江苏南通名校联盟2024届高三12月学业质量联合监测数学试题含答案

江苏南通名校联盟2024届高三12月学业质量联

合监测数学试题

高三数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知集合1>1,则知（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.[0,2）D.[0,2]

2.已知复数z和虚数单位i满足2=T匚，则彳=（）

l+i

11.11.

A.-------1B.—+—1

2222

C.1-iD.2-2i

3.已知向量G=（l,m）,B=,月.（。+3_1_族，则实数加=（）

A.3B.1C.--D.-3

22

4.为了得到函数丁=5宙（2%+二的图象，只需把函数y=sin12x-=]的图象（）

7TTT

A.向右平移二个单位长度B.向左平移二个单位长度

44

TTTT

C.向左平移大个单位长度D.向右平移一个单位长度

22

（2x）

5.1----（x+y）6的展开式中的系数为（）

Vy）

A.55B.-70C.65D.-25

6.已知函数"x）=ei-ei+4,若方程=履+4-左（左>0）有三个不同的根石,％,龙3，则

/+/+尤3=（）

A.4B.3C.2D.k

7.道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观

光胜地道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为3200（亚+1）平方米，高约为11.5米，则该

八棱柱的侧面积约是（）

A.460平方米B.1840平方米C.2760平方米D.3680平方米

8.设a=3"，b=/，cue71（e为自然对数底数），则m乩c大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.ob>a

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广

阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017〜2022年我国社会物

流总费用与GDP的比率统计，则（）.

2017-2022%我国*公物流总费用'/GDPffj比率统计

A.2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多

B.2017〜2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元

C.2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%

D.2019年我国的GDP不达100万亿元

10.设数列｛4｝前〃项和为5.，满足用「4,“cN*且％=14,则下列选项正确的是（）

A.an=-4n+14

葭

B.数列为等差数列

n

C.当"=8时S“有最大值

D.设bu=anan+lan+2,则当〃=2或”=4时数歹U{4}的前〃项和取最大值

11.已知点是函数/（x）=sin|0x+：］+6（0〉O）的图象的一个对称中心，贝IJ（）

-1是奇函数

28,*

B.(D=------卜一k,左eN

33

上有且仅有2条对称轴，则。=2

D.若/⑴在区间长,g］上单调递减，则0=2或0=g

12.如图，在棱长为2的正方体A8CQ—中，已知跖N,尸分别是棱G2，BC的中

点，。为平面尸MN上的动点，且直线。片与直线。耳的夹角为30。，则（）

A.DB［1平面PMN

B.平面尸MN截正方体所得的截面面积为

C.点。的轨迹长度为兀

D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

3-V3

2

三、填空题

13.已知点尸是曲线y=Inx上的一点，则点尸到直线x-y=0的最小距离为.

14.已知数列｛4｝的前〃项和S”=（a—2）/+〃+a,„eN*.若｛4｝是等差数列，则｛4｝的通项公式为

15,某工厂生产一批零件（单位：cm）,其尺寸X服从正态分布且P（X<20）=0.2,

尸（X<26）=0.8,则〃=.

226

16.已知椭圆=+2T=l（a〉6〉0）的左焦点为R离心率为火，过P的直线/交椭圆于A,B两点,且

ab3

|AF|=3|^|,则直线I的斜率为.

四、解答题

17.已知口ABC的内角ABC的对边分别为。，仇c,J!LccosA-acosB+c=0.

（1）求sin2_S+sin2C-sin2A的值；

（2）若。=5,求口ABC面积的最大值.

18.近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校

2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人）

喜欢跳舞不喜欢跳舞

女性2535

男性525

（1）根据表中数据并依据小概率值a=0.05的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？

（2）用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽

取的3人中喜欢跳舞的人数为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

附.y2=__________'八一八/________

Z(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

「、

19.已知数列｛4｝满足q=1,1---—1=c2n+,l.

Cl)求｛凡｝的通项公式；

2a

(2)若b“=、-求数列也,｝的前〃项和7；.

乙，nIJL

20.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是正方形，底面分别是PC,AD中

点.

(1)求证：DE〃平面PFB；

(2)若尸8与平面ABC。所成角为45°，求平面PEB与平面EZ阳夹角的余弦值.

21.已知/^^刀卜巴卜屿刀卜加为平面上一动点，且满足I飒|-|叫|=4,记动点M的轨迹为曲线E

(1)求曲线E的方程；

(2)若4-2,0),3(2,0),过点(1,0)的动直线/交曲线E于P,Q(不同于A,B)两点，直线AP与直线

k

8。的斜率分别记为右p，⑥°，求证：/为定值，并求出定值.

^BQ

22.已知函数/(x)=加〉0).

(1)若/(x)W0恒成立，求冽的取值范围；

(2)若"X)有两个不同的零点X1,%，且％2>2再，求实数冽的取值范围.

高三数学试题

一、单选题(本大题共8小题)

1.已知集合1>1,则知()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.[0,2)D.[0,2]

【答案】B

【解析】

【分析】先求A集合，再利用交集概念求解即可.

【详解】因为4={.2](%-2)(%+1)<0}={-1,0,1,2},3=何04》45},所以Afi5={0,1,2}.

故选：B.

2.已知复数z和虚数单位i满足2=T匚，则彳=()

1+1

11.11.

A.-------1B.—+—1

2222

C.1-iD.2-2i

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求出z,再结合共辗复数的概念求相

1i(>i)-1•2+1•11.-11

【详解】「二下二—I—1所以—

(l+i)(j)22222

故选：A

3.已知向量g=(L"2),B=(i,—1),且伍+可,九则实数加=()

A.3B.《C.--D.-3

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.

【详解】由万=(1,机)，B=(1,-1)=^>a+b=(2,m-l).

因为(G+1_1_石,所以(方+=lx2+(-l)x(m-l)=0=>m=3.

故选:A.

、

4.为了得到函数》=5亩12%+£的图象，只需把函数y=sin12x—m71J的图象（

）

3

A.向右平移一TT个单位长度B.向左平移一TT个单位长度

44

7TTT

C.向左平移'个单位长度D.向右平移大个单位长度

22

【答案】B

【解析】

TTTT

【分析】先把目标函数变形为y=sin［2（x+^）］,再把平移函数变形为y=sin［2（x-：）］,即可确定平移方

126

向和平移单位.

、

【详解】因为函数》=sin〔2x+・可变形为/=5诃21+与,

12

7

函数y=sin12x—可变形为,=sin[2（x—《71）],

6

、

故把函数丁=sing—1］的图象向左平移7;1个单位即可得到》=sin12%+二71的图象,

467

故选：B.

5.1一一（x+y）6的展开式中》前2的系数为（

A.55B.-70C.65D.—25

【答案】D

【解析】

【分析】根据（x+y）6展开式的通项公式进行计算即可.

2x

【详解】含X4y2的项为T=1义C*4y2__xc^3y3=-25x4/,

所以展开式中x4y2的系数为-25.

故选：D.

6.已知函数〃x）=ei-e-'+4,若方程=履+4—左（左＞0）有三个不同的根和龙2，$，则

/+/+%=（）

A.4B.3C.2D.k

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，易知丁=^--X为奇函数，f(x)由函数y=d-e7向右平移一个单位长度，再向上平

移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点(1,4)对称，再根据直线也关于点(1,4)对称，即可得答

案.

【详解】由题意，因为ef—ex=—(e"-er),所以y=e，—eT为奇函数，

/(x)由函数y=-片'向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，

所以/(力的图象关于点(1,4)对称.

而〃x)=履+4—左=左(%—1)+4所表示的直线也关于点(1,4)对称，

所以方程/(%)=依+4-左的三个实根石,9,尤3中必有一个为1，另外两个关于x=l对称，所以

%+%+£=3.

故选：B.

7.道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观

光胜地道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为3200(亚+1)平方米，高约为1L5米，则该

八棱柱的侧面积约是()

A.460平方米B.1840平方米C.2760平方米D.3680平方米

【答案】D

【解析】

27r7i

【分析】利用ABCDERG”是正八边形，求得NAO3=—=-,利用余弦定理求得

84

OA2=^^^AB2f利用底面面积求得A5=40,从而求得侧面积.

2

27r

【详解】如图，由题意可知底面A5CDEFG”是正八边形，ZAOB=——=-,由余弦定理可得

84

2222

AB=OA+OB-2OAOBcosZAOB=（2-V2）OA,则QA?=2+拒ABi因为底面

2

ABCDEFGH的面积为3200（72+1）平方米，所以8xgx*x笞巨AB2=3200（应+1）,解得

AB=40.则该八棱柱的侧面积为320x11.5=3680平方米.

故选：D.

8.设〃=3兀，b"，c=^（e为自然对数底数），则〃，4c大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【解析】

叱利用导数研究单调性

【分析】由ln〃=7tln3,lnb=eln7tInc=7t且In。>Inc,构造/(%)=

比较皿,也£大小，即可得结果.

兀e

【详解】由题设ln〃=7rln3,lnb=eln兀，lnc=?i,显然ln〃>lnc,

,__f,厂―..rIn7iIne..

对于eIn兀，兀的大小，只需比较---,---大小,

兀e

令/(x)=@±且X2e,则r(％)=匕坐40,即Ax)在e+s)上递减,

XX

ll」In兀Ine上…’.,

所以---<----,故lnZ?=eln?t<lnc=7t,

兀e

综上，In>Inc>InZ?,i^a>c>b.

故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广

阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017〜2022年我国社会物

流总费用与GDP的比率统计，则（）.

2017-2022年我国社会■物流总货阳,,GDP的比率统计

A.2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2019年增长的最多

B.2017〜2022这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元

C.2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为0.2%

D.2019年我国的GDP不达100万亿元

【答案】BCD

【解析】

【分析】由图表结合统计相关知识逐项判断可得答案.

【详解】由图表可知，2018~2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为

16.7—14.9=1.8万亿元,故A错误；

因为6x70%=4.2,贝1J70%分位数为第5个，即为16.7,

所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B正确；

由图表可知，2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,

故C正确；

由图表可知，2019年我国的GDP为14.6+14.7%<100万亿元，故D正确.

故选：BCD.

10.设数列｛4｝前〃项和为5.，满足用「4,“cN*且％=14,则下列选项正确的是（）

A.an=-4n+14

B.数列为等差数列

C.当"=8时S“有最大值

D.设bn=anan+1an+2,则当〃=2或”=4时数歹U｛4｝的前〃项和取最大值

【答案】BD

【解析】

s

【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A,求出。=-2〃+16,然后利用等差数列定义判断B,

n

结合二次函数求等差数列前〃项和的最大值判断C,根据2的符号判定｛〃｝前"项和的最值判断D.

【详解】对于A,由=-4知数列｛%｝为等差数列，公差为-4,首项为%=14,

所以该数列的通项公式为凡=14-45-1)=-4〃+18,错误；

一几(14+18-4〃)9▽…S-21+16"

对于B,因为S=---------=-------------=—2n+16〃，所以一^二-----------=—2〃+16,

22nn

cc1S]

则当〃22时，i——0二—2几+16—(—2〃+18)=—2,故数列彳。卜为等差数列，正确；

nn-1tnJ

对于C,S〃=一2〃2+16〃=一2(〃一4)2+32,故当〃=4时，S”有最大值，错误；

对于D,令凡〉0得令。〃<0得〃>5,

则当〃=1或2时，bn=anan+ian+2>0,

当〃=3时，4<0,当〃=4时，d>0，当时，bn<0,

又&=。3。4。5=6x2x(-2)=-24,Z?4=a4a5a6-2x(-2)x(-6)=24,

所以〃=2或〃=4时，数列｛么｝的前〃项和取最大值，正确.

故选：BD

11.已知点是函数/(x)=sin[s+：)+Z?3〉0)的图象的一个对称中心，则()

28

B.(D-----\--k,keN

33

3兀1171

C.若/（X）在区间上有且仅有2条对称轴，则。=2

D.若“X）在区间佚,g］上单调递减，则0=2或0=g

【答案】BC

【解析】

【分析】根据f（x）的对称中心求得仇。，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.

【详解】依题意，点dm1］是函数〃"=5皿卜》+仁）+6（0〉0）的图象的一个对称中心,

(371兀八37rit,28,,.

所以6=1,且sin|二10+7=0,—co—=kn,G)=-----1—k,keN①，B选项正确.

I848433

28]n,

则〃x)=sin---1—左—+1,左eN,

33)44

3兀-l=sin二+然3兀+兀

所以/x%--

8(33

=sin二+汨,+'(1-2左),

33J

3兀—耳+耳左］x+g。-2左）是偶函数,

由于1-2左是奇数，所以/%---1=sin

2

A选项错误.

3兀11兀3兀71兀11兀兀

C选项,一<x<---,—刃+一<COXH--<---。-1,

8884484

2Q

将。=——+—左，左eN*代入得:

33

3兀71711171[28j7n1

二+九+巴(二+二x+—<---——+—左7+一,

8334(3348334

_口j\28]兀78E2兀

整理得女兀<----卜一7k\x+—<kn-\------------,

I33J433

3兀1171

由于/（x）在区间

石'K-上有且仅有2条对称轴,

什「3兀8左兀2兀5兀“013719

所以一<--------<—,解得一<ZV—,由于左sN*，所以k=1,

23321616

28

对应G=--1—=2,所以C选项正确.

33

712兀

D选项，在区间上单调递减,

5'5

712n7i2兀7171712兀71

——<%<-----,——CO<CDX<------①,——COH<COXH<--G)H,

555554454

2Q

将。=——+?左，左eN*代入得：

33

n.2+染+巴71＜一22+久8升巴71〈生2兀28J兀71

---1—k-\—,

334334533J4

田/口8兀77兀/228871兀兀1166兀K7兀71

整理得——左+——<——+—左x+—<---k------

1560I3333J44151560

（Q「、1r7

16K7117

则NL一一二2+刀V兀，解得IV左＜彳~,而左£]＞}*,所以左=1或左=2,

60\1560）88

8兀,7兀16K,兀377r21K

笈=1时,k+——,----k------,符合单调性,

156015606020

87t,7兀16兀.7171兀1277r

左=2时,——k+——,----k，不符合单调性，所以左=2舍去

156015606060

2Q

所以。=―一+—xl=2,所以D选项错误.

33

故选：BC

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。—AAGA中，已知M,N,P分别是棱G2，AA，BC的中

点，。为平面PMN上的动点，且直线。用与直线。用的夹角为30。，则（）

A.DB]±平面PMN

B.平面PMN截正方体所得的截面面积为3百

C.点。的轨迹长度为兀

D.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为

3-V3

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面PAW的法向量，得到线面垂直；B选项，作出辅助线，

找到平面尸截正方体所得的截面，求出面积；C选项，作出辅助线，得到点。的轨迹，并求出轨迹长

度；D选项，由对称性得到平面RW分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在

BQ上,设球心为由网得到方程，求出半径的最大值.

【详解】A选项，以D为坐标原点，。4,。。,。2所在直线分别为羽以2轴，建立空间直角坐标系，

P（l,2,0）,M（0,l,2）,N（2,0,l）,D（0,0,0）,B,（2,2,2）,

故函=（2,2,2）,丽=（—1,一1,2）,丽=。,—2,1）.

设平面PMN的法向量为m=（x,y,z）,

m•PM-（x,y,z）•（-1,-1,2）=-x-y+2z=0

in.PN=（%,〉/）•（1,一2』）=%-2y+z=0

令z=l得，x=y=l,故机=

因为万瓦=2/，故£＞与_L平面PMN,A正确；

MCi

B选项，取的中点E,£。，连接MQ,ME,EN,NF,FP,PQ,EP,AB,CDi,

因为M,N,P分别是棱£2，A4，BC的中点,

所以NR//43,MQ//CD],又CD111EPIAB,

所以NP//MQ//EP,所以平面尸MN截正方体所得的截面为正六边形EPQMEN,

其中边长为也,故面积为6义曰义(、巧了=3百，B正确;

C选项，。为平面尸MN上的动点，直线。及与直线。4的夹角为30°,

又。耳！,平面PMN,设垂足为S,以S为圆心,厂=半与S为半径作圆,

即为点。的轨迹，

其中与£)=|丽|=14+4+4=2百,由对称性可知，BIS=：B1D=6,

故半径r=xV3=1,

3

故点。的轨迹长度为2兀，C错误；

D选项，因为M,N,P分别是棱G2，M-的中点,

所以平面尸MN分割该正方体所成的两个空间几何体对称,

不妨求能放入含有顶点D的空间几何体的球的半径最大值，

该球与平面PMN切与点S,与平面AD_D]4，平面ADC3,平面。CCQi相切，

由对称性可知，球心在耳。上，设球心为则半径为，，

5(1,1,1),故I丽卜心即6(1—/)=人解得;41,

故球的半径的最大值为三无，D正确.

2

故选：ABD

【点睛】立体几何中截面的处理思路：

(1)直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是

找交线的过程；

(2)作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点

找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

(3)作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后

借助交点找到截面形成的交线；

(4)辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

三、填空题

13.已知点尸是曲线y=lnx上的一点，则点尸到直线x—y=0的最小距离为.

【答案】1

2

【解析】

【分析】设_y=x+〃z(根。0)与y=lnx相切与点。(罚』11%),求得切线方程，再利用两直线间的距离

求解.

【详解】由题意可知：/=-,

X

设。=无+加(阳=0)与。=ln为相切与点2(x0,lnx0),

则了=工，令了=2=1,得力=1,则切点Q(1,O),

代入y=x+根(根。0),得加=-i,即直线方程为x-y-i=o,

所以与直线X—y=0间的距离为d==

即为p到直线％-y=0的最小距离，

故答案为：也.

2

14.已知数歹（!｛4｝的前九项和S”=（a—2）/+〃+*neN*,若｛4｝是等差数列，则｛4｝的通项公式为

【答案】an=-4n+3

【解析】

【分析】利用等差数列的定义以及S”,4的关系即可得出结论.

【详解】由=（〃一2）m2+〃+〃知，

当〃=1时，q=H=2。-1；

当〃22时，册=Sn-=2（〃—2）n+（3—〃）,

此时，当〃=2时，出=4（〃一2）+（3-〃）=3〃一5,

当〃22时，=2（。一2）,而4—q=3〃一5—（2〃-1）二〃一4,

若数列｛%｝是等差数列，则2（〃—2）=〃—4,

所以〃=0,则=—4〃+3.

故答案为：氏=-4〃+3.

15.某工厂生产一批零件（单位：cm）,其尺寸X服从正态分布N（〃,CT2）,且P（X<20）=0.2,

尸（X<26）=0.8,则〃=.

【答案】23

【解析】

【分析】求得P（X226）=P（XW20）,再利用正态密度曲线的对称性可求得〃的值.

【详解】因为X服从正态分布且P（XW20）=0.2,尸（X<26）=0.8,

则P（X226）=1—P（X<26）=1—0.8=0.2=P（XW20）,

“得=

所以,23.

2

故答案为：23.

226

16.已知椭圆二+3=1（。〉人〉0）的左焦点为-离心率为火，过P的直线/交椭圆于A,B两点,且

ab3

|AF|=3|FB|,则直线/的斜率为.

【答案】一叵或旦

33

【解析】

【分析】由4F,2三点共线可得而=3而，再将43两点代入椭圆得到对应关系式，最后消去。求出

为，进而得到直线的斜率.

【详解】设A(XQJ,B(x2,y2),因为|A7“=3|R3|,

又A,F,B三点共线，所以通=3通,

所以(-c—Xi，-%)=3(%+J%)，所以石+3%=-4。，%+3y2=0.

又A（X21）,5（%2，＞2）在椭圆上，

(22

----------

94.才9yL

所以

22--,o2--1---n------G，

三&aab2b2

U23b1=1

(%+3%2)(%-3%2)।(%+3%)(%-3%)

=-8，

所以一4c（x—3々）=_8,所以玉—3々=生，

ac

2同

所以石=9--2c,又£=中，所以〃=3。2,所以％=c,

ca3

由£+4=1，解得X=土豆1c，

当y=2叵c时，直线/的斜率％=一^=£;

3%+c3

当x=-时，直线/的斜率左=一^=-立，所以直线/的斜率为—且或

13%+c333

四、解答题

17.已知口ABC的内角AB,C的对边分别为。，4c,J=LccosA-acosB+c=0.

（1）求sidB+sin2c-sin2A的值;

（2）若。=5,求DABC面积的最大值.

25

【答案】（1）0（2）—.

4

【解析】

TT

【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式可得cosA=0,即可得A=—,利用诱导公式计算可得

2

sin2B+sin2C-sin2A=0;

1*6225

（2）利用不等式可得Snz“=±bcsinAV匕二一，再由勾股定理即可求得口43。面积的最大值为一.

"244

【小问1详解】

因为ccosA-〃cos5+c=0,

由正弦定理可得sinCcosA—sinAcosB+sinC=0.

又sinC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinCcosA+cosAsiaB=cosA（sinB+smC）=0.

又因为sinB+sinCw0,所以cosA=0.

又Ae（0,7i）,可得A=],

故sin2B+sin2C-sin2A=sin2B+sin2=sin2B+cos2B-1=0.

【小问2详解】

兀11/72「2

因为A=大，所以SMc=1~csinA=—bc«------，

2nABC224

当且仅当人二c时，等号成立.

又可知。2+，=〃2=25，

25

所以DABC面积的最大值为二

18.近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一，某高中随机调研了本校

2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计,跳舞与性别情况如下表：(单位：人)

喜欢跳舞不喜欢跳舞

女性2535

男性525

(1)根据表中数据并依据小概率值a=0.05的独立性检验,分析喜欢跳舞与性别是否有关联?

(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率,从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽

取的3人中喜欢跳舞的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).

n(ad-bc)

附：z2-------————!——:------------，n=a+b+c+a.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0250.0100.005

Xa2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】(1)认为喜欢跳舞与性别有关联

(2)分布列见解析，1

【解析】

【分析】(1)计算出力？的值，对照卡方表完成检验；

(2)分别计算出样本中喜欢跳舞和不喜欢跳舞的概率，根据二项分布即可求出随机变量的分布列和数学期

望.

【小问1详解】

零假设：H。：喜欢跳舞与性别无关联，

90(25x25-35x5)2

由题意,=5.625〉3.841，

60x30x30x60

依据小概率值a=0.05的独立性检验，可推断“°不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.

【小问2详解】

由题知，考生喜欢跳舞的概率P=|^=g,不喜欢跳舞的概率为g

X的可能取值为0,1,2,3

P（X=1）=C；

22/

-=P（X

39,

所以X的分布列如下:

X0123

8421

P

279927

由乂~513，!),数学期望E(X)=3x；=l.

，、11c,

19.已知数列｛4｝满足q=1,------—=2n+l.

(1)求｛4｝的通项公式；

2a

(2)若b"=\~=，求数列出｝的前〃项和7；.

乙，-I-JL

【答案】(1)an=\

n

T；32〃+3

⑵"2(〃+1)(”+2)

【解析】

【分析】(1)累加法计算通项公式即可；

(2)利用裂项相消法计算即可.

【小问1详解】

11c,

因为---------=2n+l,

%+lan

所以------=2x1+1=3,------—=2x2+l=5,…，-----------=2n—1,

“2"1%册册-1

累加得------=3+5+…+2〃一1------------'/-I,

«„«i2

121

因为q=1,所以一=n,故4==；

ann

【小问2详解】

b=2a,2NxX±72J1

"2〃a"+l2nx—+1”(〃+2)nn+2

_1+J___1____1_32n+3

2n+1n+22(n+l)(n+2)'

20.如图，在四棱锥尸—ABC。中，底面ABC。是正方形，底面ABC。,EI分别是PC,中

点.

(1)求证：DE〃平面PFB；

(2)若尸2与平面46C。所成角为45°，求平面PEB与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

力7卮

55

【解析】

【分析】(1)设G为尸3中点，连接GE,EG,证明。E//bG即可；

(2)利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可.

【小问1详解】

设G为网中点，连接GE,EG,

又分别是PGAO中点，

所以，

FD=AD,GE=L5C,GE//BC,

22

又底面ABC。是正方形,

所以ED=GE,GE//FD,故四边形田EG为平行四边形，则。E//fG,

由。E平面PFB,FGu平面PFB,则。E//平面PFB.

【小问2详解】

由题意知/尸3。=45°，以。为原点，构建空间直角坐标系,

令AB=1,则PD=DB=亚,

'1J2)

所以3(1,1,0),。(0,0,0),石0,-,^-,F

(22J

所以。3=(1,1,0),DE=0,-,^-,PB加品。,

(22J

in•DB=%+y=0

令加=(%,y,z)为平面£05的一个法向量，则＜

-7^1n

m-DE--y-\-----z=0

22

令y=册,即加=卜/5,J5,—1),

n-PB=a+b—42c=0

令元=(a,b,c)为平面PFB的一个法向量,则《

——►1,

ri•FB=—a+b=O

2

2,即行",曾

令Q

[2J

所以

即平面PFB与平面EDB夹角的余弦值拽5.

55

21.已知/^^刀卜巴卜屿刀卜加为平面上一动点，且满足I咽|-|班|=4,记动点M的轨迹为曲线E

(1)求曲线£的方程；

(2)若4-2,0),3(2,0),过点(1,0)的动直线/交曲线E于P,Q(不同于A,B)两点，直线AP与直线

k

BQ的斜率分别记为右P，凝0，求证：/为定值，并求出定