湛江市重点名校2022年中考冲刺卷数学试题含解析

湛江市重点名校2022年中考冲刺卷数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.用圆心角为120。，半径为&机的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（）

2.下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（）

A.J=3X2+2B.y=3（x-1）2C.y=3（x-1）2+2D.y=2x2

2

3.反比例函数是丫=一的图象在（）

x

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限

4.如图，在△ABC中，AB=5,AC=4,ZA=60°,若边AC的垂直平分线DE交AB于点D,连接CD,则△BDC的

A.8B.9C.5+721D.5+VT7

5.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家

到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（）

6.下列安全标志图中，是中心对称图形的是（

AB*C^Z

7.在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球,

是白球的概率为（）

11

A.-B.-

23

8.下列命题是真命题的是（）

A.如果。+》=0,那么。=。=0B.J西的平方根是±4

C,有公共顶点的两个角是对顶角D.等腰三角形两底角相等

9.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/

小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离丫（千米）与快车行驶

时间t（小时）之间的函数图象是

k

10.如图，4（4,0）,B（1,3）,以。4、。8为边作□CMC5,反比例函数》=一（的第）的图象经过点C.则下列结

X

论不正确的是（）

B.若”3,则x>5

C.将口。/。？向上平移12个单位长度，点8落在反比例函数的图象上.

D.将口QNC5绕点0旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m,同时测得一栋建筑物的影长为9m,那么这栋建筑物的高度

为m.

12.已知A="—QT,8=（«>3）,请用计算器计算当〃？3时，A、B的若干个值，并由此

归纳出当〃23时，A、8间的大小关系为.

13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O,则

14.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将^ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD内部.将

AF延长交边BC于点G.若£9=2，则竺=（用含k的代数式表示）.

GBkAB-------

4B

15.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（a,a）.如图,

若曲线y=±（x>o）与此正方形的边有交点，则a的取值范围是.

x

16.如图，当半径为30cm的转动轮转过120。角时，传送带上的物体A平移的距离为cm.

m

三、解答题（共8题，共72分）

17.(8分)如图，已知一次函数k外+。的图象与反比例函数y=§的图象交于点A(Tm),且与，轴交于点5；

点c在反比例函数y=幺的图象上，以点。为圆心，半径为2的作圆c与x轴，y轴分别相切于点。、B.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)请连结并求出AA03的面积；

k

(3)直接写出当尤<0时，+―>0的解集.

।x

1

18.(8分)如图，分别以线段AB两端点A,B为圆心，以大于2AB长为半径画弧，两弧交于C,D两点，作直线

CD交AB于点M,DE〃AB,BE〃CD.

(1)判断四边形ACBD的形状，并说明理由;

19.(8分)如图，△ABC内接与。O,AB是直径，OO的切线PC交BA的延长线于点P,OF〃BC交AC于AC点

若。O的半径为4,AF=3,求AC

20.(8分)某校园图书馆添置新书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文学书，由于科普书的单价比

文学书的价格高出一半，因此，学校所购文学书比科普书多4本，求：

(1)这两种书的单价.

(2)若两种书籍共买56本，总费用不超过696元，则最多买科普书多少本？

21.(8分)如图1,已知△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90。，点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、

C分别在DG和DE上，连接AE,BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是_____；将正方形DEFG绕点D逆时针

方向旋转a(00<a<360°),

①判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC=DE=4,当AE取最大值时，求AF的值.

Y2—2光+1X2-4I

22.(10分)先化简，再求值：-——：——+———十一，且x为满足-3<xV2的整数.

X2-xX2+2xx

a

23.(12分)在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,点P是AABC内一点，且/PAC+/PCA=亍，连接PB,试探究PA、

PB、PC满足的等量关系.

(1)当a=60。时，将△ABP绕点A逆时针旋转60。得到△ACP，，连接PP，，如图1所示.由△ABP丝AACP，可以证

得小APP，是等边三角形，再由/PAC+NPCA=30。可得/APC的大小为度，进而得到^CPP，是直角三角形，

这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为；

(2)如图2,当a=120。时，参考(1)中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

(3)PA、PB、PC满足的等量关系为.

24.已知抛物线y=a(x+3)(x-1)(a,0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C,经过点A的

直线y=-v7x+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式；

(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每

秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒亍个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时,

点Q在整个运动过程中所用时间最少？

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解析】

利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以In即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高.

【详解】

120Kx6

L=R-=4兀厮)；

圆锥的底面半径为4冗+2元=2(.cm),

这个圆锥形筒的高为J62-22=4＞历(cm).

故选C

【点睛】

n7ir2

此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长=不行；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长;

180

圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形.

2、D

【解析】

分析：根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解:

A、y=3x2的图象向上平移2个单位得到y=3x2+2,故本选项错误；

B、y=3x2的图象向右平移1个单位得到y=3(x-1)2,故本选项错误；

C、y=3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=3(x-1)2+2,故本选项错误；

D、y=3x2的图象平移不能得到y=2x2,故本选项正确.

故选D.

3、B

【解析】

2

解：•.•反比例函数是丫=一中，

xk=2>0,

.•.此函数图象的两个分支分别位于一、三象限.

故选B.

4、C

【解析】

过点C作CMJ_AB,垂足为M,根据勾股定理求出BC的长，再根据DE是线段AC的垂直平分线可得△ADC等边

三角形，则CD=AD=AC=4,代入数值计算即可.

【详解】

过点C作CMJ_AB,垂足为M,

在RSAMC中，

VZA=60°,AC=4,

；.AM=2,MC=2y/3,

；.BM=AB-AM=3,

在RtABMC中，

BC=《BM2+CM2=卜+以1)=万,

「DE是线段AC的垂直平分线，

.\AD=DC,

,/ZA=60°,

..△ADC等边三角形，

..CD=AD=AC=4,

ABDC的周K=DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+0.

故答案选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算.

5、B

【解析】

【分析】根据小刚行驶的路程与时间的关系，确定出图象即可.

【详解】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车,

因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时

间t的增长而增长，

故选B.

【点睛】本题考查了函数的图象，认真分析，理解题意，确定出函数图象是解题的关键.

6、B

【解析】

试题分析：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选B.

考点：中心对称图形.

7、D

【解析】

一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球.从袋中任意摸出一个球，共有

10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.

【详解】

21

根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=m=5.

故答案为D

【点睛】

此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

m

那么事件A的概率P(A)=—.

n

8、D

【解析】

解：A^如果。+4=0,那么或。=-从错误，为假命题；

B、，话=4的平方根是±2,错误，为假命题；

C、有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误，为假命题；

D、等腰三角形两底角相等，正确，为真命题；

故选D.

9、C

【解析】

分三段讨论：

①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；

②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；

③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；

结合图象可得C选项符合题意.故选C.

10、B

【解析】

k

先根据平行四边形的性质得到点。的坐标，再代入反比例函数丁=一(4邦)求出其解析式，再根据反比例函数的图

x

象与性质对选项进行判断.

【详解】

解：；4(4,0),B(1,3),BC=OA=4,

C(5,3),

k-

•.•反比例函数y=—(ARO)的图象经过点c,

X

k=5x3=15,

15

・二反比例函数解析式为y=一.

X

口O4C5的面积为。4xy=4x3=12,正确；

h

当），<0时，X<Q,故错误；

将口。4方向上平移12个单位长度，点5的坐标变为（1,15）,在反比例函数图象上，故正确；

因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将口。4。5绕点。旋转180。，点C的对应点落在反比例函数图象的另一

分支上，正确.

故选:B.

【点睛】

本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11,1

【解析】

分析：根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解.

详解：设这栋建筑物的高度为xm,

2x

由题意得，

19

解得X=l,

即这栋建筑物的高度为1m.

故答案为1.

点睛：同时同地的物高与影长成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出这栋高楼的高度，体现

了方程的思想.

12、A<B

【解析】

试题分析：当n=3时，A=>/3-72=0.3178,B=LA<B；

当n=4时，A=2-^/3-0.2679,B="—1M.4142,A<B；

当n=5时，A=V5-2-0.2631,B=>/3-72«0.3178,A<B；

当n=6时，A="-游HO.2134,B=2-/9.2679,A<B；

以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n23时，A、B的关系始终是A<

B.

13、1

【解析】

首先连接BE,由题意易得BF=CF,△ACO^ABKO,然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3,即

可得OF：CF=OF：BF=1：1,在RtaOBF中，即可求得tan/BOF的值，继而求得答案.

【详解】

如图，连接BE,

；四边形BCEK是正方形，

11

.,.KF=CF=-CK,BF=-BE,CK=BE,BE±CK,

22

..BF=CF,

根据题意得：AC〃BK,

.".△ACO^ABKO,

AKO：CO=BK：AC=1：3,

AKO：KF=1：1,

11

.".KO=OF=-CF=-BF,

22

BF

在RtAPBF中，tanZBOF=—=1,

■:ZAOD=ZBOF,

tanZAOD=l.

故答案为1

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义.此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思

想与数形结合思想的应用.

14、0

2

【解析】

试题分析：如图，连接EG,

---=—］,・,•设CG=m,GB=mk（m>0）,则AD=BC=m+mk。

GBk

••,点E是边CD的中点，ADE=CE=1DC=1AB,

22

,/△ADE沿AE折叠后得到△AFE,

EF=DE=—AB,AF=AD=m+mk。

易证AEFGgZ\ECG（HL）,FG=CG=m«AG=2m+mk。

...在RSABG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,即AB2+（mk>=（2m+mk）。

AB?=（2m+mk»-（mk>=［（2m+mk）-（mk）］［（2m+mk）+（mk）］=4m2（1+k）。

AB=2m+k（只取正值）。

ADm+mkm（l+k）Jl+k°

AB2mJl+k2mdi+k2

15、^/3—l<a<y/3

【解析】

根据题意得出C点的坐标（a-1,a-1）,然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围.

【详解】

解:反比例函数经过点A和点C.

当反比例函数经过点A时;即42=3,

解得…=±万（负根舍去）；

当反比例函数经过点C时，即（。一1）2=3,

解得：a=l土邪（负根舍去），

则

故答案为：>/3-l<a<,/3.

【点睛】

k

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=-(k为常数，呼0)的图象上的点(x,y)

X

的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.

16、207r

【解析】

12011x30

解：——Ton——=20ncm.故答案为20ncm.

1oU

三、解答题(共8题，共72分)

43

17、(1)y=—，y=-x+2.(2)4；(3)-4<X<O.

x4

【解析】

(1)连接CB,CD,依据四边形BODC是正方形，即可得到B(1,2),点C(2,2),利用待定系数法即可得到反

比例函数和一次函数的解析式；

1

(2)依据OB=2,点A的横坐标为4即可得到△AOB的面积为：2x4x2=4；

k

(3)依据数形结合思想，可得当xVl时，Kx+b-j>1的解集为：

1x

【详解】

解：(1)如图，连接C8,CD,

•••OC与X轴，y轴相切于点D,8,且半径为2,

ZCBO=ZCDO=90°=ZBOD,BC=CD,

,四边形BODC是正方形，

：.BO=OD=DC=CB=2,

点。(2,2),

把点。(2,2)代入反比例函数)，=幺中，

X

解得：勺=4,

4

...反比例函数解析式为：y=—,

X

•••点A（T，M）在反比例函数y=f上，

把A（-4,m）代入y=W中，可得m=二=-1,

x-4

A（-4,-1）,

把点8（0,2）和A（-4,—l）分别代入一次函数y=勺X+〃中，

-4k+/?=-1

得出：t,

b=2

3

解得：\'-4.

b=2

...一次函数的表达式为：y=；x+2；

（2）如图，连接

•1,0B=2,点A的横坐标为-4,

.•.△A08的面积为：2x4xl=4;

（3）由4（-4,-1）,根据图象可知：当尤<0时，4》+沙一攵>0的解集为：-4<x<0.

1x

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点依据待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出C,B点坐标.

18、（1）四边形ACBD是菱形；理由见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意得出AC=BC=8D=A。，即可得出结论；

（2）先证明四边形8EDM是平行四边形，再由菱形的性质得出=90。，证明四边形ACB。是矩形，得出对

角线相等ME=8。，即可得出结论.

【详解】

（1）解：四边形ACBD是菱形；理由如下：

根据题意得：AC=BC=BD=AD,

.•.四边形ACBD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；

（2）证明：VDE/7AB,BE〃CD,

四边形BEDM是平行四边形，

•.•四边形ACBD是菱形，

AABICD,

.\ZBMD=90°,

四边形ACBD是矩形，

；.ME=BD,

•AD=BD,

.\ME=AD.

【点睛】

本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定与性质，并能进

行推理结论是解决问题的关键.

19、解：（1）AF与圆O的相切.理由为：

如图，连接OC,

：PC为圆O切线，ACP1OC.

/.ZOCP=90°.

•.OF〃BC,

.".ZAOF=ZB,ZCOF=ZOCB.

VOC=OB,AZOCB=ZB.AZAOF=ZCOF.

•.在△AOF和ACOF中，OA=OC,ZAOF=ZCOF,OF=OF,

/•△AOF^ACOF(SAS).AZOAF=ZOCF=90°.

；.AF为圆O的切线，即AF与。O的位置关系是相切.

(2),.△AOF^ACOF,AZAOF=ZCOF.

；OA=OC,E为AC中点，即AE=CE=1AC,OE±AC.

VOA1AF,...在RSAOF中,OA=4,AF=3,根据勾股定理得:OF=1.

1124

,-,S=-»OA«AF=-«OF*AE,，AE=——.

AAAOF225

..AC=2AE=—.

5

【解析】

试题分析：（1）连接OC,先证出N3=N2,由SAS证明△OAF之△OCF,得对应角相等NOAF=NOCF,再根据切线

的性质得出/OCF=90。，证出/OAF=90。，即可得出结论；

（2）先由勾股定理求出OF,再由三角形的面积求出AE,根据垂径定理得出AC=2AE.

试题解析：（1）连接OC,如图所示：

VAB是。O直径，

ZBCA=90°,

VOF/7BC,

/.ZAEO=90°,Z1=Z2,ZB=Z3,

AOF1AC,

VOC=OA,

/.ZB=Z1,

Z3=Z2,

在4OAF和△OCF中，

OA=OC

{N3=N2,

OF=OF

..△OAF^AOCF(SAS),

ZOAF=ZOCF,

：PC是。o的切线，

...ZOCF=90°,

ZOAF=90°,

AFA1OA,

；.AF是。O的切线；

(2)：。0的半径为4,AF=3,ZOAF=90°,

，OF=IOF2+OA2=J32+42=1

VFA1OA,OF±AC,

11

；.AC=2AE,△OAFK®^R=-AF«OA=-OF«AE,

.'.3x4=lxAE,

12

解得：AE=5,

24

AAC=2AE=—.

考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质.

20、(1)文学书的单价为10元，则科普书的单价为15元；(2)27本

【解析】

(1)根据等量关系：文学书数量-科普书数量=4本可以列出方程，解方程即可.

(2)根据题意列出不等式解答即可.

【详解】

(1)设文学书的单价为x元，则科普书的单价为L5x元，根据题意得：

200240

-----"i—~c-=4,

x1.5x

解得：x=10,

经检验：x=10是原方程的解，

.,.1.5x=15,

答：文学书的单价为10元，则科普书的单价为15元.

(2)设最多买科普书机本，可得：15m+10(56/n)<696,

解得:m<27.2,

,最多买科普书27本.

【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，正确理解题意列出方程或是不等式是解题的关键.

21、(1)BG=AE.(2)①成立BG=AE.证明见解析.②AF=27T3.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出AADE会4BDG就可以得出结论；

(2)①如图2,连接AD,由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出AADE丝4BDG就可以得出结论;

②由①可知BG=AE,当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论.

【详解】

(1)BG=AE.

理由：如图1「.♦△ABC是等腰直角三角形,/BAC=90。，点D是BC的中点,

AAD1BC,BD=CD,

.\ZADB=ZADC=90o.

•.•四边形DEFG是正方形，

/.DE=DG

在^BDGADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

ZXADE段△BDG(SAS),

；.BG=AE.

故答案为BG=AE；

(2)①成立BG=AE.

理由：如图2,连接AD,

BDC

圉2

•.•在RSBAC中，D为斜边BC中点，

.".AD=BD,AD1BC,

二ZADG+ZGDB=90°.

•••四边形EFGD为正方形，

；.DE=DG且/GDE=90。，

.,.ZADG+ZADE=90°,

.*.ZBDG=ZADE.

在^BDG和4ADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

二ABDG^AADE(SAS),

，BG=AE；

②：BG=AE,

当BG取得最大值时，AE取得最大值.

如图3,当旋转角为270。时，BG=AE.

VBC=DE=4,

/.BG=2+4=6.

AAE=6.

在RtAAEF中，由勾股定理，得

AF=j4E2+"2=736+16,

.•.AF=2/.

本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及勾股定理及正方形的性质和等腰直角三角形，解题的关键是熟练的掌

握全等三角形的判定与性质及勾股定理以及正方形的性质和等腰直角三角形.

22、-5

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案.

【详解】

(1)2(x-2)(x+2)1x-1X-2

原式=[^---rr+/c、]+—=(----+----

x(x-l)x(x+2)xxx)*x=x-1+x-2=2x-3

由于x=0且x/l且x丰-2,

所以x=T,

原式=-2-3=-5

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

a

23、(1)150,PA2+PC”PB2(1)证明见解析(3)4PA2siiv爹+PC2=P&

【解析】

(1)根据旋转变换的性质得到△B4P'为等边三角形，得到NPPC=90。，根据勾股定理解答即可；

(1)如图I,作将△A8P绕点A逆时针旋转110。得到△ACP,连接PP,作于。，根据余弦的定义得到尸产

=^PA,根据勾股定理解答即可；

(3)与(1)类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可.

试题解析：

【详解】

解：(1):△ABP丝△ACP',

：.AP=AP',

由旋转变换的性质可知，ZPAP'=60°,P'C=PB,

.•.△P4尸为等边三角形，

.•.NAP产=60。，

1

VZPAC+ZPCA=-x60°=30°,

2

ZAPC=150°,

ZPTC=90°,

：.PP'i+PCi=P'Ci,

：.PAi+PCi=PBi,

故答案为150,PAi+Pd=PBi；

(1)如图，作ZPAP=120。，使"，=”，连接PP',CP'.过点A作尸'于。点.

ZR4C=Zft4P'=120。，

即ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAP',

：.ZBAP=ZCAP'.

：AB=AC,AP=AP',

：.^BAP^CAP'.

180-/P"'=3。

：.P'C=PB,ZAPD=ZAP'D=Q

2

,"ADI.PP',

：,ZADP=90°.

：.在Rt△APO中，PD=AP-cos/APO=木AP.

2

/.PP0PD=#AP.

-：ZR4C+NPC4=60。，

ZAPC=180-APAC-ZPCA=U0

ZP'PC=ZAPC-ZAPD=90。.

.•.在Rt/'PC中，P'P2+PC2=P'C2.

：.3PA2+PC2=PB2；

(3)如图1,与(1)的方法类似，

作将△A8P绕点A逆时针旋转a得到△ACP',连接PP',

作ADJLPP，于D,

由旋转变换的性质可知，ZPAP'=a,FC=PB,

a

/.ZAPP'=90°-—,

2

a

：APAC+APCA=—,

a

：.ZAPC=\80°--,

2

aa

:・/P'PC=(180°--)-(90°--)=90。，

22

：.PPfi+PCi=PfCi,

a

・・♦ZAPPr=90°~—,

2

aa

.\PD=PA9COS(90°---)=B4*sin—,

22

a

f

：.PP=iPA^in—9

a

.\4B4isini—+PCi=PBi,

2

a

故答案为4R4isim豆+PCi=PB\.

【点睛】

本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋