第十五章压杆稳定

压杆稳定北京交通大学主要内容和重点:压杆稳定与临界压力的概念欧拉公式及其适用范围压杆的稳定计算工程背景压杆工程背景工程背景工程实例稳定性分析的重要意义

1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受伤。

横杆之间的距离太大2.2m>规定值1.7m;

地面未夯实，局部杆受力大；

与墙体连接点太少；

安全因数太低：1.11~1.75<规定值3.0。§15-1稳定性概念Δ屈曲－

压杆从直线平衡构形到弯曲平衡构形的转变过程由于屈曲，压杆产生的侧向位移，称为屈曲位移。FPFPFP压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉

FPΔOFPFP>FPcrFPcrF´PFP<FPcrΔFP分叉点(临界点)FPFPFP平衡路径临界压力（临界力）：保持压杆直线形式平衡时，压力的最大值压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉

FP

FP<FPcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。FPFP

判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）

FPFP>FPcr:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。FPFP1.两端铰支细长压杆的临界压力§15-2临界载荷的欧拉公式x=0v=0B=0

x=lAsinkl=0

A=0舍sinkl=0

kl=nπ(n=0、1、2、3…)n=1欧拉公式两端铰支细长压杆的临界压力线弹性范围内稳定分析采用变形后尺寸杆件总是首先沿着杆件抗弯刚度最小的方向首先失稳失稳时，弯曲挠曲线为半个正弦波注意：欧拉公式的适用范围：两端铰支细长压杆的临界压力2.两端非铰支细长压杆的临界载荷

－欧拉公式的普遍表达式μ：长度系数

μl：相当长度两端铰支：μ＝1一端固定一端自由：μ＝2两端固定：μ＝0.5一端固定一端铰支：μ＝0.7欧拉公式的普遍表达式

问题的提出能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？材料和直径均相同欧拉公式的适用范围经验公式§15-3中、小柔度杆的临界应力（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。—柔度（长细比）—截面的惯性半径（2）柔度：影响压杆承载能力的综合指标—欧拉公式欧拉公式的适用范围

p—比例极限——欧拉公式只适用于细长杆欧拉公式的适用范围:经验公式直线公式：经验公式的适用范围：中柔度杆首先发生强度破坏小柔度杆临界应力总图欧拉公式的适用范围中长杆：

cr＝

a-b

粗短杆：

cr＝s

细长杆—发生弹性屈曲(

p)

中长杆—发生弹塑性屈曲(

s<p)

粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服(<s)细长杆：三类压杆的临界应力公式

§15-4压杆稳定条件与合理设计压杆稳定条件－稳定条件校核设计截面尺寸确定许用载荷稳定校核步骤(1)根据压杆的实际尺寸及支承情况,分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度

max(3)比较

max和λP、λs，确定属于哪一类压杆,计算临界应力或临界力(4)进行安全校核(2)根据材料参数，计算λP、λs1）减小压杆的长度(在压杆中间增加支撑)；2）增强杆端约束；3）增大截面形心主轴惯性矩,并且使各个方向参数（约束方式、截面结构尺寸）；4）对于中长杆和短粗杆时,选用流动限高的高强钢和合金钢;对于细长杆,因各类钢材的E基本相同,选用高强钢和合金钢对提高压杆的承载能力意义不大,故应选用低碳钢.压杆的合理设计例1图示四种压杆材料为A3钢，E=200GPa，面积均为3.2×103mm2，试计算它们的临界荷载。已知

s=235MPa，

cr=304－1.12，

p=100，

s=61.4b2bad0.7dd(1)、b=40mm＞P大柔度杆(2)、a=56.5mm(

s<p)中柔度杆3mP(

s<p)中柔度杆

cr2=304-1.12

2=304-1.12×92=200.9MPa(3)、d=63.8mm(

s<p)中柔度杆(4)、D=89.3mm,d=62.5mm(<s)短粗杆b2bad0.7dd3mP惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。b2bad0.7dd3mP思考：两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。试分析:哪一根压杆的临界载荷比较大？对于材料相同的压杆，长细比越大，临界载荷越小。习题15-5；15-8；15-91）要抄题，画原图；2）用铅笔、直尺作图习题要求例题2：矩形截面杆如图，A、B处销钉连接。L=2.3mb=40mmh=60mmE=205GPaλ1=132求Pcr。解：若在正视图内失稳μ＝1若在俯视图内失稳μ＝0.5在正视图失稳例题3:图示立柱长L=6m,由两根10号槽钢组成,问：a多大时立柱的临界荷载Pcr最高，并求其值。已知:材料E=200GPa，

P=200MPa。单个10号槽钢的几何性质:Iz0=198.3×104mm4,Iy0=25.6×104mm4,A=12.74×102mm2,z0=15.2mm,iz=39.5mm整个截面的惯性矩:

使立柱的临界荷载最高，压杆绕Z轴和Y绕轴应有相等的稳定性。即：zyy0az0P要确定临界荷载先求：iz=39.5mm＞P大柔度杆例题4:图示立柱长L=6m,由两根10号槽钢组成,问：a多大时立柱的临界荷载Pcr最高，并求其值。已知:材料E=200GPa，

P=200MPa。zyy0az0P例题5：图示工字钢直杆在温度t1=20℃时安装，此时杆不受力，已知杆长l=6m，材料为Q235钢，λP=132,E=200GPa。试问当温度升高到多少度时，杆将失稳。（材料的线膨胀系数α=12.5×10-6/℃）FBFA解：细长杆临界压力小结：每一个压杆均有与之相应的临界应力大柔度杆临界应力取决于压杆的材料、柔度中柔度杆首先发生强度破坏小柔度杆例题5：已知杆AB的λ1＝100,λ2＝62，lAB=80cm,nst=2，,试校核AB杆。工作压力解：PAB=159kN临界压力Pcr=σcrA=270kN不安全解：PAB=0.5PPAC=0.866P欧拉公式P≤139.2kN

P≤240.6kN例题6：杆AB、AC：d=80cm,λ1＝96，λ2＝60，,nst=5，E=210GPa，求[P]。解：1.稳定校核：2.强度校核：A0=2×28.9×10-4－2×0.023×0.012=5.28×10-3m2稳定计算用毛面积强度计算用净面积安全例题7：已知压杆为球铰,由两根等边角钢铆成λ1＝100,λ2＝62,,l=2.4m，A=2×28.9cm2，铆钉孔直径为23mm，P＝800kNnst=1.48，[σ]=160MPa，试校核压杆。如果两根槽钢只在两端连接上述稳定计算和强度计算会不会发生变化?例题8:图示圆形截面杆AB，直径D=80mm，支撑情况如图，BC杆为正方形截面杆,边长a=70mm，两杆变形互不影响,λ1＝100，L=3m，[n]st=2.5。求：[P]E=200GPa＞P大柔度杆P1.5LLABC图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链，各杆直径均为d＝40mm，a＝1m。材料的λp=101，λs=60，E＝200GPa，经验公式为，[n]st＝1.8。[σ]＝160MPa，试求结构的许可载荷。

FDB=FP（拉）

对于AB等压杆，需进行稳定计算：

稳定计算要点提示:(1)根据压杆的实际尺寸及支承情况,分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度

max。(2)根据

max,选择相应的临界应力公式,计算临界应力或临界力。(3)利用稳定条件进行稳定计算。例题9:图示结构用低碳钢A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁为N016工字钢,BC杆为圆形截面d=60mm变形协调方程:PABC1m1m1mABCPNN(1)BC杆的稳定:例题9:图示结构用低碳钢A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁为N016工字钢,BC杆为圆形截面d=60mm

cr=338-1.12

=338-1.12×66.6=258MPaABCPNN(1)BC杆的稳定:(

s<p)中柔度杆0.312P0.376P+-ABCPNN(2)梁AB的强度:例题9:图示结构用低碳钢A5制成,求:[P]。已知:E=205GPa,

s=275MPa,

cr=338-1.12

,

p=90,

s=50,n=2,nst=3;AB梁为N016工字钢,BC杆为圆形截面d=60mmM本章总结压杆稳定相关概念：稳定、直线平衡、弯曲平衡、屈曲、分叉FP<Fpcr:直线平衡构形FP>Fpcr:弯曲平衡构形

(在扰动作用下)直线平衡构形弯曲平衡构形不同约束对临界载荷的影响不同约束对临界载荷的影响细长杆：中长杆：

cr＝

a-b

粗短杆：

cr＝s弹性屈曲