（衡水万卷）高考数学二轮复习 四 立体几何周测 理-人教版高三数学试题

衡水万卷周测（四）理科数学立体几何考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）LISTNUMOutlineDefault\l3（2015浙江高考真题）如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（）A.B.C.D.LISTNUMOutlineDefault\l3如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点.，且,则下列结论中错误的是().A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为一定值LISTNUMOutlineDefault\l3长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为 （）A.6 B.12 C.24 D.48LISTNUMOutlineDefault\l3已知球的直径，A,B是该球面上的两点，,，则棱锥的体积为()A. B.C. D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知三棱锥S-ABC的底面ABC为正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，二面角H-AB-C为30°，且SA=2，则此三棱锥的体积为（）(A)(B)(C)(D)LISTNUMOutlineDefault\l3向高为水瓶中注水，注满为止.如果注水体积与水深的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的()LISTNUMOutlineDefault\l3如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（）A．B．C．D．LISTNUMOutlineDefault\l3在右图四面体中，则二面角的大小为（）A. B. C. D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知菱形的边长是1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点间的距离是（）A. B. C. D. LISTNUMOutlineDefault\l3若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A. B.3C. D.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且．在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长.则当点运动时，最小值是（）（A）（B）（C）（D）LISTNUMOutlineDefault\l3如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内.小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （）A. B.C. D.、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）LISTNUMOutlineDefault\l3表面积为的球面上有四点S、A、B、C，且是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为.LISTNUMOutlineDefault\l3已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且,则棱锥的体积为LISTNUMOutlineDefault\l3已知菱形的边长为2，.将三角形沿对角线折到，使得二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值是_______________；四面体的体积为______________.LISTNUMOutlineDefault\l3正四面体ABCD的外接球的体积为，则正四面体ABCD的体积是_____.、解答题（本大题共6小题，第1题10分，后5题12分，共70分）LISTNUMOutlineDefault\l3四棱锥中，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；LISTNUMOutlineDefault\l3如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，,为的中点，平面，，为的中点(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的正切值.LISTNUMOutlineDefault\l3（2015新课标1高考真题）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值LISTNUMOutlineDefault\l3在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．LISTNUMOutlineDefault\l3如图在三棱锥中，平面，.分别为.的中点.求证：平面；(2)在线段上是否存在一点,使得平面平面，若存在，试确定的位置；若不存在。请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点。（1）求证：//平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）能否在上找一点，使得？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由。

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水万卷周测（四）答案解析、选择题LISTNUMOutlineDefault\l3B.【解析】试题分析：根据折叠过程可知与的大小关系是不确定的，而根据二面角的定义易得，当且仅当时，等号成立，故选B考点：立体几何中的动态问题LISTNUMOutlineDefault\l3D【解析】选项A，动直线BE在底面内的射影即为，显然.垂直；选项B，直线和直线重合，显然直线平行于下底面；选项C，显然,若保证EF的长度为定值,则为定值.所以答案为D.LISTNUMOutlineDefault\l3DLISTNUMOutlineDefault\l3C【解析】由题可知一定在直径垂直的小圆面上，作过的小圆交直径于D，如图所示，设，则，此时所求的棱锥即分割成两个棱锥和,在和中，由已知条件可得，又因为SC为直径，所以所以,所以在中，所以x=4-x,解得，所以,所以为正三角形，所以.LISTNUMOutlineDefault\l3BLISTNUMOutlineDefault\l3B【解析】本题考查对几何体的体积公式的理解.如果水瓶形状的圆柱，，当底面半径r不变时，V是h的正比例函数，其图像应该是过原点的直线，与已知图像不符.由图知函数图像的切线斜率大于0，且随着高度h的增加，切线斜率逐渐变小，可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随着h的变大，体积V在单位高度的增加是变小，图像上升趋势变缓，所以瓶子平行于底的截面的半径由底到顶逐渐变小.LISTNUMOutlineDefault\l3ALISTNUMOutlineDefault\l3BLISTNUMOutlineDefault\l3CLISTNUMOutlineDefault\l3CLISTNUMOutlineDefault\l3B解析：点到平面距离就是点到直线的距离，所以点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在面中作于，连接，在中，，而，要想最小，只要最小即可，由题意易求得，所以最小值为22，故选B.【思路点拨】注意到点到点的距离等于点到直线的距离，即点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在中，，而，要想最小，只要最小即可.LISTNUMOutlineDefault\l3D、填空题LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】27解析：由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，，所以球半径为，由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，

当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．

由于则，则△ABC是边长为6的正三角形，

则的面积为：.在直角梯形SDO′O中，作于点E，,,,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】设矩形对角线，交与点则，因此因此LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】：LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】解析：设正四面体的棱长为x，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3（Ⅰ）证明：∵，底面，，又∠ACB=90°所以，而，所以；（Ⅱ），，为正三角形以A为原点，CD边的中线所在直线为轴，直线AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由（1）取面PAC的法向量，由于，知面，故可设面PCD的法向量，则，，即，所以，二面角的平面角的余弦值为.LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）连接，在平行四边形中，因为O为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为，且，所以，即.又平面，所以.而，所以平面.（3）取DO的中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点所以.且.由平面，得平面，所以是直线与平面所成的角.在中，，所以.从而.在中，，即直线与平面所成角的正切值为.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）解：（1）证明：连接BD，设,连接在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由,可得,由平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又,所以,且.在中，可得,故.在中，可得.在直角梯形BDFE中，由BD=2，,可得.∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.……12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力LISTNUMOutlineDefault\l3解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面=，面，所以平面面，所以平面平面………6分（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分LISTNUMOutlineDefault\l3解:（1）因为平面,所以.即与为直角三角形.又因为,所以.由,可知为直角三角形.所以,又因为所以平面（2）在线段上存在一点，使得平面平面，此时为线段的中点，连接因为.分别为.的中点，所以,又平面所以DE∥平面AOC因为.分别为.的中点，所以.又平面，所以平面，又平面,平面所以平面平面.LISTNUMOutlineDefault\l3（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB ∴OF//DB，OF=DB∴四边形BDOF是平行四边∴OD//FB 又平面，OD平面ABC∴OD//平面ABC。（II）∵DB⊥面ABC，又，面ABDE，面ABC，∵BD//AE，∴EA⊥