新高考数学押题模拟卷（二）

冲刺2023年新高考数学押题卷(二)

(原卷+答案)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合/={x|V=2x},集合8={xGZ[-2<%<2},贝IJ4U6=()

A.[0.2}B.{-1,0,1,2}

C.(x|0W水2}D.{x|-2<xW2}

2.已知复数z满足|z|z=3+4],则|z|=()

A.1B.3C.而D.5

3.“一5<K0”是“函数y=x?—的值恒为正值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知sin巴=遮，则cos(。一")=()

24

5.已知单位向量a和b满足a-=\/3|a+6],则a与6的夹角为()

6.已知直线x+y—Sa=0与圆G(x+l)2+(y-l)z=2a2—2a+l相交于点B,若

△46。是正三角形，则实数a=()

A.12B.2C.—D.~

22

7.

河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出

的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，如图，其口诀：一六

共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十

同途，为土居中.“河图”将一到十分成五行属性分别为金、木、水、火、土的五组，在五

行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相

生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.现从这十个数中随机抽取3个数,

则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为()

8.已知函数y=f(x)的定义域为R,f(x)>0且f(x)+xf(x)>0,则有()

A./'(x)可能是奇函数，也可能是偶函数B.A-1)>AD

cos2x

C.时，/(sinx)<e2Acosx)D./,(0)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法中正确的是()

1O

A.已知随机变量才服从二项分布「8(4,-),则〃(心=°

39

B.已知随机变量/服从正态分布M3,d)且P(朕5)=,则尸(1<辰3)=

C.已知随机变量才的方差为〃(%,则，(2X—3)=4。(心一3

D.以模型y=ce**(c>0)去拟合一组数据时，设z=lny,将其变换后得到回归直线方程

z=2x—1,则c=-

e

10.已知正数外。满足4+^=1,则（）

A.a+b的最大值是啦B.数的最大值是,

2

C.a-6的最小值是一1D.△—的最小值为一也

b-23

11.已知椭圆二+二=1的左、右焦点分别为£,£,过点£的直线/交椭圆于46两

43

点，则下列说法正确的是（）

A.△/%的周长为6B.椭圆的长轴长为2

C.|4川+|6£|的最大值为5D.班面积最大值为3

12.在四棱锥人/比》中，底面48切是正方形，勿，平面被办点6是棱ZT的中点，

PD=AB,则（）

A.ACLPB

B.直线/£与平面为8所成角的正弦值是坨

6

C.异面直线4）与阳所成的角是三

4

D.四棱锥。-465的体积与其外接球的体积的比值是独

9n

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线C的一条渐近线方程为［：y=2x,且其实轴长小于4,则。的一个标准

方程可以为

14.在（、5—；x）"的展开式中，第3项和第6项的二项式系数相等，则展开式中f的系

数为.

15.在菱形4m9中，NBAD=60°,将△46〃沿6〃折叠，使平面力即_L平面磨9,则4。

与平面48C所成角的正弦值为

16.已知三棱锥。-ABC,。是平面48C内任意一点，数列｛斗｝共9项，&=1,4十%

=2凭且满足苏=（a.-a,i）2近-3a“宓+3（a,-+D^（2W〃W9,〃GN*）,满足上述条件的数

列共有个.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知等差数列｛4｝的公差为正实数，满足句=4,且句，生，a$+4成等比数

列.

（1）求数列｛&｝的通项公式；

（2）设数列｛4｝的前〃项和为£，若4=1，且，求数列｛a♦4｝的前〃项和为

&以下有三个条件：①£=2"—1,〃eN*；②£=22一1,〃WN'；③£+,=2£—1,从

中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列｛0｝为等比数列，并根据题意解决问题.

18.（12分）已知△4况的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且asinC=3csin

B±C

2

（1）求角力的大小；

JI

⑵若点。在边比'上，且如=3劭=3,NBAg一,求△/a1的面积.

6

19.

（12分）如图，在直四棱柱4a®-〃中，底面4质为菱形，且/国片60°,E为

的中点，尸为比;与5c的交点.

（1）求证：平面协工平面。加£；

(2)若DD、=AD,求二面角〃-DE-6的余弦值.

20.(12分)食品安全问题越来越受到人们的重视.某超市在进某种蔬菜前，要求食品

安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，该种蔬菜才能在

该超市销售.已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为L第二轮检测不合格的概率为打

34

第三轮检测不合格的概率为L每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响.

5

(1)求每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率：

(2)若这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利200元，若不能在该超市销售，则每箱

亏损100元，现有3箱这种蔬菜，求这3箱蔬菜总收益X的分布列和数学期望.

21.(12分)已知。(1,2)在抛物线C：/=2px上.

(1)求抛物线。的方程；

(2)/1,8是抛物线C上的两个动点，如果直线处的斜率与直线外的斜率之和为2,证

明：直线46过定点.

22.(12分)已知函数/1(*)=x-,sinx--Inx+1.

22

(1)当初=2时，试判断函数/'(x)在(允，+8)上的单调性；

(2)存在为，x2e(0,+8),xx^x2,F(x)=£(&)，求证：X\X，ni.

参考答案

1.解析：易知[={x|x=0或x=2},—0,1},AVJB={-1,0,1,2}.故选

B.

答案：B

2.解析：将等式|z|z=3+4i两边同时取模，有||z|z|=|3+4i1=132+42=5,

即I|Z|Z|=|Z|2=5,所以|Z|=3.故选B.

答案：B

3.解析：函数y=V—Ax—A的值恒为正值，

则A〈0=炉+4内0=—4<内0,

V(-4,0)(—5,0),

.•.“一5CK0”是“函数y=f—〃x一%的值恒为正值”的必要不充分条件.故选B.

答案：B

,G5

4.解析：cos(<7—JT)=—cosct=2sin!---1=一三故选D.

28

答案：D

5.解析:由题设，Ia—，=31a+b1则a—2a•b+N=3(a+2a•b+方?)，

.,・才+4&・6+b2=0,又a和8为单位向量，

Acos(a,6〉又〈a,b)e[0,n],

2

/.{a,6〉故选B.

3

答案：B

6.解析：设圆C的半径为八由2才-2d+1=21—J+l>0可得，1=。2•一2&+1.

2

因为△/回是正三角形，所以点。(-1,1)到直线力8的距离为苗，

2

即1+1/射=加后罚,

V22

两边平方得”=细才-2"+1),a=-.故选D.

242

答案：D

7.解析：由题意得数字4,9属性为金，3,8属性为木，1,6属性为水，

2,7属性为火，5,10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数(C；C；+C；C：)=20,

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

m=C'2(C：C；+C；C；)=8,

...这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率—州=8=2.故

〃205

选C.

答案：C

8.解析：若/'(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x),

又因为F(x)>0,与1'(—x)=—f(x)矛盾，

所以函数y=Mx)不可能是奇函数，故A错误；

令g(x)=e2f(X)，

X2X2X2

则g‘(x)=肥2F(x)+e2/(x)=e2(xF(x)+广'(x))，

*

因为e2>0，f(x)+xF(x)>0,

所以/(x)>0,所以函数以x)为增函数，

11

所以g(—l)〈g(l),即e2f(—1)12〃1),

所以F(—1)<F(1),故B错误；

因为三<点三~,所以0〈cosX—,—<sinXL

4222

所以sin%>cosx,

sin2xcos%

故g(sinx)>g(cosx)fBPe?Asinx)>e2Acosx),

cos々一sinzxcos2x

所以f(sinx)>e2Acosx)=e2Acosx),故C错误；

有g(0)〈g(l),即/wgd),故D正确.故选D.

答案：D

9.解析：对于A,由随机变量I服从二项分布h6(4,-),

3

11O

得〃(乃=4X-X(1--)=-，故A正确；

339

对于B,因为随机变量X服从正态分布M3,/),则对称轴为才=3,

又尸(后5)=,所以尸(底1)=,

所以P(1CTW3)=一2(收1)=,故B错误；

对于3因为随机变量才的方差为〃(乃，则〃(2万-3)=4〃(心，故C错误；

对于D,模型y=ce**(c>0),则Iny=lnc+kx9

又因z=lny,z=2x—1,

所以4=2,Inc=-1,所以。=L故D正确.故选AD.

e

答案：AD

10.解析：由(史也)?^•土匕得a+bW/，当且仅当a=b=也时取等，A正确；

222

由劫W又上^得助当且仅当广仁也时取等，B正确；

222

由正数a,。及才+4=1知0<水1,0</?<1,可得一1〈一伙0,故一1<“一庆1,C错误；

令△-=k,则@="(6—2),两边同时平方得〃(6—2)2=.=1—况整理得(如+1)^

b-2

一4发6+4左-1=0,又存在a,6使」一=4，故/=(一4万)2—4々+1)(4发-1)=-12产

b-2

+4N0,解得一也WkW也,D正确.故选ABD.

33

答案：ABD

11.

解析：如图，由题可知，在椭圆'+】=1中，a—2,b—y/3,c—1,

43

△4%的周长为|/£|+M£|+班|+|8川=4a=8,故A项错误；

椭圆的长轴长为2a=4,故B项错误；

因为|他|+|即|=8一|仍，当且仅当力牡£后时，

|四|最小,

代入X=-1,解得y=土-，故|/8|=3,所以|相|+|班|的最大值为5,故C项正确；

2

根据椭圆的性质可得，当且仅当48，£月时，△/班面积最大，

故S=4/8|•|££|=3,故D项正确.故选CD.

2

答案：CD

12.解析：如图，连接做因为底面力时是正方形，所以加，4a

因为阳_L平面所以如_L4C,又BDCPD=D,

所以4cL平面如〃，则4CL阳，故A正确.

由题意易证4〃，CD,外两两垂直，建立如图所示的空间坐标系〃一xyz.

设45=2,则/(2,0,0),5(2,2,0),〃0,0,0),月0,1,1),川,0,2),

从而^=(—2,0,0),荔=(0,2,0),症=(-2,1,1),PB=(2,2,—2).

n•AB=2y=0

设平面为夕的法向量77=3%z),则0♦沟=2x+2y—2z=0,

令X=l,得77=(1，0,1).设直线力夕与平面必8所成的角为九

则sin°=cos(AE,n)，故B正确.

设异面直线力〃与必所成的角为。,

则a(AD,Pff)

cos=IcosI2X^2I从而ar三，故C错误.

34

o

四棱锥尸-4?劈的体积(=-,

3

由题意可知四棱锥户-/腼外接球的半径/?=T=3，

则其体积V2--nnX(m)3=43”，

33

从而四棱锥P-力版的体积与其外接球的体积的比值是匕=4岂故D正确.

V29Jr

答案：ABD

2

13.解析：可设双曲线的方程为V一匕=%（4W0）,

4

22

即工一工=1（儿会0）,

A4A

当4〉0时，双曲线的实轴为2c,

则2yl<4,所以0〈乂4,

可取才=1,

则C的一个标准方程可以为f-匕=1.

4

2

答案：/一二=1（答案不唯一）

4

14.解析：因为二项式的第3项和第6项的二项式系数相等，

所以C：=C：,所以〃=7,

1117+

则二项式（4一%）7展开式的通项为。+尸C：（3）"J（—3）*=（―/•（：：£7

令74工-k=5,则4=3,

2

所以展开式中义的系数为f；

35

8

田生35

答案：一

8

15.解析：如图，取切中点0,连接10、C0,

因为/以。=60°,所以△口切为等边三角形，

因为。为劭中点，

所以40工即,COLBD.

因为平面484L平面比且平面4劭D平面比7）=劭，4（7C平面

所以力。，平面BCD,

又OG平面比。，

所以40J_0C,AOI.OD.

以。为原点，OC、OD、OA为x,y,z轴正方向建系，如图所示，

设菱形1腼的边长为2,

则力（0,0,他），8（0,-1,0）,。（m，0,0）,〃（0,1,0）,

所以46=（0,-11一m），AC—0,—m）,AD^（0,1,一毡）,

设平面力弘的法向量〃=（x,y,z）,

〃•祛=0|_/_\姮=0

则,，即，「「,

n«AC=0\/3z=0

令x=l,则尸=—毡，z—1,即〃=（1,­#,1）,

设力。与平面46C所成角为e,

n,M）

|n|•\~AD_叵

J5

所以4〃与平面/优1所成角的正弦值为芯.

5

答案：涯

5

16.解析：因为户是平面4成'内任意一点，

所以只A,B,C四点共面，

因为婷(当一a1)?而一3a“励+3(品一+1)龙(2W〃<9,,

所以(a“一3a”+3(a0_]+l)—1,即(a„—a,^,)J—3(a„—a„_))+2=0,

解得a“一ai=l或a,—a„-l—2,

当a„—a^-1=1时,

则数列｛备｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以a„—n,

则向+包=10=22，符合题意；

当a,,一ai=2时，数列｛a｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以a„=2n—l,

则a,+33=18=235，符合题意，

所以满足上述条件的数列共有2个.

答案：2

17.解析：(1)设等差数列｛aj的公差为460,

因为名,恁+4成等比数列，

所以a：=a,(a5+4),即(4+2oT=4(4d+8),

解得d=±2(负值舍去)，所以d=2,

所以a„=2n+2.

(2)选①，由£=2"-1,neN\

当2时，仇=&一S-=2"T,

当〃=1时等式也成立，

所以a=2^,又.•.数列｛”｝为以1为首项2为公比的等比数列.

b1\

则a„•b=(2〃+2)•2"-'=(A+1)•2".

所以7；,=2X2+3X22+4X23H----F/?•2,,-'+(/?+1)-2",

则27；=2X22+3X23+4X24H---\-n•2"+5+1)2小,

两式相减得一0=4+22+23+2'+…+2"—(〃+1)•2/'

4—917+1

=4+———(〃+1)•2"'

1—2

=2〃"一(〃+1)•2'中

=-/?•2n+1.

所以T=n-2^'.

选②，由S,=22-1,

当〃》2时，b=S-S^=2b-2b^,

所以a=2,

b„-x

所以数列｛0｝为以1为首项2为公比的等比数列，

所以a=2'i,

则ajb=(2/7+2)-2"，

以下步骤同选①.

选③，由S,+i=2£—1，nSN*.

当n—\时,

4+a=2向一1,

...4=0,

二数列｛“｝不是等比数列，

.•.不能选条件③.

18.解析：(1)由已知及正弦定理得：sinAsinC=45sinCsin等:又…

-A,

.B+C_nA

>•9又sin今0,

222

Asin/=mcos则2sin-cos-=^/3cos而0<-<—,

222222

AiAV3,,An2n

Acos-WO,则sin,故一=一,得力=---.

222233

,..2nJI.JI

(2)由N为仁一,ZBAD=—,则N%S=—.

362

BDr

法一：在△力劭中，r=--------，①

sm—sinABDA

6

CDb

在中，7=---------,②

sin-sin/ADC

2

9：ZADB+ZADC=n,

AsinZBDA=sin/ADC,③

由①②③得：竺又CD=3BD=3,得BD=1,

CDb

不妨设c=2mb=3m,

b39

在△4加中，由余弦定理可得，42=(2勿)2+(3%)2—2X2/X3Rcos"，得/=屿,

319

所以同侬sinZBAO^-'X2mX3/wX—=24^.

22219

1JI

-c•ADsin/BADcsin——

S&BAR=26c

法二:

S/\L1JI2Z?

-b・ADsinACADbsin一

22

•••△胡〃的边BD与AADC的边〃。上的高相等,

・丛叫劭=I(21c2

=由此得一=-,即-=-,不妨设c=2m,b=3m,

,•S：D晨3’2b3b3

2it欠，/16

在△4%中，由余弦定理可得，42=(2ZZ?)2+(3Z»)2-2X2/»X3/7/COS——，得必,

319

所以sinZBAC--X2mX3mX——

22219

19.解析：(1)证明：如图，连接做

在菱形48徵中，NBAD=60°,所以△/!劭为正三角形，

因为6为A9的中点，所以DEUB.

因为四〃G9,所以〃ELW.

因为叫1.平面ABCD,DEU平面ABCD,所以如】_LDE,

而DD、CDC=D,所以〃，平面CDDG.又因为O£U平面DEF,所以平面田。平面CDD£、.

(2)设。4=/。=2,以〃为原点，以直线加DC,勿分别为x,y,z轴建立如图所示

的空间直角坐标系，则。(0,0,0),£(毡，0,0),尸(J1,1),C(0,2,0),所以应'=(毡,

0,0),DF—(—,1).

22

成x=0,

n•DE=G,哂+2=。,…，得

设刀=(x,y,z)为平面妍的法向量，由，_

n•DF=b,

n=(0,2,—3).

由(1)〃C_L%DC1DD、,DECDD尸D,则〃CL平面〃"即应'=(0,2,0)为平面。龙1

一n,DC4

的一个法向量，所以cos<n,DO=-------=-—=92A电/H，由图可知二面角如-

\n\\DC\@3X213

尸为锐角，所以二面角4-DE-6的余弦值为空

13

20.解析：(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件4

1112

则P(A)=(1--)x(1--)X(1--)=-,

3455

即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为42.

5

(2)一的所有可能取值为600,300,0,-300.

因为尸(>=600)=(2尸=且，尸(才=300)=C：(-)2X-=—,

512555125

〃(乃=0)=C；X-X(-)2=—,p(才=—300)=(9尸=包,

551255125

所以彳的分布列为

X6003000-300

8365427

p

125125125125

O36

所以£(心=600义上叶300X300X——=60.

125125125

21.解析：(1)2点坐标代入抛物线方程得4=2夕，

:・p=2,

，抛物线方程为产=4x.

(2)证明：设48：x=/ny+t9将48的方程与/=4x联立得/—4/〃y—41=0,

设力(用,必)，BQ,y2)»

则必+力=4勿，%必=-4b

所以/>0=16序+16方>0=帮+方>0,

—9必―244

心=—v=7—=小，同理：3士，

X[—12J__IZi+2必+2

4

44

由题意:=2,

%+2