辽宁省某中学2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学试题含答案

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辽宁省中学2023-2024学年度高考适应性测试（一）

局二数学

考生注意：

1.本试卷共150分，考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容

一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）

1.已知双曲线餐-彳=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为月、心，点”在双曲线的右支上，点N为居M的中点,

ab

。为坐标原点，\ON\-\NF^\=2b,NO叫=60",△耳〃鸟的面积为2百，则该双曲线的方程为（）

2.已知函数/（x）=binx|+cosx,则下列说法正确的是

r7~

①函数/（X）图象的一条对称轴的方程为x=2020兀；②函数/（X）在闭区间71,-7t上单调递增；

③函数”X）图象的一个对称中心为点管,0）：④函数/（X）的值域为[-五,0].

A.①②B.③④C.①③D.②④

3.定义在R上的函数/（X）和g（x）的导函数分别为尸（x）,g'（x）,则下面结论正确的是

①若f'（x）＞gV）,则函数/（x）的图象在函数g（x）的图象上方；

②若函数/'（x）与g'（x）的图象关于直线x=。对称，则函数/（X）与g（x）的图象关于点（。，0）对称:

③函数/（X）=/（。-X）,则f\x）=-f\a-x）；

④若/'（x）是增函数，则心产“”/（心）.

A.①②B.①②③C.③④D.②③④

4.（〃+2力-Be），的展开式中打，的系数为（）

A.208B.216C.217D.218

5.已知耳心是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且记椭圆和双曲线的离心率分别

为外，4,则（■+2的值为（）

A.4B.3D.1

WIn；),c=/(312),贝ij()

6,设函数/（x）+x2,若a=/

A.a<h<c

C.c<a<bD.b<a<c

7.将函数/（刈=5"噌-,52卜+卷的图象向左平移以9>0）个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g

（x）满足g（j-xj=g（.+xj,则。的可能值为（）

兀it371

A.B.C.纪D.

44T

8.如图，函数y=1、V=x、y=l的图象和直线x=l将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:

X

①②③④⑤⑥⑦⑧.若基函数/，外的图象经过的部分是④⑧，则/可能是（）

A.y=x2

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9.己知〃7*0,若函数/口）=，〃。+加）2。+〃）在*=一相处取得极小值，则下列结论正确的是（）

A.当机>0时，n>mB.当机<0时，n>m

C.m2>mnD.n2>mn

10.下列条件中，使M与4B,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OCB.OM=-OA+-OB+-OC

532

UUUUULLUUUI

c.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=Q

11.如图，小明、小红分别从街道的E、F处出发，到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则（）

A.小红到老年公寓可以选择的最短路径条数为3

B.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为35

C.若小明不经过尸处，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为32

D.若小明先到尸处与小红会合，再与小红一起到老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最

短路径条数为18

12.已知函数/（x）的定义域为R,且/（x）+/（x+2）=2.若的图象关于点（1,1）对称，/（0）=0,则（）

A.42)=4B.〃力的图象关于直线x=2对称

5

c./(x)=/(x+4)D.Z〃2A)=12

k=0

三、填空题(每题5分，共20分)

丫2V24

13.已知尸是双曲线E:二的右焦点，直线卜二彳工与双曲线上交于48两点，O为坐标原点，

ab3

P,。分别为IF,8尸的中点，且苏.而=0,则双曲线E的离心率为.

14.为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表性的3个地

点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有种(用数字作答)

15.已知芋<6<2乃，则Jl+sine->/l-sin6>=.

16.已知产是抛物线f=4y的焦点，A,B是该抛物线上的两点，\AF\+\BF\=5,则线段"5的中点到x轴的距

离为.

四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)

17.如图，已知四棱锥尸-月5c。，APCD是等边三角形，ABHCD,AB1AD,AB=AD=-CD,PA=PD,E是

2

尸C的中点.

(1)求证：直线BE//平面PAD；

(2)求直线8E与平面力88所成角的值.

18.“8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin---=%sin/.

2

⑴求&

(2)若b=4,A/8C的周长的取值范围.

19.已知双曲线C:/V-1(。>0,6>0)的焦距为2正，且双曲线C右支上一动点尸(入,九)到两条渐近线小

4的距离之积为也.

5

(1)求双曲线C的方程：

(2)设直线/是曲线。在点P(x0,y。)处的切线，且/分别交两条渐近线4,4于加、N两点，。为坐标原点，证明:

△MON面积为定值，并求出该定值.

20.如图(1),六边形/8C0E尸是由等腰梯形4JEF和直角梯形拼接而成，ELZBAD=ZADC=90.

AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4,沿/。进行翻折，得到的图形如图(2)所示，5.ZAEC=90°.

(1)求二面角C-4E-O的余弦值；

(2)求四棱锥C-ZDE尸外接球的体积.

ar_1

21.已知函数f(x)=lo&Mj

I3八3

(1)判断函数〃x)的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数/(x)在区间+8)上的单调性.

22.已知数列㈤｝为等差数列，q=l,%=40+1,前〃项和为S"，数列｛",｝满足求证：

⑴数列也｝为等差数列；

⑵数列MJ中任意三项均不能构成等比数列辽宁省中学2023-2024学年度高考适应性

测试(一)

数学参考答案

一、单选题(每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分)

12345678

cACBCDBB

二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）

9101112

ADACABDBC

三、填空题（每题5分，共20分）

13.7514.54015.-2sin-16.-

22

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17.【详解】（1）取尸。的中点G,连接4G、EG,

根据中位线定理，EG//CD,且EG：CD=AB,

2

又ABHCD,所以AB//EG,AB=EG,则四边形/BEG为平行四边形，BEHAG,

：平面，/Gu平面8E〃平面H4Z）；

（2）以。为原点，DA.DC、过。且垂直底面的直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系,

设/8=1,则。（0,0,0）、4（1,0,0）、80,1,0）、C（0,2,0）,设尸（x/,z）,

由|网=Jf+V+z?=2,\AP\=^（x-l/+Z+z2=2,|CP|=yjx2+（y-2f+z2=2,

上面联立解方程组得x=N=l,z=巫，

22

故点尸"，当I,所以d：'l‘*I’得至“而=（-不提乎

后

平面/8CZ）的法向量为五=（0,0,1）,

2

故直线8E与平面N8C。所成角的正弦值为巫.

12

18.【详解】（1）

/+C

解：由正弦定理得sinZsin---=sin8sin%.

4+r

因为sinZwO,所以sin-----=sinB.

2

由4+8+C=180°,可得sin史£=cosO,

22

所以cosO=2sinOcosO.

222

因为■f•」0，M，cosgwO,所以sin与=1,

2\2)222

D

所以—=30°,5=60。

2

(2)

解：由于8=60。，b=4,有正弦定理—7='^=-7^7;

sinAsinBsinC

gjipi•186•p

所以a=---sinJA,b=----sinB,

33

由于c专一"

a+b+c=4+迈sm/+%inC=4辿m"+辿m

r=+271

一

33333

=4+4cosA+46sin4=8sin[/+今J+4

所以sin(4+/Hg,l

因为Z£

因此CAABC<8,12]

r2v2

19.【详解】解：（1）双曲线。:二一4"=1（Q>0,b>0）的渐近线方程为6x+”=0和队-ay=0,

ab~

由动点尸（4,九）到两条渐近线4,/,的距离之积为+明।a：「矶।=孚1，

■V77Pya2—+b?2a2+b2

则也=当，

5a2+b2

又2c=2，即c2=a2+b2=5

解得。=2,b=l,

2

则双曲线的方程为Lr-/=l.

（2）证明：设直线/的方程为卜=丘+机，

与双曲线的方程/-4必=4联立，可得（就2-1卜2+8也a+4团2+4=0,

直线与双曲线的右支相切，可得占=（8痴）2-4（4公-1乂4"+4）=0,可得必2=/+1,

设直线/与x轴交于。，则。-£,0

=STOD"亦OD也卜-/』』,

八MON=”-y,v13

又双曲线的渐近线方程为y=±；x,

2mm\

联立可得加1-2-1-2。

y=kx+m

2/nm]

同理可得N1+2/1+2AJ

-mI2m2m4m2nr

贝USAMON•左卜------------r=薨忖

2k111+2%\-2k\-4k2

即有△MON面积为定值2.

20.【详解】(1)解：在等腰梯形4DEF中，作EA/J.AE)于M,

jn_FFr-

则。河=---=1,AM=3,EM=近,所以==

连接/C,则/C=4也，

因为乙4EC=9(T,所以EC=2石，所以ED'+DC?=EC?,所以C£>_LE。，

又因为CDL4D,且4OnED=。，4D,EDu平面4DEF,所以CD1.平面NOEF,

又由ZEu平面4DEF,所以CDJ.ZE,

因为CE_L/£■且CEcC£>=C,CE,COu平面CDE,所以/EJ_平面C。£■,

又因为XEu平面CZ)E,所以NE_LDE,

因为ZE_LCE,所以NCE。就是二面角C-/E-。的平面角，

在直角ACZ)E中，cosZC£>E=—=-4==~>

CE2V55

所以二面角C-/E-。的余弦值为将.

(2)解：取的中点Q,连接QE,0尸，可得证四边形。。所、O/FE均为平行四边形,

所以OQ=0/=O、E=。尸=2,所以。।为等腰梯形ADEF的外心，

取NC的中点O,连接。可得OQ//CC,

因为C£>J_平面NOEF,所以平面力。后尸，

又因为OC=OA=OD=OE=OF=26，所以。为四棱锥C-/OEF外接球的球心,

所以球的半径为7?=2应，所以厂=2兀*=刍兀x(20)3=如色兀.

333

3r-1

21.【详解】(1)令巴」>0,即(3x-l)(3x+l)>0,

3x+l

解得X>；或X<-；,所以/(x)的定义域为1-8,-jug,+8

而《力皿葺1=嚏2翳

3x-1,3x-l

=log=一噫0二一小)’

23x+l

所以