清单03 圆的方程 （6个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）

清单03圆的方程（6个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、圆的标准方程，其中为圆心，为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有（1）若点在圆上（2）若点在圆外（3）若点在圆内3、圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．诠释：由方程得（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；②列出关于的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【考点精讲】考点1：圆的标准方程例1．（2023·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）圆关于直线对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．例2．（2023·山东烟台·高二校联考期中）求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（

）A． B．C． D．例3．（2023·陕西·高二校联考期中）过四点，，，中的三点的圆的方程可能为（

）A． B．C． D．例4．（2023·江苏徐州·高二统考期中）圆心为，且与直线相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．例5．（2023·安徽亳州·高二校考阶段练习）以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．例6．（2023·陕西榆林·高二校联考期中）以为圆心，且经过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．例7．（2023·浙江嘉兴·高二嘉兴高级中学校考期中）已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（

）A． B．C． D．例8．（2023·山西大同·高二统考期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（

）A． B．C． D．考点2：圆的一般方程例9．（2023·安徽铜陵·高二校联考期中）经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．例10．（2023·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中）直线平分圆C：，则（

）A． B．1 C．-1 D．-3例11．（2023·浙江·高二校联考期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．例12．（2023·河南驻马店·高二统考期末）以，为直径两端点的圆的方程为（

）A． B．C． D．例13．（2023·天津和平·高二统考期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（

）A． B．C． D．例14．（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．例15．（2023·江苏苏州·高二统考期中）已知四点共圆，则实数的值为（

）A． B． C． D．例16．（2023·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．考点3：点与圆的位置关系例17．（2023·北京顺义·高二校考期中）已知圆的方程为，则点在（

）A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定例18．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）设，则直线l：与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交例19．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定例20．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）若直线与相离，则点与圆的位置关系为（

）A．点在圆内 B．点在圆上C．点在圆外 D．无法确定例21．（2023·上海宝山·高二校考期中）已知点在圆C：外，则直线与圆C的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定例22．（2023·重庆·高二重庆市第七中学校校考期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例23．（2023·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）若点在圆的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系例24．（2023·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）若表示圆的方程，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例25．（2023·河北·高二校联考期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．例26．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）“”是“方程表示圆的方程”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例27．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）方程表示圆，则的范围是（

）A． B． C． D．例28．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校联考期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例29．（2023·天津北辰·高二统考期中）若方程表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例30．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考期中）已知方程表示圆的方程，则的取值范围为（

）A． B．C． D．考点5：定点问题例31．（2023·河南信阳·高二统考期中）圆恒过的定点是.例32．（2023·江西南昌·高二南昌县莲塘第二中学校考阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为．例33．（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．例34．（2023·上海·高二曹杨二中校考开学考试）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为.例35．（2023·辽宁大连·高二竞赛）设有一组圆：．下列四个命题其中真命题的序号是①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．考点6：轨迹问题例36．（2023·辽宁·高二本溪高中校联考期中）已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为.例37．（2023·湖北武汉·高二校考期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是.例38．（2023·山西太原·高二统考期中）已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为．例39．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为.例40．（2023·陕西西安·高二长安一中校考期中）已知圆过点和，且与直线相切．(1)求圆的方程；(2)设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．例41．（2023·湖南·高二校联考期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.(1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程；(2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.例42．（2023·福建福州·高二校联考期中）已知：，过点的动直线与交于，两点.(1)是否存在弦被点平分?若存在，写出直线的方程，若不存在，请说明理由；(2)弦的中点的轨迹为，求的方程.例43．（2023·天津河西·高二统考期中）已知两点为定点，动点到两点的距离比是常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.例44．（2023·四川成都·高二树德中学校考期中）如图所示，有一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为8米，在边上距离点4米的处放置一个行走仪，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，行走仪行走速度为，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么行走仪将被机器人捕获，称点叫捕获点.(1)求在这个矩形场地内捕获点的轨迹方程；(2)若为矩形场地边上的一点，若行走仪在线段上都能逃脱，问：点的位置应在何处？【提升练习】一、单选题1．（2023·天津南开·高二南开中学校考阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·高二浮梁县第一中学校联考期中）已知点与点关于直线对称，与点关于轴对称，若过，，三点的圆与轴和直线交于四点，则该四点所围成的四边形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏南通·高二统考期中）圆C：关于直线对称圆的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023·广东深圳·高二深圳市宝安中学（集团）校考期中）由曲线围成的图形的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽合肥·高二校联考期中）关于圆有四个命题：①点在圆内；②点在圆上；③圆心为；④圆的半径为3.若只有一个假命题，则该命题是（

）A．① B．② C．③ D．④6．（2023·浙江绍兴·高二绍兴一中校考期中）已知，，三点，直线l1：与直线l2：相交于点P，则的最大值（

）A．72 B．80 C．88 D．1007．（2023·福建福州·高二校联考期中）圆关于直线对称的图形轨迹方程为（

）A． B．C． D．二、多选题8．（2023·四川凉山·高二统考期中）已知直线：，：，，以下结论正确的是（

）A．无论m取何值，与都互相垂直B．和分别过定点和C．不论m为何值，和都关于直线对称D．若和交于点M，则的最大值是9．（2023·江苏镇江·高二统考期中）已知直线，，则下列结论正确的是（

）A．直线恒过定点B．原点到直线的距离最大值为1C．当时，直线的倾斜角为D．直线与的交点的轨迹为圆的一部分10．（2023·福建福州·高二校联考期中）圆与轴相切，且经过两点，则圆可能是（

）A． B．C． D．11．（2023·浙江杭州·高二校联考期中）若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆．已知点，，动点P满足，点P的轨迹为圆C，则（

）A．圆C的方程为B．设动点，则的最大值为20C．若P点不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分D．的最大值为72三、填空题12．（2023·新疆伊犁·高二校联考期中）圆：关于直线：对称的圆的标准方程为．13．（2023·福建福州·高二校联考期中）已知动点M与两个定点，的距离的比为2，且动点M不在x轴的下方，则动点M的轨迹与x轴所围成的图形的面积为.14．（2023·江苏南通·高二统考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为.15．（2023·福建福州·高二校联考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为.四、解答题16．（2023·湖南·高二校联考期中）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点．(