2023年中考数学几何模型-对角互补的三种模型（讲+练）（解析版）

专题03对角互补的三种模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90。与

120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明

两个三角形全等或者相似.

模型一、含90°的全等型

1.如图，已知NAOB=NDCE=90。，OC平分NAOB.

则可以得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=丫今OC，③

2.如图，已知NDCE的一边与AO的延长线交于点D,ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/

AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,@OE-OD=y/2OC,③SMOE-SMOD=OC”.

例1.如图，在Rt△月BC中，NABC=90°,AB=3,BC=4,RtAMPN,NMPN=90°，点

尸在AC上，PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时，AP=

【详解】解：如图作于。，PRLBC于R.

■:NPQB=NQBR=NBRP=90°,二四边形PQ8R是矩形，

；.NQPR=9(T=NMPN,；.NQPE=NRPF,：.^QPE^/\RPF,

APQ=PE=21:.PQ=2PR=2BQ,

PRPF

VPQ//BC,：.AQ：QP-.AP=AB：BC：4C=3：4：5,

设PQ=4x,则AQ=3x,AP=5x,8Q=2x,；.2t+3x=3,，x=3,尸=5x=3.

5

故答案为3.

【变式训练1】如图，正方形ABC。与正方形OMNP的边长均为10,点。是正方形ABC。

的中心，正方形

OMNP绕O点、旋转,证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的

面积总是一个定

值，并求这个定值.

【解答】解：当OP〃A。或。尸经过C点，

重叠部分的面积显然为正方形的面积的工，即25,

4

当OP在如图位置时，过。分别作CD,8C的垂线垂足分别为E、F,

如图在RtAOEG与Rt/XOFH中，ZEOG=ZHOF,OE=OF=5,：./XOEG迫/XOFH,

•'•SmaufiOHCG=SpiiiiiuOECF=25＞即两个正方形.重:叠部分的面积为25.

【变式训练2】四边形ABC。被对角线8。分为等腰直角△A3。和直角△CB。，其中NA和

/C都是直角，

另一条对角线AC的长度为2,求四边形ABC。的面积.

【答案】2

【详解】解：将△A8C绕点A旋转90°,使8与。重合，C到C'点,

则有NCDC'^ZADC+ZADC'=NAOC+NA8C=180°,

所以C、D、C'在同一直线上，则4C0C'是三角形，

又因为AC=AC',所以△4CC'是等腰直角三角形，

在△A8C和△AOC'中

，AB=AD

<ZBAC=ZDACZ，.♦.△ABC四△ADC'(SAS),

AC=ACy

四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC'的面积，

所以SKillKABCD-S^ACC=」X2X2=2.

2

【变式训练3】3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A(0,2),B点在;E轴

上，对角线AC、BD交于点M,OM=3\/2,则点C的坐标为.

【答案】C(6,4)

【详解】如图，过点C作CE_Lrr轴于点E,过点M作儿中_Lrr轴于点F,连接EM.

ZMFO=ZCEO=ZAOB=90°,AO〃MF〃CE,

•.,四边形ABCD是正方形，；.AB=BC,ZABC=90°,AM=CM,

.,.ZOAB=ZEBC,OF=EF,；.MF是梯形AOEC的中位线，...加尸=，C4O+EC),

MF10E,：.MO=ME,：.^AOBt^BEC(AAS),

.,.OB=CE,AO=BE,：.MF=+OB),

又；OF=FE,.,.△MOE是直角三角形，；MO=ME,二△MOE是等腰直角三角形，

...。七=，18+18=6,：.A(0,2\：.OA=2,BE=2,.\OB=CE=4,：.C(3^

模型二、含60°与120°的全等型

如图，已知NAOB=2/DCE=120。，OC平分/AOB.

则可得到如下几个结论：①CD=CE,②OD+OE=OC,③SAC。。+$△”£=牵。。2.

4

例.如图，在aABC中，AB=AC,点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若NA=60°,

ZEDF+ZA=180°,求证：BE+CF=^AB.

【答案】见解析

【详解】取AB的中点G,连接DG,如图所示：

；AB=AC,NA=60。，.♦.△ABC是等边三角形,

•点D、G分别是AB、BC的中点，

；.DG是aABC的中位线，；.DG=DC=BD,

；NB=60。，.♦.△BDG是等边三角形，

；.NBGD=/C,

VZAED+ZAFD=180°,且NAFD+NDFC=I8O°,

.--ZAED=ZDFC,.,.△GED^ACFD,

AEG=FC,

；.BE+CF=BE+EC=BG=<AB.

【变式训练】在等边4ABC中，点D是线段BC的中点，ZEDF=120°,射线DE与线段

AB相交于点E,射线DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.

(1)如图1,若DFLAC,直接写出DE与AB的位置关系；

(2)如图2,将(1)中的NEDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于

点E

求证：DE=DF；

(3)在NEDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关

系.

【答案】(1)DE±AB；(2)见解析；(3)BE-CF=^AB

【详解】(1)VDF1AC,.".ZAFD=90°,

1.,ZA=60°,/EDF=120°,.,.NAED=360°—/A-NAFD-NEDF=90°,，NDEJ_AB；

(2)连接AD,过点D作DM_LAB于点M,作DN_LAC于点N,如图所示：

:点D是BC的中点，；.AD是/BAC的角平分线，，DM=DN,

；/AMD=/BMD=/AND=/CND=90°,ZA=60°,AZMDN=360o-600-90o-90°

=120°,

；/EDF=120°,NMDE=/NDF,AAEMD^AFND,；.DE=DF；

(3)过点D作DM_LAB于点M,作DN_LAC于点N,如图所示：

N8=NC=60°

ZBMD=ZDNC=90°,ABDMt4CDN,

{BD=CD

；.BM=CN,DM=DN,

：/EDF=120°=/MDN,/EDM=NNDF,

乙EDM=N.FDN

在aDME与4NDF中，<ADME=DNF,.,.△EDM^AFDN,.,.ME=NF,

DM=DN

1

；.BE-CF=BM+EM—(FN-CN)=2BM=BD=-^AB.

模型三、相似型

例.【提出问题】

(1)如图I,在等边△4BC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,

以AM为边作等边连结CM求证：BM=CN.

【类比探究】

(2)如图2,在等边△ABC中，点K是8c延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件

不变,(1)中结论BM=CN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,在等腰△ABC中，84=BC,AB=6,AC=4,点M是8c上的任意一点(不含端

点8、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角连结CN.试探究

8M与CN的数量关系，并说明理由.

图1图2图3

【答案】见解析

【解析】(1)证明：；△ABC、/XAMN是等边，三角形,

，AB=AC,AM=AN,/8AC=NM4N=60",

:.NBAM=NCAN,

•.•在和△CAN中，

'AB=AC

<ZBAM=ZCAN

AM=AN

：.^BAM^/\CAN(SAS),：.ZABC=ZACN.

(2)解：结论NA8C=/ACN仍成立；

理由如下：「△ABC、ZUMN是等边三角形，

：.AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN=60°,：.ZBAM=ZCAN,

'AB=AC

:在△8AM和△CAN中，＜NBAM=NCAN，AB4M丝△CAN(SAS),:.NABC=/ACN.

AM=AN

(3)解：NA8C=/ACM理由如下：'：BA^BC,MA=MN,顶角NA8C=/4MN,

二底角NBAC=NMAN,：./\ABC^^AMN,AB=M,

ACAN

又/MAC,NC4N=/MAN-/MAC,:.NBAM=NCAN,

△BAMs^CAN,：.ZABC=ZACN.

课后训练

1.如图所示，在四边形4BCD中，AO=3,CD=2,NABC=NACB=NAOC=45。,则8。的长

为-

【答案】V22

【详解】解：作AO'±AD,AD'=AD,连接C。'，DD',

如图：VZBA.C+ZCAD=ZDAD'+ZCAD,即NBAO=NCAO',

'BA=CA

在△840与△CAD'中，,NBAD=NCAD,，.•.△BAD丝△CAD'(SAS),：.BD=CD'，

AD=AD'

ADAD'=90°,

由勾股定理得Q。'=4仙2+(仙，)2=3®,NO'D4+NAOC=90°,

由勾股定理得CO'={DC2+(DD，/=扬,:.BD=CD'=A/22.

故答案为：V22.

2、如图，在△48C中,N4BC=6(T,AB=2%三8,以AC为腰，点A为顶点作等腰△

AC。且ND4C=120。,则BD的长为.

DD

【答案】10

【详解】解：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°,得到△E4O,连接8E,作AP

于P,

则N/ME=120°,AB=AE,：..ZABE=ZAEB=30°,

:.BP=AB,cosNABP=3,NAEB=90°,:.BE=2BP=6,

在汝中，

BD=JED2+BE2=1.O,

故答案为：10.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E在对角线AC上，连接BE,作EF_LBE,

垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则黑=

【详解】如图，过点E分别作EG_L6C于点G,EHLCD于点H.

•••四边形ABCD是矩形，，四边形CHEG也是矩形，；./6£11=90。,

ZBEG+NGEF=ZGEF+ZFEH=90°,/./BEG=ZFEH,

EFEH

又・・・NBGE=NFHE=90。，/.ABEG^AFEH,/.前二密，

c〃...EGECEHEC.EG_AB3,EFEH4

EG/IAB,EHI/AD,：.=

~EH=~AD=4,-'~BE=~EG=3

4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F分别为AD、CD上的点,

若AE=4,CF=3,且OE_LOF,求EF的长.

【答案】5

【详解】如图，连接EF.

:四边形ABCD是正方形，.,.AO=