第六章　第六节　复数

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第六节复数【课标解读】【课程标准】1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.【核心素养】数学运算、直观想象.【命题说明】考向考法高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.预测2025年高考仍会考查复数运算,题型、位置不变.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.(2)复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)实数((3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b微点拨(1)虚数不能比较大小;(2)复数集包含实数集与虚数集.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).微点拨(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1(2)复数减法的几何意义:复数z1-z2是OZ1-OZ23.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(常用结论1.i的乘方具有周期性i4n=1,i4ni4n+i4n+1+i4n+22.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;3.复数的模与共轭复数的关系z·z=|z|2=|z|2.4.复数z的方程在复平面内表示的图形(1)a≤|z|≤b(a≠b且a,b>0)表示以原点O为圆心,a和b为半径的两圆所夹的圆环.(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)方程x2+x+1=0没有解.()(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.()(5)复数z=-1+2i的共轭复数对应点在第四象限.()提示:(1)方程x2+x+1=0在复数范围内有解.提示:(2)虚部为b.提示:(3)虚数不可以比较大小.提示:(5)复数z=-1+2i的共轭复数是z=-1-2i,对应点在第三象限.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=13+4i的虚部是(A.-325 B.-325i C.-425 【解析】选C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3故z=13+4i的虚部为-43.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则()A.a≠2且a≠-1 B.a=0C.a=2 D.a=0或a=2【解析】选B.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则a2-2a4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1【解析】选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.【核心考点·分类突破】考点一复数的有关概念1.如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等,那么bA.-2 B.1 C.2 D.4【解析】选A.2+bii=(2+bi)(-i2.(多选题)若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(A.z的虚部为-1 B.|z|=2C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i【解析】选ABC.z=21+i=2(1-i)(对于B,|z|=2,正确;对于C,因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,正确;对于D,z的共轭复数为1+i,错误.3.(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以2a=21-4.(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则()A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2【解析】选A.z=1+2i,z+az+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,由z+az+b=0,得1+a+b5.若复数z=2-3i2+mm∈R【解析】由题可知z=22+3i2-12i+m=m-5-12i为纯虚数,所以m=5,故m5+i=52+答案:解题技法解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则z考点二复数的四则运算[例1](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2-i)=()A.3-i B.3+iC.1-3i D.1+3i【解析】选C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.(2)(2023·全国乙卷)设z=2+i1+i2+iA.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i【解析】选B.由题意可得z=2+i1+i2+i5=则z=1+2i.(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则z-zA.-i B.i C.0 D.1【解析】选A.因为z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|=()A.1 B.2 C.5 D.5【解析】选C.由题意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,则|2+i2+2i3|=|1-2i|=12+(-(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=()A.1 B.5 C.7 D.25【解析】选B.由已知,得z=3-所以|z|=5.解题技法复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=-1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.对点训练1.(2022·全国甲卷)若z=-1+3i,则zzz-A.-1+3i B.-1-3iC.-13+33i D.-13【解析】选C.因为z=-1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2则zzz-1=-1+32.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+z=()A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】选D.由题设有1-z=1i=i故z=1+i,故z+z=(1+i)+(1-i)=2.3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|=()A.25 B.42 C.20 D.32【解析】选A.方法一:由题意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,则|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|a-bi|=()A.2 B.3 C.10 D.4【解析】选C.因为a+i与3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=10.【加练备选】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=()A.-2+4i B.-2-4iC.6+2i D.6-2i【解析】选D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3z|=()A.45 B.42 C.25 D.22【解析】选D.因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-所以iz+3z=4+4考点三复数的几何意义[例2](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.复数z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,复数z的共轭复数为z=-1-2i,z对应的点为(-1,-2),在第三象限.(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=a+i1-i对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.由z=a+i1-i=复数z对应的点(a-12,a+12则a-12+a+1(3)(2023·景德镇模拟)已知i为虚数单位,且|z-2i|=1,则|z|的最大值是.

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),由|z-2i|=1的几何意义知:z对应的点(a,b)的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,即a2+(b-2)2=1,因为|z|的几何意义为点(a,b)到坐标原点(0,0)的距离,所以|z|max=(0-答案:3解题技法复数几何意义的解题策略(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.对点训练1.(2023·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),则z的共轭复数z=()A.1+3i B.1-3iC.-1+3i D.-1-3i【解析】选D.因为在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,3),所以z=-1+3i,则z的共轭复数z=-1-3i.2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为()A.2-1 B.2C.2+1 D.22【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,则x2+y2≤1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆上和圆内的点,|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=(x-1)2+(y考点四复数与方程[例3]已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于()A.2-2i B.2+2iC.-2+2i D.-2-2i【解析】选A.由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的实根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,整理可得:(b+a)i+(b2+4b+4)=0,所以b+a=0所以z=2-2i.解题技法复数与方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.(2)对复系数(至少有