辽宁省协作校2022-2023学年高三年级上册期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年度上学期高三期末考试试题数学

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

5=<x|—<x<4>

1.设集合f3W0[2J,则A3=(

)

A.|x|0<x<^-|B.|x|^-<x<3|C.1x|3<%<4}D.1x|0<%<4}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得A,再根据交集的定义可得结果.

【详解】集合A={x|/-3x<0}={x10<x<3},5={x[g<x<4},

A3={x[g<xV3}.

故选：B.

2.已知复数z满足z（l+2i）=|4—3z]（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.-2B.-2iC.1D.i

【答案】A

【解析】

【分析】由题目条件可得z（l+2z）=|4—3z]=5,即2=个不，然后利用复数的运算法则化简.

【详解】因为|4—3z[=5,所以z(l+2z)=|4—3i[=5,

55(l-2i)5-10z_..

贝i]z=

1+2?(l+2z)(l-2z)5一

故复数Z的虚部为-2.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.

3.下表是某校在2022年高考中各班的最高分，则这组数据从小到大的第80百分位数是（）

班级最高分班级最高分

1班6947班658

2班7018班677

3班6899班642

4班69110班656

5班68111班673

6班66612班638

A.694B.681C.689D.691

【答案】D

【解析】

【分析】将数据由小到大进行排列，利用百分位数的定义可求得结果.

【详解】将数据由小到大进行排列为：638、642、656、658、666、673、677、681、689、

691、694、701,

因为12x0.8=9.6,因此，该组数据的第80百分位数是691.

故选：D.

4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，

多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设

正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为28,则侧棱与底面内切圆半径的比为（）

11

A.vB.vC.--------D.---------

3sin。3cose2sin。2cos，

【答案】A

【解析】

【分析】

首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.

【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱==底面

边长=底面内切圆半径OC=r,ZASB-20,

则，。LB是等边三角形，〃=〃sin60=—a，侧面△&LB中，a=2bsin0,

2

r=6bsin0，BP-=11---二—7―•

ry/isinO3sin6

故选：A

5.对任意向量〃力，下列关系式中不恒成立的是

A.卜力归同忖

B.|a-Z?|<||a|-|/?||

C.(a+b)2=\a+b^

D.(a+b)(a—b)=a~—b

【答案】B

【解析】

【详解】因为卜力卜同网cos〈a,A〉|v|a|W，所以选项A正确；当a与6方向相反时，,一方目同一W

不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；(a+))(a-b)=。2-)2,

所以选项D正确.故选B.

【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积.

22

6.尸为双曲线二=1(。>0,6>0)上一点，F1；心分别为其左、右焦点，。为坐标原点.若

ab

\OP\=b,且sinNP月片=3sinNP片工，则C的离心率为()

A.72B.73C.2D.76

【答案】B

【解析】

【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得c=ga，由此求得双曲线的离心率.

【详解】由sinNP6耳=3sinNP£K，以及正弦定理可得归国=3归阊，

因为卢用_|P闾=2a,所以归周=3匹|尸鸟

因为Qg|=c,QH=Z>,所以NOP8=(,所以cos?。"。

在•4月P中，cos?F[F、Pa+(2c)"(3。)=cos?QFp£.

2ax2cc

化简可得c=J§«，所以。的离心率e=£=6.

a

故选：B

7.已知a+2“=2,6+3"=2,则blga与algb的大小关系是()

A.blga<algbB,blga=algb

C.b\ga>cAgbD.不确定

【答案】C

【解析】

【分析】令〃X)=x+2x,g(x)=x+3\结合题意可知0<方<a<l,进而有4>〃>",再利用对数

函数的单调性和运算性质即可求解

【详解】令/(x)=x+2'g(x)=x+3x,

则当x>0时，g(x)>/(x),当x<0时，g(x)<广(x)；

由。+2。=2,6+38=2,得/(a)=2,g(/?)=2

考虑至ij/(a)=g。)=2得。<》<a<l,

:.ab>bb>ba

由得坨(/)>坨仅),

§Jflblga>algb

故选：c

8.已知々（见,々）与鸟（出力2）是直线丁=履+2（左为常数）上两个不同的点，则关于

《：囚》+4y一2=0和4：gx+为丁一2=0的交点情况是（）

A.无论左，R,6如何，总有唯一交点B.存在左，A，鸟使之有无穷多个交点

C.无论左，4，鸟如何，总是无交点D.存在左，片,鸟使之无交点

【答案】A

【解析】

【分析】根据晶鸟在直线y=履+2可得4=3,+2«=1,2）,从而可得/1,右有唯一交点，从而可得正

确的选项.

【详解】因为4（4，4）与£（。2力2）是直线丁=丘+2（左为常数）上两个不同的点，

所以4=kat+2（i=1,2）即atx（-左）+4xl-2=0（z-=l,2）,

故（-仁1）既在直线4上，也在直线4上.

因为6（%,4）与6（%,4）是两个不同的点，故4、4不重合，

故无论左，6，舄如何，总有唯一交点（—七1）.

故选：A.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法正确的是（）

A."X/x>0,6*>》+1”的否定形式是“下:<0,ex<x+r

[5兀

B."sin%=一”的一个充分不必要条件是“X二—”

26

C.两个非零向量a，6,"k|=W，且。〃斤'是“a=6”的充分不必要条件

D.若随机变量X—N（3,b2）,且P（X25）=0.2,则P（1WXW5）等于0.6

【答案】BD

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定判断A；结合三角函数知识以及向量相等的概念，根据命题间的逻辑推理

关系，判断B,D；根据正态分布曲线的对称性求得概率，判断D.

【详解】对于A,6，>%+1”的否定形式是“小:>0,ex<x+r，A错误;

5兀1

对于B,当x=—时，sinx——成乂；

62

I兀5兀

当sin%=—时，%=—+2hi,k£Z或九二---bIkn.kGZ,

266

JTSTT

比如可能是x=2,不一定是％=—,

66

j5兀

故"sinx=一"的一个充分不必要条件是“x=—"，B正确；

26

对于c,两个非零向量〃，b，“|〃|二|］且〃〃人”,那么〃，人可能方向相反向量,

故推不出〃二人成立，

当a=b时,一定有,卜卜卜且〃〃/?’

故"W=W，且。是“a=6”的必要不充分条件，c错误；

对于D,随机变量X—N（3,CT2）,且尸（X25）=0.2,

则尸（XN5）=尸（XWl）=0.2,

则P（1<X<5）=1—尸（X>5）-P（X<1）=1-2P（X>5）

=1—2x0.2=0.6,故D正确,

故选：BD

10.己知函数/（x）=asiiu•-cosx（xwR）关于左=四对称，则下列结论正确的是（）

A.。:一与B.八%）在-（限上单调递增

C.函数/x+g是偶函数D.把了（％）的图象向左平移.个单位长度，得到的

手,o］对称

图象关于点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意，可知x=N是对称轴，可解得。=一且，然后根据三角函数的性质，即可求出单调

63

性，对称中心.

【详解】因为|/(%)归力2+］，函数〃x)=asinx—cosx(x£R)关于x=■对称，可知

1百。+所以解得：a=_也,故对.

+10—a-------=6+1=3/+21=0,A

223

小/)、一、丁Q血-COSX—亍2J3sin(x+§71),当川「甘兀乃兀1］时,，刀兀中「八，五5K1月「。八直71~|，故,,B一不对，.

/1%+个］=—竽sin(x+E+m)=—芋cosx,所以/1%+巳］是偶函数，故C对.

了(%)的图象向左平移力个单位长度，得到了sin(x+£+马〜亚si

1233

当x=3时，sin[++1|]wO,所以D错.

故选：AC

11.已知直线/:◎+勿+1=0(。>0力>0)与圆。：/+丫2=1相切，则下列说法正确的是()

A.a+b>lB.U"C.<-D.-+-<2A/2

a'bI2J2ab

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件，求出。与6的关系式，再利用均值不等式逐项判断作答.

1

【详解】因为直线/：6+外+1=0与圆。：炉+/=1相切，则=1,22-1>

y/a2+b2BPa+£>

a>0,b>0,

对于A,因为2a〃=(a+b)2-(〃2+〃2)=(〃+人)2一1>0,解得A正确;

对于B,二+4=(。2+/)(\+4)=2+《+£22+2、件-胃=4,当且仅当。=6=正时取等

a2b2a2b1a1b2\a2b22

号，B正确；

ab2

对于c,(_f__==J-^<o,当且仅当a=6=Y2时取等号，C正确；

222242

对于D,因为0<。6«三±2=,，当且仅当a=6=也时取等号，则,22,

222cib

,、口=当且仅当q=6=变时取等号，D不正确.

因此一+—22.

ab\ab2

故选：ABC

12.如图所示，正方体ABCD-4/G。棱长为2,M为线段的中点，N为CG上的点，且

CN=2NC「过A1，M,N的平面截该正方体的截面记为S,则下列命题正确的有（）

D,___M_____q

---------------

A.S为五边形

B.三棱锥A外接球的体积为兀

2

C.三棱锥4-3M0的体积为］

D.与平面ABC所成的角的正切值为正

5

【答案】BC

【解析】

【分析】利用面面平行的性质判断A；确定三棱锥外接球半径计算判断B；建立空间直角坐标系，利用空间

向量计算距离及线面角判断CD作答.

【详解】对于A,显然S与正方形CDRG的交线为线段MN,而S与正方形有公共点4，

则S与正方形ABBiA有交线，又面45用4//面CE>DG，因此该交线与MN平行，交8用于点。如

图，

即有s与正方形5CG51交线为线段QV,与正方形交线为线段4",

从而S与正方体的四个面相交，即S是四边形，A不正确;

对于B,三棱锥4-BCD与正方体ABCD-4与。］已有相同的外接球，

而正方体ABCD-A4G。的外接球直径为体对角线长4。=2后，球半径R=^3,

此球的体积丫=f区3=q£(6)3=4瓜，B正确；

对于C,以点。为原点，射线”,DC分别为苍％z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，

42

则A(2,0,2),BQ,2,0),M(0,l,2),N(0,2,-),NM=(0,-1,字型=(。，2,-2),=(-2,1,0),

n-AB=2y-2z=0

令平面AMN的法向量为〃=(尤,y,z),贝叫，令X=1,得〃=(122),

n•AiM=—2x+y=0

2

点N到平面AMN的距离d=l〃-NM|=3=2,而AM=6,A5=2aBM=3,

|n|39

△ABM中,由余弦定理得cos/B%M=仲=-^,sinNA41M=卡,

SA,BM=-A5-AWsinZB^M=-x2>/2xy/5x^==3,

122vlO

1?

因此三棱锥A-BNM的体积AlBM-d=-fC正确；

对于D,由选项C知，C(0,2,0),BC=(-2,0,0),BM=(-2,-1,2),

n-AB-2y.-2z,=0

设平面A]_BC的法向量m二(X，yZ|),则{}，令％=1,得利=(0,1,1),

n-BC=—2X[=0

1A/2

设BM与平面ABC所成的角为。，则Sin0=1cos(m,BM)\=

|m||W|-3xV2-6'

八F.---.2八J34-sin。VI7「力十.舄

cos^=Vl-sm-3=----，tan6=-----=-----，D不正确.

6cos。17

故选：BC

【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几

何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点

中至少有两个点在几何体的同一平面上.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.己知数列｛4｝的通项公式为4=2〃—10,S”为｛4｝前几项和，则S“最小值时，n=.

【答案】4或5

【解析】

【分析】求出/<0时〃的范围即可得答案.

【详解】令4=2〃-10W0得〃W5,

即当〃W4时，an<0,

当〃=5时，an=0

当“26时，>0

••.S"最小值时，"=4或5

故答案为：4或5.

14.若多项式厂+=4+q(无+1)+,—1*%(尤+1)+qo(x+l),则/=

【答案】-120

【解析】

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】%2+x10=(x+l-l)2+(x+l-l)10=(X+1)2-2(X+1)+1+(X+1-1)10,

10

二项式(x+1-1)的通项公式为：Tr+l=C；o-(1+°-•(-1/，

因为f+尤+q(x+1)H---Ptig(尤+1)+q0(x+l)，

所以令10—r=3nr=7,因此。3=C1•(—1)7=—120,

故答案为：-120

15.已知。为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点产的直线与。交于A,8两点，其中A在第

一象限，点M(p,o),若|44=|闻4,则直线A3的斜率为.

【答案】276

【解析】

【分析】由条件可得乙=也产，然后求出点A的坐标，然后由左例=左"可得答案.

【详解】因为=M(P,O),(与

所以x.=X“；XF所以北=2内人=gp2,以=号p,

A/60

——p-0

所以七6二%A尸=4-------=2瓜，

3p

一p----

42

故答案为：2捉.

16.定义在R上的函数〃%）满足〃2x+l）+/（2x—1）=/（2022）,/（x+1）=/（-x+1）,若

出"，则”2022)=一,2皿-"一.

【答案】①.0②.-100

【解析】

【分析】根据/(2x+l)+/(2x-l)=/(2022)得到/(x+2)+/(x)=/(2022),

/(x+4)+/(x+2)=〃2022),从而得到了(x+4)=/(x),即〃％)的一个正周期为4,故

7(2022)=/(2),用赋值法得到"0)=0,求出/(2022)=〃2)=0,再求出"％)关于x=l对称，

关于x=3对称,结合函数的正周期，求出

200（1

k的值.

£同2

【详解】由/（2x+l）+/（2x_l）=/（2022）可得:/（x+l）+/（x-l）=/（2022）,

即2）+/（x）=/（2022）,将x替换为x+2得:

/(x+4)+/(x+2)=/(2022),两式相减得：/(x+4)=/(x),

即了(%)的一个正周期为4,

因为2022=4x505+2,所以“2022)="2),

又*x+l)+/(x—1)=/(2022)中令x=l得：/(2)+/(0)=/(2022),

所以/(0)=0,

/(x—l)+/(x+l)=0中令x=l得：/(0)+/(2)=0,故/(2)=0,

故〃2022)=〃2)=0；

由/(x+l)=/(-x+l)知：/(X)关于X=1对称，

因为“X)的最小正周期为4,所以/(-X+1)=/(-X+5),

故/(x+l)=/(—x+5),即关于x=3对称，

3

由/'(*)=-/(x+2)知：~fI

357

所以/g,则/

因为/(%)的最小正周期为4,

200(357399

所以k+2/+3/+4/++200/

k=l\

=1[(1+2-3-4)+(5+6-7-8)++(197+198-199-200)]

=1x[(-4)+(-4)++(-4)]=gx(-4x50)=-100.

故答案为：0,-100

【点睛】设函数y=/(x),xeR,〃>0,axb.

(1)若"％+〃)=/(%—〃)，则函数/(%)的周期为2a；

(2)若/(x+a)=—/(£),则函数的周期为2a；

若f(x+a)=---—,

(3)右,)"X)则函数了(%)的周期为2a；

若f(x+a)=——,

(4)右‘)"力则函数了(九)的周期为2a；

(5)若/(%+«)=/(X+Z?),则函数/(%)的周期为|。一可；

(6)若函数/(%)的图象关于直线x=。与x=b对称，则函数了(%)的周期为2忸—4；

(7)若函数八％)的图象既关于点(。,0)对称，又关于点。,0)对称，则函数〃九)的周期为2|》—《；

(8)若函数八％)的图象既关于直线％对称，又关于点0,0)对称，则函数“％)的周期为4|b—4；

(9)若函数/(%)是偶函数，且其图象关于直线％对称，则了(%)的周期为2°；

(10)若函数/(%)是奇函数，且其图象关于直线x=a对称，则了(尤)的周期为4a.

四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.ABC的内角A5c的对边分别为。，b»c.设(sin3—sinOp=sin?A-sin3sinC.

(1)求A；

(2)若ABC为锐角三角形，且。=3,求一A3C面积的取值范围.

【答案】(1)4=三

(空运

2'4

\」

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理得到cosA=g,结合AG(O,TI),求出A=1；

(2)由正弦定理得到人=2百sinB,c=2班sinC,表达出S筋。=dfsin(2B—个)+苧，利用

e

为锐角三角形，求出从而得到sin[23—4]e[e，l，ABC]，]-

【小问1详解】

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC变形为sin?B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC，

由正弦定理得：b2+c2-a2=bc^

^22_2be

由余弦定理得：cosA=3^——

2bc2b^~2

因为Ae（O,兀），所以4=1；

【小问2详解】

工=^^=上=工=2超

由正弦定理得：；「兀

sinBsinCsinAs,in——

3

故b=26sinB,c=2y/3sinC,

故SABC=—bcsinA=3^3sinBsinC=3石sinBsin

=3A/3sinBcos3+-sinB二-sin3cos3H------sin2B

22

「sin28—述c°s25+^=逑sin[28」]+速

4442I4

（兀）2兀（兀

因为一ABC为锐角三角形，所以BEO,,，C=--Be\Oy-

解得:Be

(、?2a

18.己知数列｛4｝的首项6=—,且满足—[(ACN*).

73an+1

（1）求证：数列，3：为等比数列;

1111

（2）若一+—+—+…+—<100,求满足条件的最大正整数及.

【答案】（1）证明见解析

(2)〃=33

【解析】

111

【分析】（1）由已知递推公式得-----3=---3,由此可得证;

4+121%

1<1Y1111

（2）由（1）得一=_+3,根据等比数列的求和公式可求得一+—+—+…+一，再令

any1）4%%%

“x）=3x——99,得函数”x）的单调性和/（33）<0"（34）>0可得答案.

【小问1详解】

2an13an+1

解：〃〃+1=「七」一r一

+1an+i

113

----=------1--,

2a

4+12ati24+i\n?

又卬=2,；.-1=1一3=工,

17q22

数列1一31是以g为首项,g为公比的等比数列.

【小问2详解】

解：由（1）可知，—3="TEH八,

4

111+:出+出++电+3E—出+3”,

...——+——+—+

^^2^^3

111+«-<100,则1-[]+3“<100,;.3"—<99,

若—+—+—+

ci-yci?

令y（x）=3x——99,所以/&）在R上单调递增，

且了（33）=99d—99<0"（34）=102—0—99>0，

所以满足条件的最大正整数72=33.

19.2022年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福

城”，随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数.现从调查人

群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后

的一位数字为叶）.若幸福指数不低于9.0分，则称该人的幸福度为“超级幸福”.

幸福指数

730

86666778899

97655

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“超级幸福”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选4人，记自表示抽

到“超级幸福”的人数，求自的分布列及数学期望.

【答案】（1）众数：8.6；中位数：8.75.

⑵里

140

（3）分布列见解析；1.

【解析】

【分析】（1）根据茎叶图即可求得众数和中位数；

（2）根据互斥事件的概率加法公式以及古典概型的概率公式，即可求得答案；

（3）确定J的可能取值，确定幸福度为“超级幸福”的概率为P,由题意可知J:B（4,I）,根据二项分布的

概率计算可求得自的每个值对应的概率，可得分布列，继而求得二项分布的数学期望.

【小问1详解】

由茎叶图可知众数：8.6；中位数：-——-=8.75.

2

【小问2详解】

设a表示所取3人中有，个人是“超级幸福”事件，

至少有2人“超级幸福”记为事件A,

C2clC7619

贝|JP（A）=p（4）+P（A）=+4__

016C*560140

【小问3详解】

由题意可知，J可能取值为0,L2,3,4,

41

任选一人，该人的幸福度为“超级幸福”的概率为P=—=—,

164

故久3（4,；）,

则go)=%)、2相=i)=c中All，

13?7133

PC=2)=C七3)2=—，m=3)=C：(-)3(-)'=-

d)=C&)4=熹,

所以J的分布列为;

401234

81272731

P

2566412864256

因为表3(4,：),所以E@=4x；=l.

20.如图，在几何体A5CDEF中，四边形A3CD是边长为2的菱形，且/9。=60°,CE=DE,

EF//DB,DB=2EF,平面CDE,平面ABC。.

E

(1)求证：平面BCF,平面ABCD；

(2)若直线3E与平面A3CD所成角的正弦值上叵，求点C与平面AEE的距离.

10

【答案】(1)证明见解析；

⑵巫.

5

【解析】

【分析】(1)分别取CD,3C中点。，G,证明尸G//EO,再结合面面垂直性质、线面垂直的判定、面面

垂直的判定推理作答.

(2)求出E。长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点C与平面AEE的距离作答.

【小问1详解】

分别取C23C中点。，G,连接EO,OG,Gb,如图,

于是得OG//BD,OG=LBD,而EF//DB,DB=2EF,则Eb//OG,防=OG,

2

即四边形OGEE为平行四边形,FG//EO,又CE=DE,有EOLCD,

因为平面CDE,平面ABCD,平面CD£c平面ABCD=CD,EOu平面CDE,

因此£0,平面A3CD,即有bG,平面A3CD,而bGu平面

所以平面3CF，平面A3CD

【小问2详解】

连接。3,菱形A3CD中，ZBAD^60°,则△BCD为正三角形，有OBLCD,

3

由（1）知EOL平面A3CD,即有/EBO为直线形与平面A3CD所成的角，即sinNEBO=

cosNEBO=—^=,tanNEBO=3而BD=2,则OB—y/3,OE—3-\/3,

VW

显然O3,OC,OE两两垂直，以点。为原点，射线O&OCOE分别为羽％z轴非负半轴建立空间直角坐

标系，

则4代,—2,0),B(AO,O),C(O,1,O),£)(0,-1,0),E(0,0,3我,

CE=(0,-1,373),AE=(—6,2,3A/3),EF=|DB=(^,1,0).

n•AE=-6x+2y+3y/3z=0

设平面AEF的法向量几=(%,y,z),贝卜^31,令x=l,得〃=(1,一6,1),

n•EF=——九+—y=0

I22

所以点C与平面AEF的距离d=|C£'n|=¥=±"5.

In\V55

21.己知椭圆。：q+了2=1,过点M，,-直线/r4的斜率为匕，右，4与椭圆交于A(x”x),

3（九2，%）两点，/2与椭圆交于。（项，%），。（%4，%）两点，且A,B,C,。任意两点的连线都不与坐

标轴平行，直线y=—5交直线AC,BD于P，Q.

\PM\

（2）上高的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

\QM\

【答案】（1）证明见解析

⑵同为定值1

【解析】

【分析】（1）依题意可得直线4：y=%x—；,直线4：y=&x-；，联立直线与椭圆方程，消元、列出

韦达定理，即可求出的值，即可得证；

,依题意可得A、P、C三点共线，则X-%/2,即可求出

（2）设尸，Q\XQ,--

xP,同理可得为,再结合（1）的结论得到Xp+q=O,即可得到归闾=|。叫，从而得证.

【小问1详解】

证明：依题意直线6:y=,直线4：y=攵2X-g，

,消去》整理得（1+46卜2—4%/—3=0,

4k-3

显然A>0,所以/+Q=]+4%，&+4=]+4公，

FT

所以如忍=:1秋=_]

石+%2414

~1+%

,1

y-k2x——

22,消去y整理得（1+4代卜2—4质尤—3=0,

由＜

—+/=1

14•

4k-3

显然A>0,所以％+。=]+4；j，/+%4=]+4k；，

所以勺小区=**=—之,

%3+X44k24

1+4公

所以殳五=红血

占+x2x3+x4

【小问2详解】

解：局\PM为\定值1，

设「卜,一;，Q（V）,

由已知可得%，%彳丁4，即左述2片女2%4，匕西。左2%3,

1

因为A、P、C三点共线，所以M一%".2，即L22，

x-X再一Xp

i3石一演x1-xp

解得%=（'—?中3,同理可得加=（,一匕

占马

K2X3-院％k2x4-

K元1%2k2%3%4/\/\

由（1）知------=----：-,可得勺%%2（%3+%）=k+%），

X]+*2，3+，4

整理得玉毛（尢%2—）=%乂化七-勺%），即X2X4

左2%—左1%1KX1-^2X4

所以4+X=他―小尤4+("M=0,

女2%4—KX2左2%3一匕石

所以好|=同，

所以忸闸=闻=司=|0叫，即时=L

22.已知函数/'(%)=以+2+。(°>0)的图象在点(1,/(1))处的切线方程为了=彳-1.

X

(1)用4表示出/?,。；

(2)若/(%)—Inx20在［1,+8)上恒成立，求。的取值范围；

(3)证明.1+工+工+…+!+—~~->-+ln(/?+l)(nGN*)

址力.23n2(«+1)2'八''

【答案】(1)b=Q—1,。=1—2a.

⑵［1,+oo)

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据导数的结合意义，列出等式，即可求解；

(2)由/(%)-Inx20在［1,+8)上恒成立，设函数g(x)=/(%)