2019版高中全程练习方略配套资料：垂直关系

第四节垂直关系三年20考高考指数:★★★★1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小；2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等.3.通过二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.1.直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的______一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.任何(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.αabAlaαb⇒a∥ba⊥αb⊥α【即时应用】(1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面α内，或者l与平面α相交但不垂直.(2)直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的位置关系是_______.【解析】由b∥α可得b平行于α内的一条直线，设为b′.因为a⊥α，所以a⊥b′，从而a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面.答案：垂直(3)判断下列命题的真假.(在括号内填“真”,“假”)①如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.()②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线.()③如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直.()【解析】当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与α垂直，故①不对；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故②不对；③正确.答案：①假②假③真2.二面角二面角的定义二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的____，这两个半平面叫作二面角的____.两个半平面棱面垂直于平面角是_____的二面角叫作直二面角.直角【即时应用】思考：二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗？提示:如图，用两个垂直于棱的平面γ1,γ2去截一个二面角α—a—β,由等角定理知，所截得的两个角θ1和θ2相等，这说明二面角的平面角与在二面角的棱上选的点的位置无关.3.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.直二面角(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条_____，那么这两个平面互相垂直.垂线αβAB⇒β⊥αABβAB⊥α文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面.交线βBAα⇒

AB⊥αMNα⊥βα∩β=MNABβAB⊥MN于点B【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.(2)已知α,β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m⊥β时，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB为二面角的平面角，从而∠DOB=90°.设正方形边长为1，则所以DB=1，故△ADB为等边三角形，所以∠DAB=60°.答案：60°直线与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.证明线面垂直的常用方法方法一利用线面垂直的判定定理方法二利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.方法三利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.方法四利用面面垂直的性质2.线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，体现了“线线垂直”与“线面垂直”的相互转化.【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.

【例1】(1)(2012·北京模拟)已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()(A)CD∥平面PAF(B)DF⊥平面PAF(C)CF∥平面PAB(D)CF⊥平面PAD(2)(2012·南昌模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.①求证：PC⊥平面BDE；②若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的位置关系，并证明你的结论；③若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.CPEQABD···【解题指南】(1)根据线面平行、垂直的判定定理来判断.(2)①利用线面垂直的判定定理证明；②证明BD⊥平面PAC即可；③根据VB-CED=VC-BDE，转化为求S△BDE及CE的长度.【规范解答】(1)选D.由正六边形的性质得CD∥AF，CF∥AB，故A、C正确；因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正确.故选D.(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE.②由①得，PC⊥BD，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC.∴当点Q是线段PA上任一点时都有BD⊥DQ.③∵PA=AB=2,∴PB=BC=

∵AB⊥BC,∴∴PC=4，CE=2，且∵△CDE∽△CPA，∴∴由②知：BD⊥DE.∴【互动探究】本例(2)②若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ⊥平面PAC.”则如何求解？【证明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.又BD

平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.【反思·感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化.2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.【变式备选】1.(2012·延安模拟)已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.【证明】∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD，又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC.2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点.(1)求证：A1E⊥平面ADE；(2)求三棱锥A1－ADE的体积.【解析】(1)由勾股定理得：∴A1A2＝A1E2＋AE2，∴∠AEA1=90°，∴A1E⊥AE.∵AD⊥平面AA1B1B，A1E

平面AA1B1B，∴A1E⊥AD，又AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.(2)由题意得平面与平面垂直的判定和性质【方法点睛】1.证明面面垂直的方法面面垂直的证明综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如下图，线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定性质判定性质其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.【例2】如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由.【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可证得结论成立.(2)由CD⊥平面ABC得出BE⊥CD,可知,要想平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC,即寻求此时满足条件的λ的值是否存在.【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，在△ACD中=λ(0<λ<1)，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.(2)∵CD⊥平面ABC，BE平面ABC，∴BE⊥CD，故要使平面BEF⊥平面ACD，只需证BE⊥AC.在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BDtan60°＝则当BE⊥AC时，则时，BE⊥AC，又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD，∵BE

平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.所以存在时，平面BEF⊥平面ACD.【反思·感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.【变式训练】(2012·海口模拟)正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF，以AE、EF、AF为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示.(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平面APE⊥平面APF.【证明】(1)由ABCD是正方形，所以在原图中AB⊥BE，AD⊥DF，折叠后有AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF=P，所以AP⊥平面PEF，EF

平面PEF，所以AP⊥EF.(2)由原图可知，折叠后EP⊥AP，EP⊥PF，AP∩PF=P，所以EP⊥平面APF，又EP

平面APE，所以平面APE⊥平面APF.【变式备选】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB;(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论.【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD.∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB,∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连接DF，∴FH⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.∵菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，∴F是PC的中点，∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.垂直关系的综合问题【方法点睛】垂直关系综合题的解题思路(1)对于三种垂直的综合问题，要注意通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行结合的问题，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)对于垂直与体积结合的问题，在求棱锥的体积时，可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段，进而求得体积.

【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积.【解题指南】(1)要证DM∥平面APC,只需证明DM∥AP；(2)证BC⊥平面APC；(3)通过VD－BCM＝VM－BCD求体积.【规范解答】(1)∵M为AB中点，D为PB中点，∴DM∥AP，又DM平面APC，AP平面APC.∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点，∴MD⊥PB，又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB又AP⊥PC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC.又BC

平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10又BC＝4，PC＝∴又∴VD－BCM＝VM－BCD＝【反思·感悟】1.本题体现了“转化”思想在立体几何中的应用，解题中要注意利用“平行”、“垂直”间的转化.2.解答题中要注重关键步骤的叙述与体现，以做到规范解题.【变式训练】1.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()(A)BC∥平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面PAE(D)平面PDE⊥平面ABC【解析】选D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.2.(2012·宜春模拟)如图甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求证：AD∥平面BCE；(2)求证：AB⊥平面BCE；(3)求三棱锥C-ADE的体积.【解析】(1)由题意知AF∥BE，∴AF∥平面BCE，同理，∵DF∥CE，∴DF∥平面BCE.AF∩DF=F，AF

平面ADF，DF

平面ADF，∴平面ADF∥平面BCE.∵AD

平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)在图甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，∴在图乙中CE⊥EF.∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF，∴CE⊥平面ABEF，∴CE⊥AB，又AB⊥BE，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥EF，∴AF⊥平面CDFE，AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，∴【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答【典例】(12分)(2011·辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA,(1)证明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值.【解题指南】(1)证明PQ⊥DC，PQ⊥QD，进而可得PQ⊥平面DCQ；(2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.【规范解答】(1)由条件知PDAQ为直角梯形.因为QA⊥平面ABCD，QA

平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，…………2分又PQ

平面PDAQ，所以PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得则PQ⊥QD.……………………5分又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ.……………6分(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积…………8分由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高，而PQ=△DCQ的面积为所以棱锥P-DCQ的体积…………11分故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.……12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻；(2)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述.

备考建议解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力.另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达.

1.(2012·泉州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中的真命题是()(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n(B)若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n【解析】选A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或mβ，又n⊥β，故m⊥n，即A正确；如图(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C错；如图(2)知B错；如图(3)正方体中，m∥α,n⊥β,α⊥β，但m,n相交，故D错.2.(2012·沈阳模拟)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α,mβ,则“α∥β”是“l⊥m”的()(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B.当α∥β,l⊥α时，有l⊥β,又mβ,故l⊥m.反之，当l⊥m