清单06 椭圆及其性质（9个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单06椭圆及其性质（9个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【考点精讲】考点1：椭圆的定义与标准方程例1．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】椭圆的焦距为，则，由，的面积为，得，即，又，所以，即，，又，则，则椭圆的标准方程为．故选：D．例2．（2023·江苏盐城·高二盐城市第一中学校考期中）点在椭圆上，则等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，，所以，所以焦点坐标为：和.因为表示点到两点和的距离之和；根据椭圆的定义，所以.故选：A.例3．（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．(2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．【解析】（1）根据题意，两个焦点的坐标分别为，即c＝2，又由椭圆经过点，则2a，故a，则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，故要求椭圆的方程为1；（2）由题意，因为，两点关于y轴对称，所以椭圆C经过，两点，又由，知，椭圆C不经过点，所以点在椭圆C上，因此，解得，所以椭圆C的方程为．例4．（2023·河南开封·高二校联考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.（2）以点，为焦点，经过点.【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意有，可得，故椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.由题意有，，，有，，故椭圆的标准方程为.例5．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）设为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．圆 D．椭圆【答案】A【解析】若在直线外，由三角形两边长大于第三边有，不合题意，故必在直线上，若在线段外，也有，不合题意，故必在线段上，且总有，故选：A.例6．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆定义可知，，得，又椭圆的两个焦点是和，所以椭圆焦点在x轴上，且，所以，所以，所求椭圆的标准方程为.故选：C考点2：椭圆方程的充要条件例7．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）当时，方程表示的曲线不可能是（

）A．圆 B．直线C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线【答案】D【解析】对于方程，当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；当时，，方程为，即表示两条直线；当时，，则，此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.故选：D.例8．（2023·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期末）已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（

）A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是B．当时，曲线表示一条直线C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆D．存在，使得曲线为等轴双曲线【答案】C【解析】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或，所以的取值范围是，故A错误；对于选项B：当时，则，解得，所以曲线表示两条直线，故B错误；对于选项C：当时，则，即，可得，曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为，可得，则，无解，所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误；故选：C.例9．（2023·陕西咸阳·高二校考期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表示焦点在轴上的椭圆，则，解得.故选：B例10．（2023·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故选：A.例11．（2023·浙江绍兴·高二浙江省上虞中学校考期中）已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若方程表示椭圆，则，解得且，所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C．考点3：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题例12．（2023·江苏南通·高二统考期中）已知点为椭圆上的一个动点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，当时，则的面积为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由题意可得，设，则，所以，解得，所以.故选：A例13．（2023·湖北·高二荆州中学校联考期中）已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（

）A．2 B． C．2 D．4【答案】B【解析】如图所示：不妨设，，（，），，则可知，，两式相除可得，所以，又，所以，可得（，），由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以．故选：B．例14．（2023·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，，即，，又，则，，所以为直角三角形，，所以，故选：B.例15．（2023·浙江宁波·高二校联考期中）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，由题知，，所以，又，得到，代入，解得，所以,故选：B.例16．（2023·山西吕梁·高二统考期中）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的方程，得，，因为，所以，又在椭圆上，所以，解得，即，，所以．故选：A．例17．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（

）A．16 B．20 C．18 D．14【答案】A【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，由椭圆定义知，焦距，所以的周长等于.故选：A例18．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【解析】直线恒过定点为椭圆的左焦点，由椭圆的定义知的周长.故选：C考点4：椭圆上两点距离的最值问题例19．（2023·福建福州·高二福州三中校考期中）已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（

）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，可得椭圆过点，代入方程得.设则，两式作差得，即，因为恰好是的中点，所以，又因为直线AB斜率为-1，所以，将它们代入上式得，则联立方程解得.所以椭圆上一点到的距离的最大值为.故选：D例20．（2023·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（

）A．4 B．8 C．14 D．18【答案】D【解析】因为椭圆的面积为，所以，即，设，则，所以，所以点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，解得，，则，又，即故的值不可能为18.故选：D例21．（2023·安徽·高二校联考期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【解析】依题意，，，则，，设，所以：，又因为：，所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确.故选：C．例22．（2023·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，设，则，可得，又由点，可得，因为，所以，所以.故选：A.例23．（2023·河南开封·高二校联考期中）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.设点的坐标为，其中，由，可得，又由，当时，取得最小值，最小值为.故选：B.考点5：椭圆上两线段的和差最值问题例24．（2023·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知F是椭圆E：的左焦点，点P是E上的一点，点M是圆C；上的一点，则的最小值为．【答案】【解析】记E的右焦点为，依题意，,,由椭圆定义可得，即，所以，当且仅当点C在线段上，点C在线段上时等号成立，所以的最小值为．故答案为：例25．（2023·辽宁大连·高二大连二十四中校考期中）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为.【答案】【解析】令是椭圆的右焦点，显然，长半轴长，，由椭圆定义知，，而，当且仅当共线时等号成立，于是，因此当在之间时，取得最大值，当在之间时，取得最小值，所以的取值范围为.故答案为：例26．（2023·江西九江·高二九江一中校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则的最大值为.【答案】【解析】如图所示，由椭圆方程为，则，，又点，满足，所以点在椭圆内，由椭圆定义可知，即，所以，故答案为：.例27．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：例28．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【答案】/【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，N为圆E：上任意一点，故，当且仅当共线时等号成立，故，当且仅当共线时等号成立，而，故，即的最小值为，故答案为：例29．（2023·上海闵行·高二校考期末）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为．【答案】【解析】由题意得，，，设，则，则.故答案为：例30．（2023·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为.【答案】8【解析】如图,由，得，则，则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得，所以，又，所以，，故答案为：8考点6：离心率的值及取值范围例31．（2023·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点满足，且，则椭圆的离心率为.【答案】【解析】由题意知，，，所以因为为等腰三角形，取中点为，在中，，则，即，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：.例32．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．【答案】【解析】设直线与椭圆交于两点，其中，将两点代入椭圆可得，两式作差可得，即，又中点坐标是，所以，所以，令，则，所以，所以，故答案为：例33．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率.【答案】/【解析】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以，椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，所以，可得，所以，代入可得，则椭圆的离心率.故答案为：.例34．（2023·广东东莞·高二东莞市东华高级中学校考期中）已知椭圆（），是其左焦点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆离心率的最小值为.【答案】【解析】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点，则，由以为直径的圆过原点，得，则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形，于是，有，，因此，当且仅当时取等号，即有，，则离心率有，而，解得，所以椭圆离心率的最小值为.故答案为：例35．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】【解析】设，，则，，即，，即，当且仅当时等号成立，故，即，.故答案为：例36．（2023·全国·模拟预测）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为．【答案】/0.6【解析】由题意得，由正弦定理得，故，由椭圆定义可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因为，所以，解得.故答案为：例37．（2023·湖南·高二校联考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为.【答案】【解析】取的中点Q，连接，如图所示，则，所以，所以，所以为等腰三角形，即，且，所以，又因为点在右准线上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案为：.考点7：椭圆的简单几何性质问题例38．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知椭圆：，在下列结论中正确的是（

）A．长轴长为8 B．焦距为C．焦点坐标为 D．离心率为【答案】ABD【解析】由已知得，则，故椭圆长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率，故ABD正确，故选：ABD.例39．（多选题）（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知椭圆，则（

）A．的焦点坐标为 B．的长轴长为8C．的短轴长为6 D．的一个顶点为【答案】BC【解析】由椭圆，可得，则，对于A中，由椭圆的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，由椭圆的长轴长为，所以B正确；对于C中，由椭圆的短轴长为，所以C正确；对于D中，顶点坐标为和，所以D错误.故选：BC.例40．（多选题）（2023·浙江金华·高二校考期中）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（

）A． B．离心率C．短轴长为2，长轴长为 D．不可能是钝角【答案】ACD【解析】对选项A：，正确；对选项B：，，，故离心率，错误；对选项C：短轴长为，长轴长为，正确；对选项D：，故，当且仅当时等号成立，，正确；故选：ACD例41．（多选题）（2023·陕西汉中·高二校考期中）若椭圆上的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（

）A． B．的长轴长为C．的长轴长为4 D．的离心率为【答案】AB【解析】由焦点为可得椭圆的焦点在轴上，所以，解得，，，椭圆的长轴为，离心率为，故AB正确，CD错误，故选：AB．例42．（多选题）（2023·江西抚州·高二临川一中校考期中）近日，“英雄航天员”邓清明来到我校参加弘扬载人航天精神暨国防教育进校园主题活动，同学们在学习航天知识的同时，也深深被航天员的航天精神所感动.“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（

）A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大【答案】AC【解析】在椭圆中，由图可知，解得，所以，所以，A正确，B错误；，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.故选：AC例43．（多选题）（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，点，是它的焦点，若一小球点弹出沿直线运动，经椭圆壁反弹，当它第一次回到点时，经过的路程可能为（

）A．2 B．8 C．10 D．12【答案】ACD【解析】由题意得：，如图，光路1：，路程为，光路2：，路程为，光路3：，路程为.故选：ACD.例44．（多选题）（2023·高二课时练习）在曲线中，（

）A．当时，则曲线C表示焦点在y轴的椭圆B．当时，则曲线C为椭圆C．曲线C关于直线对称D．当时，则曲线C的焦距为【答案】ABD【解析】将曲线化为，对于A，当时，则，所以曲线C表示焦点在y轴的椭圆，故A正确；对于B，当时，曲线C为椭圆，故B正确；对于C，当时，曲线C为椭圆，椭圆的对称轴为坐标轴，不关于直线对称，故C错误；对于D，当时，则曲线C为椭圆，则曲线C的焦距为，故D正确.故选：ABD.考点8：利用第一定义求解轨迹例45．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为.【答案】【解析】设动圆的圆心，半径为，又由圆得，圆心，半径，由圆得，圆心，半径，由已知得，两式相加消去可得，根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为其中，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故答案为：.例46．（2023·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是.【答案】【解析】因为，，设动点，所以在轴上的射影为，所以，所以，所以，化简为，故答案为例47．（2023·内蒙古赤峰·高二校考期中）设，若，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于,所以在以为焦点的椭圆，且，，故，故椭圆方程为，故答案为：例48．（2023·海南海口·高二海口一中校考期中）在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为．【答案】【解析】设点的坐标为，点的坐标为，依题意，，，由点在圆上，得，因此，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：例49．（2023·广东东莞·高二校联考期中）在中，若，，的周长是18，则顶点C的轨迹方程是【答案】，【解析】设顶点，则，所以顶点C的轨迹是以为焦点的椭圆，除去左右两个顶点，设该椭圆为，其中，所以椭圆为，即顶点C的轨迹方程是，.故答案为：，.例50．（2023·上海静安·高二校考期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为．【答案】【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，所以，整理得，所以点的轨迹方程是.故答案为：例51．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为；【答案】【解析】由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以，∴，∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，，，，∴点的轨迹的方程为．故答案为：例52．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为；【答案】【解析】设动圆的半径为，由已知得：圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知：，两式相加得，，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以轨迹的方程为.故答案为：例53．（2023·四川乐山·高二统考期末）设点，，为动点（不在轴上），已知直线与直线的斜率之积为定值，则点的轨迹方程为.【答案】【解析】由已知可设点，显然.则，，由已知可得，，整理可得，，即.故答案为：.例54．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知圆C：上一动点M，点，线段MB的中垂线交直线MC于点，且点P到y轴的距离是，则.【答案】/【解析】圆C：，圆心为，半径，如图所示：连接，则，，故的轨迹为椭圆的右半部分，椭圆方程为：，（），点P到y轴的距离是，则，且，解得，（舍去负值），故.故答案为：考点9：直线与椭圆的位置关系例55．（2023·天津和平·高二天津市第五十五中学校考期中）已知椭圆：过点，且短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为的直线过椭圆的右焦点交椭圆于、两点，求【解析】（1）由题可知，，所以椭圆方程为.（2）右焦点为，所以倾斜角为的直线的方程为，设，联立，可得，，所以，所以.例56．（2023·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4(1)写出点轨迹的方程；(2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.【解析】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故，，，其方程为.（2）联立得，因为有两个交点，所以，解得，所以的取值范围为.例57．（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【解析】（1）由方程组消去y，得，．由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．（2）由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（3）由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．例58．（2023·陕西西安·统考三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．【解析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．（2）设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．例59．（2023·青海西宁·高二校考期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．(1)求椭圆E的方程：(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．【解析】（1）由离心率，则，右焦点，直线的斜率，解得，，所以，椭圆的方程为；（2）由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，由，解得或，不妨令、，所以.例60．（2023·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，因为双曲线的焦点坐标为，所以则，所以椭圆E的方程为.（2）设，联立可得，因为直线与椭圆E交于A、B两点，所以解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，所以当且仅当即时取得等号，所以面积的最大值为，此时直线的方程为.例61．（2023·浙江嘉兴·高二嘉兴一中校考期中）已知椭圆经过．(1)求椭圆的方程；(2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．【解析】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，即椭圆的方程为；（2）记，，可设的方程为，由，消去得，解得，直线与轴交于点，则.【提升练习】一、单选题1．（2023·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由已知得设，且，则，代入得，因为，所以，即的最小值为.故选：A.2．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，设内切圆分别与轴相切于点，则，，，，又∴，易知，，，设，，当且仅当时等号成立，故选：A3．（2023·安徽黄山·高二校联考期中）已知矩形的四个顶点都在椭圆

上，边和分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由椭圆方程，当时，，所以，因为，所以，即，所以，解得或（舍去），故选：A4．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（

）A． B． C． D．与弦斜率有关【答案】B【解析】令，设，，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由，解得，则，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，整理得：，所以，，又，，所以，综上，.故选：B.5．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点.下列说法正确的个数（

）①直线与垂直②若点的坐标为，则直线方程为③若直线方程为，则点的坐标为④若直线方程为，则A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】不妨设坐标为，则，两式作差可得：，设，则.对①：，故直线不垂直，则①错误；对②：：若点M坐标为,则，则，又过点，则直线的方程为，即，故②正确.对③：若直线方程为，故可得，即，又，解得，即，故③错误；对④：若直线方程为，联立椭圆方程，可得：，解得，故，则，故④正确；故选：C.6．（2023·云南大理·统考一模）直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设在第一象限的交点为A，右焦点为，根据题意：轴，A在椭圆上，由解得，则，A在直线上，则，所以，，，所以，解得.故选：A7．（2023·天津和平·高二耀华中学校考期中）椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，∴，∴，∴，故选：D.8．（2023·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的方程为，直线的方程为，，联立整理得：，由椭圆的离心率，得，带入上式并整理得：，则，由与的面积之比为，则，则，所以的面积为，当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为故选：.二、多选题9．（2023·福建福州·高二校联考期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若方程所表示的直线恒过定点，点在以点为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．的面积可能为2C．的最大值为4 D．的最小值为【答案】AC【解析】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；对于选项B，当点P位于椭圆的上，下顶点时，的面积取得最大值，故选项B错误；对于选项C，由椭圆的定义可得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为4，故选项C正确；对于选项D，因为直线，即，令，可得，所以，则圆，所以，故选项D错误.故选：AC．10．（2023·福建泉州·高二泉州七中校考期中）已知椭圆，，分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点P是椭圆上异于的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．存在P使得B．直线与直线斜率乘积为定值C．D．若，，则【答案】ACD【解析】椭圆，设分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，分别为它的上下顶点，如图:所以，，，.对于A：当点在上下顶点时，最大，因为，所以为钝角，因此存在使得，故A正确；对于B：设，在上，于是有，所以，则直线与直线斜率乘积为定值，故B错误；对于C：由点P是椭圆上异于的一个动点得，所以点P到做焦点的最小距离大于，最大距离小于，可得，故C正确；对于D：设离心率为，则，由正弦定理可得，即，又，而，即，因为，，所以，即，化简得，即，所以，故D正确.故选：ACD.11．（2023·浙江台州·高二校联考期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（

）A．为定值B．的周长的取值范围是C．当时，为锐角三角形D．当时，的面积为【答案】AD【解析】设椭圆左焦点为，如图所示：由椭圆对称性可知，两点关于轴对称，可知，所以由椭圆定义可得为定值，即A正确；的周长为，易知当时，，因此的周长的取值范围是，即B错误；当时，可得，又，可得，所以，即是直角，即可知为直角三角形，所以C错误；当时，易知，顶点到边的距离为，所以的面积为，即D正确.故选：AD12．（2023·山东临沂·高二统考期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，则下列结论正确的是（

）A．动点的轨迹方程为B．直线为成双直线C．若直线与点的轨迹相交于两点，点为点的轨迹上不同于的一点，且直线的斜率分别为，则D．点为点的轨迹上的任意一点，，，则面积为【答案】BC【解析】对A，设，则，即，化简得，故A错;对B，联立，消去得，，故直线上存在这样的点，所以为成双直线，故B正确;对C，设，则，所以，故C正确.对D，易得分别为椭圆的左右焦点，，设，根据余弦定理得，解得，则，（或根据结论得面积为，）故D错误.故选：BC.三、填空题13．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为9，则椭圆C长轴长的最小值为.【答案】【解析】当M为短轴端点时面积最大，此时，，当且仅当时，等号成立，所以，所以故答案为：14．（2023·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校联考期中）定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是．【答案】或0【解析】根据蒙日圆定义，椭圆相应的蒙日圆圆O方程为，则由题意可知当为直角时P点在圆上；圆心到直线l：的距离，即直线l与圆O相交，设交点为A、B，联立，可得或，不妨取点、，因为P是直线l：上的一点，为直角，即点P为直线l与圆的交点；即点P与点A或B重合，此时，或，所以直线OP的斜率