打卡第八天-冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）解析版

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通

用）

新高考真题限时训练打卡第7（天

n真题限时训练

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）若集合M={x|«<4},N={x\3x>\},则McN=（）

A.{x|04x<2}B.[xgwxvz]C.1x[3<x<161D.j%^<x<16|

【答案】D

【分析】求出集合后可求"cN.

【详解】M={x|0<x<16},^={x|x>|},故McN=1x、4x<16},

故选：D

2.（2022•全国•统考高考真题）在「ABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记C4=w,CD=〃，

则CB=（）

A.3tn-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA,所以8O=2D4,即CO-CB=2（C4-C£>）,

所以CB=3C£>-2cA=3”-2m=-2〃?+3〃.

故选：B.

3.（2022•全国•统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互

质的概率为（）

A.-B.-C.\D.|

6323

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

故所求概率P=U21-7=二2

故选：D.

4.(2022•全国•统考高考真题)若5皿0+4)+35(。+4)=2亚85卜+(卜“，则()

A.tan(cr-y0)=lB.tan(a+0=l

C.tan(a-/?)=-1D.tan(a+/?)=-1

【答案】C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacosp+cosasin/3+cosacos/y-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/?,

即：sinacos/3-cosasin/?+cosacos/?+sinasin0=0,

即：$亩((2_,)+85(。_/?)=0所以100(0-尸)=_1

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设P=0贝!1$ina+cosa=0,取a=/,排除A,B；

再取a=0则§in0+co§6=2sinp,取p=?,排除D；选C.

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+夕)+cos(cr+1)=忘sin(a+夕+工)=^2sin［(«+—)+/?］

44

=V2sin((2+—)cos/?+V2cos(a+—)sin0=25/2cos(tz+—)sinp

444

所以J^sin(a+C)cos〃=0cos(a+M)sin/?

44

77TTTT

sin(a+—)cosB-cos(a+—)sin£=0即sin(a+*——/7)=0

444

sin(a-y?+—)=sin(a-77)cos—+cos(a-^sin—=^-sin(«-/7)+^^cos(c?->9)=0

sin(a-P)--cos(a-/?)即tan(a-6)=-l,

故选：C.

5.(2022.全国•统考高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3君和4月,

其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.1007TB.128兀C.144兀D.1927t

【答案】A

【分析腺据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径4,4，再根据球心距,圆面半径,

以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径4,4,所以24==亘,24=4-，即

sin60sin60

=3出=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4,球的半径为R,所以9,

4=收一16,故|4一4|=1或4+4=1，即|«7万-血2叫=1或病与+而二^=1，

解得R2=25符合题意，所以球的表面积为S=4或2=l(x)7r.

故选：A.

6.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/*)的定义域为R,且

22

f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,则£〃%)=()

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数f(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/(1)，/(2),J(6)的值，即可解出.

【详解】［方法一］：赋值加性质

因为〃x+y)+/(x—y)=〃x)/(y),令x=i，y=o可得，2〃1)=〃1)〃0),所以"0)=2,

令x=0可得，〃y)+/(-y)=2/(y),即/&)=/(-y),所以函数“X)为偶函数，令y=l得,

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=〃x+l),从而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=/(x-4),即/(x)=/(x+6),

所以函数/(X)的一个周期为6.因为“2)=〃1)一/(0)=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,

/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/⑴+〃2)++/(6)=0,由于22除以6余4,

所以£〃4)=〃1)+/(2)+/(3)+〃4)=1一1一2-1=-3.故选：A.

k=l

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由〃x+y)+/a-y)=〃x)/(y),联想到余弦函数和差化积公式

cos(x-I-y)+cos(%->')=2coaxcosy,可设/(x)=acosa¥,则由方法一中〃0)=2J⑴=1知

a=2,acoso=l,解得COSG=；,取G=。，

所以“X)=2C0SyX,则

生+豹+2c°s兀7V\.冗冗

/(x+y)+/(x-y)=2cos-X-—y=4cos—xcos=所以

33)3

7_2-_£

/(x)=2cos?x符合条件，因此/")的周期,一方一°,/(0)=2,/(1)=1,且

33

〃2)=TJ⑶=—2J(4)=TJ⑸=1,〃6)=2,所以

/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

由于22除以6余4,

22

所以£〃4)=〃1)+/(2)+〃3)+〃4)=1_1_2_1=-3.故选：A.

*=|

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函

数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.

二、多选题

7.(2022♦全国•统考高考真题)已知。为坐标原点，过抛物线。：丁=22犬5>0)焦点尸的直

线与C交于A,B两点，其中4在第一象限，点加5,0),若|A用贝IJ()

A.直线A8的斜率为2#B.1=1OFI

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<180°

【答案】ACD

【分析】由|AE|=|AW|及抛物线方程求得&与,字)，再由斜率公式即可判断A选项；表

示出直线他的方程，联立抛物线求得以?-岸），即可求出|。目判断B选项；由抛物线

的定义求出|4用=^^即可判断C选项；由。4。8<0，历求得/A08,ZAMB为

钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得F（当,0）,由|A目=|AM|可得点A在尸例的垂直平分线上，则A点横

坐标为2个/=3。,

2~4

代入抛物线可得y2=2p，¥=gp2,则4学,字），则直线A8的斜率为#/=2#,

4~2

A正确；

对于B,由斜率为L可得直线AB的方程为1后y+gP,联立抛物线方程得

"-爰py-"=0，

设8（内,必），贝1］逝p+y=2^p,则乂=一也，代入抛物线得

对于C,由抛物线定义知：|AB|=¥+g+p=^>2p=4|。日，C正确；

对于D,。小。8=（子,孚）.（5—号）=*（+44.44—乎<0,则,AOB为

I4JJIJ/IJ/41

钝角，

又M4-MB=(-K,一"'<0,贝！IZAAffi

46

为钝角，

又NAOB+ZAMB+ZOAM+NOBM=360，则ZOAM+NOBM<180,D正确.

故选：ACD.

8.（2022•全国•统考高考真题）若x,y满足V+y2-冷=1,则（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】因为"4（一卷I（a,blR）,由V+y2-孙=i可变形为,

\2

2

(x+y)-l=3xy<3\受，^-2<x+y<29当且仅当x=y=T时，x+y=-2,当且

仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

22

由》2+9-肛=1可变形为卜2+/）_1=孙4：^^2_,解得/+;/42,当且仅当x=y=±l

时取等号，所以C正确;

因为f+y2f=1变形可得卜一夕+白曰，设x-1=cos6，¥y=sine,

所以

12

x=cos0+-^sin0,y=-^=sin0,因此

o5->2111

x20+y0=cos2夕+―sirr0+—7=sin0cos0=1+—7=sin20——cos20+-

3百百33

=g+|sin（2e-^）eI，2,所以当》=¥»=一日时满足等式，但是―+丁却不成立,

所以D错误.

故选：BC.

三、填空题

9.（2022.全国•统考高考真题）写出与圆x2+y2=［和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直

线的方程.

35725

【答案】y=~x+-^y=—x--^x^-l

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】［方法一］:

显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+by+c=0,

|3+4%+<|

于工e是亦=11

\l\+b2

故/=［+层①，|3+45+，|=|4<?|.于是3+4/?+，=4。或3+劭+，=4，，

,24.4

缶=0b=~~i

再结合①解得，或二或<,

c=1255

c=---c=——

I7I3

所以直线方程有三条，分别为X+l=0,7x-24>-_25=0,3x+4y-5=0.

(填一条即可)

［方法二］:

设圆V+y?=1的圆心。(0,0),半径为4=1,

圆(x-3y+(y-4)2=16的圆心C(3,4),半径==4,则|OC|=5=q+“，因此两圆外切,

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+l=0符合题意；

又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和工2+丁=1相减可得方程力+—―5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0,

4

直线OC与直线x+1=0的交点为(-1,--),

设过该点的直线为)，+：=k(x+l),则上寸=］,解得k=1,

24

从而该切线的方程为7x-24)，-25=0.(填一条即可)

［方法三］:

圆Y+y=l的圆心为。(0,0),半径为1,圆。-3)2+()，-4)2=16的圆心。1为(3,4),半径

为4,

两圆圆心距为巧不=5,等于两圆半径之和，故两圆外切,

如图，

=1535

O至打的距离d=­L,,解得r=,所以1的方程为¥=-9+，

，"花3444

当切线为m时，设直线方程为丘+y+P=0,其中P>0,k<0,

k”

24725

由题意，,解得y=X

伙+4+p|25'^-^

-----1…———

当切线为n时，易知切线方程为X二-1,故答案为：丁=-：3工+51或)，=7£工-舍25或户-1.

442424

10.(2021•全国•统考高考真题)已知函数/(%)=--1|,斗<0户2>0,函数/(X)的图象在点

AH，"*))和点35,/(々))的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M，N两点，则舒

取值范围是.

【答案】(0,1)

【分析】结合导数的几何意义可得为+々=0,结合直线方程及两点间距离公式可得

\AM\=^l+e2x'.|x,|,忸N|=57苫-同,化简即可得解.

/、II1—<0./、

【详解】由题意，f(x)=H-l|=e-ix>0，贝

2x,

所以点A(X1,1-e")和点£?(X2,^-1),kAM=-e,kBN=,

所以-e*，•e*2=-l,X]+x2=0,

所以AM:y-\+ex'=-e"(工-芯),例(0,e“玉-e"+1),

所以|=Jx：=J1+/N.国,

同理忸N卜J1+/*Ml，

\AM\_\J\+e2x'-IxJ_/l+e2j|11+e2x'

所以两=诏+e翥.•|=']+=\[+e-2w=e”e(0,l).

故答案为:（0,1）

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件%+w=0,消去一个变量后，运算即可得

解.

四、解答题

11.（2021•全国•统考高考真题）在：ABC中，角A、8、C所对的边长分别为。、b、c"=q+l,

c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求，45C的面积；

（2）是否存在正整数〃，使得。"C为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明

理由.

【答案】（1）巫；（2）存在，且a=2.

4

【分析】（1）由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出”的值，进一步可求得匕、c的

值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin6,再利用三角形的面积公式可求

得结果；

（2）分析可知，角C为钝角，由cosC<0结合三角形三边关系可求得整数。的值.

【详解】（1）因为2sinC=3sinA,贝！12c=2（a+2）=3a,贝1］。=4,故6=5,c=6,

cosC==：=1,所以，。为锐角，则如。=4一右。=里,

2ab88

1X1.Lbc1..14c3币15y/1

因此,S.„=—aosinC=—x4x5x-----=-------;

Ar2284

（2）显然c>A>a,若.他C为钝角三角形，则C为钝角，

2222

■+.r归八o+b—co~+(<1+1)—(a+2)a—2a—3A

由余弦定理可得cosC=———=——一-=丁7~~b<0，

2ab'2ca(/a+3l)2a(a+1)

解得一则Ovav3,

由三角形三边关系可得Q+Q+1>。+2,可得a>l,6/GZ,故。=2.

⑵（2021•全国•统考高考真题）已知椭圆C的方程为:+与=1（。>6>0）,右焦点为尸（立0）,

a~bL

且离心率为好.

3

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+〉2=/（》>0）相切.证明：M,N,

产三点共线的充要条件是I"N|=6.

【答案】（1）y+/=l;（2）证明见解析.

【分析】（1）由离心率公式可得“=6,进而可得从，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证

|MN|=5

充分性：设直线MN:y=依+"（协<0）,由直线与圆相切得〃=/+1,联立直线与椭圆方

程结合弦长公式可得ViTT7.叵£=6，进而可得幺=±1,即可得解.

1+3公

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c=&且e=£=迈，所以“=后，

a3

又〃=。2一,2=1,所以椭圆方程为二+>2=1；

3

（2）由（1）得,曲线为f+y2=l（x>0）,

当直线MN的斜率不存在时，直线MV:x=l,不合题意；

当直线MN的斜率存在时，设”（4》）1（%2，%），

必要性：

若M,N,F三点共线，可设直线MN:y=A（x-&）即fcv-y-扬:=0,

由直线MN与曲线f+y2=l（x>0）相切可得^^=1,解得*=±1,

y=±卜_近）

3叵3

联立%2,可得4x?-6也》+3=0，所以％+工2=

—+V2=1

.3

2

所以|=V17T-7（^1+X2）-4XI-X2=73,

所以必要性成立;

充分性：^^MN:y=kx+b,(kb<0)^kx-y+h=O,

由直线用N与曲线/+产=©>0)相切可得71=1,所以从=产+1,

yjk2+l

y=kx+b

联立尤22可得(1+3&2)/+6处x+3Z/-3=O,

T+y

6kb3fe2-3

所以由+x=-

21+3公-1+3公

26kb\3Z?2-3

所以=A/1+公・^(xj+x2)-4Xj-x2=Jl+公A

1+3公

=7i7二也竺=K，化简得3件一1)2=0,所以"±1,

1+3k

所以Z-夜或夜’所以直线MN:y=x-&或y=-*+应'

所以直线MN过点尸(四,0),M,N,F三点共线，充分性成立；

所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=石.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题

的重中之重.

13.(2022•全国•统考高考真题)已知函数/(x)="-or和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从

左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】⑴。=1

(2)见解析

【分析】(D根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求

a.注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当6>1时，e,-x=6的解的个数、x-lnx=8的解的个数均为2,构建

新函数〃(x)=e*+Inx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关

系，根据存在直线y=b与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得匕的取值，再根

据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【详解】(1),。)=/-6的定义域为/?,而/'(x)=e-a,

若a40,贝!J/'(x)>0,此时/(x)无最小值，故a>0.

80)=0¥-111》的定义域为(0,+8),而.(》)=4-1=竺二1

XX

当x<In4时，f'(x)<0,故/*)在(-00,Ina)上为减函数，

当x>lna时，f'(x)>0,故/(x)在(Ina,+oo)上为增函数，

故/d=/0n。)=。一。Ina.

当0<x<：时，g'(x)<0,故g(x)在(0,：)上为减函数，

当时，g，(X)>0,故g(X)在(L+8]上为增函数，故g(X)mm=g0]=1-1/.

a)\a)a

因为/(x)=e、-ar和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，

故一alna,整理得到^~-=\naf其中“〉()，

a1+a

设g(a)=^~^-ln“,a>0,则g®)”？干-77-0,

'1+a(1+a)aa^\+a)

故g(a)为(0,+向上的减函数，而g⑴=0,

故g(a)=0的唯一解为a=l,故目=lna的解为“=1.综上，a=l.

1+4

(2)［方法一］:

由⑴可得f(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值为l-lnl=l-ln；=l.

当b>l时，考虑e*-x=b的解的个数、x-lnx=/?的解的个数.

设S(x)=e'-x-6,5,(x)=ev-l,

当x<0时，S,(x)<0,当x>0时，S,(x)>0,

故S(x)在(-。0)上为减函数，在(0,也)上为增函数，

所以5(力由“=5(。)=1—。<0，

而5(询=『>0,S(b)=eb-2h,

设〃(6)=e'-%,其中b>l,则〃(6)=筋一2>0,

故"伍)在(1,+»)上为增函数，故"(6)>Ml)=e-2>0,

故S0)>O,故S(x)=e'-x-力有两个不同的零点，即e，-x=8的解的个数为2.

设T(x)=x-lnx-6,7',(x)=---,

当0<x<l时，r(x)<o,当x>l时，r(x)>o,

故T(x)在(0,1)上为减函数，在。,内)上为增函数，

所以T(xU“=T(l)=l-b<0,而T(e")=e-">0,T(e")=e〃一如>0,

T(x)=x-lnx-。有两个不同的零点即x-lnx=6的解的个数为2.

当6=1,由(1)讨论可得x-lnx=6e'-x=b仅有一个解，

当6<1时，由(1)讨论可得x-lnx=b、e'-x=6均无根，

故若存在直线y=%与曲线y=〃x)、y=g(x)有三个不同的交点，贝！Jb>l.

设〃(x)=e*+lnx-2x,其中x>0,故/?'(x)=e*+!-2,

X

设s(x)=e，-%-1,x>0,贝!js'(x)=e，-l>0,

故s(x)在(0,+。)上为增函数，故s(x)〉s(O)=O即e">x+l,

所以〃'(x)>x+J-122-l>0,所以刀(x)在(0,+8)上为增函数，

1-L99

e，

而/XD=e-2>0,/z(—)=e-3---<e-3--?<0,

eee

故〃(x)工(0,+司上有且只有一个零点/,5<%<1且：

当0<x</时，/i(x)<0gPex-x<x-lnx即<g(x),

x

当x>Xo时，ft(x)>0BPe-x>x-lnxBP/(x)>g(x),

因此若存在直线y=b与曲线y=/(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故》="x°)=g(x°)>l,

此时e*-x=人有两个不同的根X|,x<)(X］<。</)，

此时x-lnx=b有两个不同的根与―(0</<1<匕)，

故e"f=b,-x()=b,x4-lnx4-Z?=0,xo-lnxo-Z?=O

X4b

所以七一人=后工4即e'i=s即e~-(x4-b)-b=0,

故2一》为方程e、一x=〃的解，同理与一。也为方程e“一九=。的解

又e"—再=/?可化为e*=x+b即玉_姑(玉+Z?)=0即(玉+Z?)—1(玉+b)-b=0,

故X+6为方程x-lnx=Z?的解，同理％+〃也为方程x-lnx=b的解，

,、,、fx—xA-b

所以｛玉,为｝=｛%-6,毛-耳，而匕>1,故(nh即用+匕=2与.

lXl=XQ-h

［方法二］:

由(1)知，f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且/(x)在(F,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

g(x)在(0,1)上单调递减，在(L-)上单调递增，且/(x).=g(x),向=1.

①/<1时,此时〃*)丽=g(x)1rtll=1>6,显然y=6与两条曲线y=/(x)和y=g(x)

共有0个交点，不符合题意；

②匕=1时，此时f(.*■)„,(„=g(x)min=1=b，

故旷=人与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；

③6>1时，首先，证明y=6与曲线>=/(》)有2个交点，

即证明尸(x)=/(x)-6有2个零点，F\x)=f'(x)=ex-\,

所以广(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,m)上单调递增，

又因为尸(-b)=e">0,尸(0)=1-6<0,F(b)=eb-2b>0,

(令"b)=e"-2b,则《b)=e"-2>0,/0)>/(l)=e-2>O)

所以/(x)=/(x)-人在(7,0)上存在且只存在1个零点，设为毛，在(0,+8)上存在且只存在

1个零点，设为马.其次，证明y=b与曲线和y=g(x)有2个交点，

即证明G(X)=g(x)-8有2个零点，G'(x)=g'(x)=1-1,

X

所以G(x)Ol)上单调递减，在(1,位)上单调递增，

又因为G(e-")=e-">0,G⑴=1一6<0,G(2b)=b-\n2b>0,

(令〃b()=b-ln»,则“(b)=l-->0,>//(I)=1-In2>0)

b

所以G(x)=g(x)-〃在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为马，在(1,物)上存在且只存在1

个零点，设为七.再次，证明存在b,使得与=%：

因为f(x2)=G(xi)=0,所以6=炉，_鼻=工3_ln&,

若x2=X3,贝!=*2-皿石，BPex：-2JC,+Inx,=0,所以只需证明e*-2x+lnx=0在(0,1)上

有解即可，

即。(x)=e*-2x+lnx在(0,1)上有零点，因为夕(二)=「-4'-3<0,奴l)=e-2>(),

ee

所以0(x)=e'-2x+lnx在(0,1)上存在零点，取一零点为%,令天=再=%即可，

此时取b=*-X。则此时存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的

交点，

最后证明玉+玉=2x。，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，

因为尸(与)=尸(%)=尸(%)=0=G(x,)=G(x0)=G(X4)

所以尸(士)=G(%)=尸(Inx°),

又因为F(x)在(-8,0)上单调递减，占<0,0<x0<1gpInx„<0,所以X|=ln*“

同理，因为F(%)=G(*)=G(XJ,

又因为G(x)在(1,内)上单调递增，%>0即e%>l,%>1,所以j=e'。，

又因为e&-2%+lnx。=0,所以再+%=e-+lnx0=2x0,

即直线y=6与两条曲线V=/(X)和y=g(x)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对

参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.

III精选模拟题预测

一、单选题

1.（2023秋•山西朔州•高三怀仁市第一中学校校考期末）己知集合4=卜苗-》-2<0},

B={x|k）g2xWl}则4B=（）

A.{x|0<x<2|B.{x|0<x<2}

C.{x|-l<x<21D.{x|-l<x<2}

【答案】B

【分析】先求出集合A,再结合交集的定义求解即可.

【详解】由4=卜,2_》_2<0}=卜卜

B=（x|log2x<1}=1x|O<x<2},贝ljAQB={x|0<x<2}.

故选：B.

2.（2023春・湖北•高三校联考阶段练习）在正四面体A8CD中，M,N分别为AC,AO的中点，

则异面直线3M,CN所成角的余弦值为（）

A.-B.—C.—D.一

3456

【答案】D

【分析】方法一：取AN中点E,连接利用余弦定理求8E,再利用余弦定理可得

求cos/BWE,可求结果；

方法二：以{CA,CB,C£>}为基底，利用向量法求cos8M,CN,可求结果.

【详解】法一：取AN中点E,连接则ME//CN,

所以N3ME或其补角就是异面直线8M,CN所成的角.

D

贝!J设A8=4，BM=CN=2"ME=C,BE=16+AE2-245•K氏os60=屈，

ME?+BM?-BE?3+12-13_1

cosZBME=

2MEMB2xy/3x2y/3~6

故选：D.

法二：不妨设正四面体ABC。的棱长为2,以｛C4,C8,C。｝为基底，则

BM^CM-CB=^CA-CB,CN=^CA+CD

贝!]BM.CN=g(gcA；!+Tc4.C£>-C8.CA-CB.C£))=gx(jx22-|x22xcos60]=-g，

又打/昨|用=6,所以85（8加（冷=氤局=弓，所以8河,。7所成角的余弦值为3.

故选：D.

3.（2023秋.福建龙岩.高二统考期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践

中开设“礼”、“乐”、“射”、"御”、"书"、"数''六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，

则（）

A.从六门课程中选两门的不同选法共有30种

B.课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种

C.课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种

D.课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种

【答案】D

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.

【详解】对于A,从六门课程中选两门的不同选法有C：=15（种），A选项不正确；

对于B,除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有5A；=600（种），

B选项不正确；

对于C,“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”

则不同排法共有禺用=480（种），C选项不正确；

对于D,六门课程的全排列有A：=720（种），“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排

法有A；A：=144(种)，贝心乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有720-144=576

(种)，D选项正确.

故选：D

4.(2023•湖南湘潭•统考二模)已知

7T

0<cr<〃<5，cos2a+cos2/+l=2cos(a-/)+cos(a+/7),贝lj()

C兀rC兀

A.«+/?=—B.a+/3-—

C./3-a=^D.=y

【答案】D

【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据。，夕的范围即可求出结果.

【详解】由已知可将2a=(a+£)+(a_/?),2p=(a+0)_(a_/3),

贝！]cos[(a+/?)+(0—/7)]+cos[(a+/?)-(«-/?)]+1=2cos(a-/7)+cos(a+0),

2cos(a+/?)cos(a-/7)-2cos(a-/?)-cos(a+/?)+l=0,

[cos(or+y?)-l][2cos(a-/?)-l]=0,即cos(a+4)=1或cos(a一夕)二g.

7T7F

又0<a<y7<5，所以0<a+y?<兀,—5<a—y?<0,

所以cos(a+0wl,所以选项A,B错误，

IITTT

即cos(a-/7)=i，则a-/7=-§,所以£-a=§.则C错，D对，

故选：D

5.(2023・全国•高一专题练习)在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面

为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥S。中，点S与底面圆。都在同一个球面

上，若球的表面积为16兀，则圆锥的侧面积为()

A.4五itB.2岳C.4兀D.27c

【答案】A

【分析】由直径所对的圆周角为直角，可得圆锥底面半径为球的半径，利用球的表面积即

可求解.

【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形AS8,如图所示：

s

在直角圆锥SO中，点S与底面圆0都在同一个球面上，由ZAS8=90,所以AB为球的直

径，

若球的表面积为16兀，由4兀&=16兀，球的半径R=2,

则圆锥底面半径r=2,圆锥母线长/=2近，

所以圆锥的侧面积为S=nrl=4&兀.

故选：A

6.(2023秋・江苏苏州•高三统考期末)已知函数/(x)的定义域为R,f(x+l)为奇函数，

/。+2)为偶函数.记函数8(》)=2/(2》+1)+1,则＞图=()

A.25B.27C.29D.31

【答案】D

【分析】由已知条件得函数/(x)的图象点(L0)对称也关于直线x=2对称，由此求得其是周

期函数，周期是4,由中心对称得/(2)+由4)=0,然后求得.f(2)+,f(3)+f(4)+.f(5)=0,

代入计算可得.

【详解】/(X+D为奇函数，〃x+D是由向左平移1个单位得到，

则，(x)的图象关于点(1,0)对称，所以/(2-*)=-/(为，/⑴=0,

/(x+2)为偶函数，〃x+2)是由，⑺向左平移2个单位得到，

则，(x)的图象关于直线x=2对称，所以/(2-x)=/(2+x),则/(3)=0,

所以f(x+2)=-/(x),从而f(x+4)=-/U+2)=/(x),

/(x)是周期函数，且周期为4,所以左-1)=0,%eZ,

因为/(A)的图象关于直线》=2对称，也关于点(1,0)对称，

所以/“)的图象关于点30)对称，所以/(2)+/(4)=0,

所以〃2)+/⑶+/(4)+八5)=0,

31

所以Z/e+D=7[/(2)+八3)+/(4)+/(5)]+[/(2)+/(3)+/(4)]=0

k=T

因为g(§=2f(k+l)+l,keZ,

31(卜、J*

所以=2£/(k+l)+31=31,

k=l12，k=\

故选：D.

二、多选题

7.(2023•安徽宿州•统考一模)已知平面向量。=(-2,1),6=(4,2),c=(2,r),则下列说法

正确的是()

A.若£//",则/=一1B.若i)_Lc，则f=-4

C.若t=l,则向量〃在C上的投影向量为]CD.若则向量b与C的夹角为锐角

【答案】AB

【分析】根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量〃在c

上的投影向量为即C错误；由〉T可得b.c>0,但此时向量6与c的夹角可以为零

角并非锐角，可得D错误.

【详解】若〃〃3根据平面向量共线性质可得?=2,即f=-l,所以A正确；

1t

若Z?J_c，可得匕•(?=()，即4x2+2f=0,解得r=T,所以B正确；

a・c~■4+13

若y1,c=(2,l),由投影向量定义可知向量〃在c上的投影向量为卜「=海产。=-不，

即C错误；

若C-4,则b.c=4x2+2f>0,所以c°s仅9=南

但当f=l时，cos9，c)=l,,,c)=0,即此时向量/，与c的夹角为零角，所以D错误.

故选：AB

8.(2023秋•四川眉山•高一校考期末)已知。，瓦ceR,则下列推理正确的是()

">0]11

A.a>b^ac1>bc1B.(=>~<T

a>b7Jab

a>人>0]bb+ca>b]

C.〉—一<----D.>^>ac>hd

c>0Jaa+cc>d]

【答案】BC

【分析】根据不等式的基本性质证明BC成立，取特殊值说明AD错误.

【详解】对于A:当c=0时,=b<?,A选项错误；

对于B:时，46>0,」~>0贝!!!<4，15选项正确；

ab

hh+cb(a+c]-a(b-^-c}c(b-a\

对于C:a>b>0,c>0,则-------=—―/一~\~