+b2

(a+b)2(a+b)2

=2

a2+b2

=*+3+2(鸿)

•・二面角B-CD-A'最小时的余弦值为

22

20、顺次连接椭圆=l(a>b>0)的四个顶点恰好构成了一个边长为夕且面积为4百的

菱形.

(1)求椭圆C的标准方程.

22

【答案】椭圆C的标准方程为土+匕=1.

43

【解析】解：由题意知：a2+b2=(V7)2=7^1-2a-2b=4A/3,解得小=4,52=3,

22

所以椭圆C的标准方程为二+匕=L

43

(2)设直线1与椭圆C相切于点Z,过点。作OM1Z,垂足为M,求△ZM。面积的最大值.

【答案】△AM。面积最大值为;.

【解析】显然切线的斜率存在且不为0,设直线/：y=kx+t,

联立方程组1消去y，整理得(3+4炉)％2+8kt久+4/—12=0,且4=

(3xz+4yz=12

64k2t2_4(3+4k2)(钮2_12)=。，

得t2=41+3,所以孙=又需药=一生

联立[y=.卜，

4日kt

侍布一百，

[,y=kx+t

所以=

则阿=5卜"|=E•|咋叫=泼』

C_1MA4IlnA#l_1网|t|_1|fc|_11/I

SMM。--\AM\■\0M\---团后万-VPTI-2^7?-<7

当且仅当九=±1时，等号成立,

-1

故4AMO面积最大值为一.

4

21、已知函数/"(%)=In%+ax2—(a+2)x+2(a为常数).

(1)若/(%)在(L/(l))处的切线与直线％+3y=0垂直，求a的值.

【答案】a的值为4.

【解析】解：由题意知%>0,f'(%)=：+2ax一(a+2)=3T?2久T),贝好'(i)=a—1,

由于函数y=f(x)的图象在处的切线与直线％+3y=0垂直，

则f(1)-^―0=—1,：.f(1)=a—1=3,因此a=4.

⑵若a>0,讨论函数”x)的单调性.

【答案】见解析

【解析】•••a>0,贝壮>0.①若0<a<2时，工>；,

aa2

当0<x<］或%时，f'(%)>0，当*%时，f'(%)<0，

y=/(久)在(01)和6,+8)上单调递增，在Gt)上单调递减；

②若a=2时，｝=5对尤>0,f,(%)>0恒成立，:y=7'(%)在(0,+8)上单调递增；

③若a>2时，工<；,当0<x<工或时，f'(%)>0,当工<久<；时，f'(%)<0,

.•.y=於)在(0,£)和&+8)上单调递增，在&^上单调递减.

(3)若a为正整数，函数〃%)恰好有两个零点，求a的值.

【答案】a的值为1.

【解析】•・,a为正整数，若0Va<2,则a=1,即/(%)=In%+——3%+2,

由⑵知y=八》)在(0彳)和(1,+8)上单调递增，在&1)上单调递减，

又八1)=0,y=/(久)在区间G，+8)内仅有1个实根，fQ)>f(l)>0,

又/(eV)=e-4-3e-2=e-2(e-2—3)<0,y=f(久)在区间(0,1)内仅有1个实根,

此时y=/(久)在区间(0,+8)内恰有2个实根；

若a=2,y=/(%)在(0,+8)上单调递增，至多有1个实根；

若a>2,/Q)=lnQ)+ag)—(a+2)&)+2=In；：+1，

令t=%则0<t<芯y=\nt—t+1,y=1-1>0,

/.y,<2In-2--+1=-2-In2<0.

由⑵知y=/(%)在C)上单调递减，在(0()和&+8)上单调递增，

・•・Q)<0，・.・y=/(%)在(。,+8)上至多有1个实根.

综上，a=1.

22、某公司为了了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响.对

公司近12年的年研发资金投入量阳和年销售额%的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：

①^二戊十。/,②y=e族+%其中a、0、六t均为常数，e为自然对数的底数，并得到一些统计

量的值.令以=疗，%=ln%(i=l,2,•­•,12),经计算得如下数据：

12

Xy工出”)'&V

••1

20667724604.20

12

))