湖南省2023年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案

湖南省2023年普通高等学校对口招生考试

数学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三局部,共4页，时量120分钟,总分值120分

一、选择题(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四

个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)

1.集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}4I⅛A∩B=()

A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}

C.{3,4}D.{1,2,5,6}

2.=9"是"％=3"的()

A.充分必要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数y=∕-2X的单调增区间是()

A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-8,2]D.[0,+∞)

3

4.cosa=--j且α为第三象限角，那么tana=()

4334

A.-B.7C.D.--

5.不等式∣2%-1∣>1的解集是()

A.{%IX<0}B.(%IΛ>1)

C.{xIO<x<1}D.{%l%<。或X>1}

6.点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点,那么线段OM长度的最小

值是（）

1212

A.3B.4C.-D.-

7.向量五，B满足同=7,W=I2,五∙B=-42,那么向量,，B的夹角为

（）

A.30pB.60oC.120oD.150°

8.以下命题中,褶澳加速场皇（）

A.平行于同一个平面的两个平面平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么必与另一个相交

9,α=sinl50,O=SinlOQP,C=Sin20（Γ,那么C的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

10.过点（1,1）的直线与圆1+F=4相交于A,B两点,。为坐标原点,那么

△OAB面积的最大值为（）

A.2B.4C.ʌ/ɜD.2Λ∕3

二、填空题（本大题共5小题,每题4分,共20分）

11.某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该

学校学生中抽取一个容量为45的样本,那么应抽取男生的人数

为.

12.函/(%)=∞sx+b(b为常数)的局部图像如下图,那么b=—.

13.(%+1'的展开式中Λ5的系数为(用数字作答)

14.向量万=(1,2),5=(3,4),I=(II,16),且？=切+应，那么％+y=

15.如图，画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个

正方形,依次类推,这样一共画了10个正方形.那么第10个正方形的面积

为.

(第15题)

三、解答题(本大题共7小题,其中第21,22小题为选做题.总分值

60分,解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题总分值10分)

数列｛%｝为等差数列，«1=1,%=5,

(I)求数列｛%｝的通项公式;

(II)设数列｛册｝的前〃项和为最.假设Sa=Io0,求〃.

17.(本小题总分值10分)

某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测.用J表示取出

饮料中不合格的瓶数.求

(I)随机变量J的分布列；

(II)检测出有不合格饮料的概率.

18.(本小题总分值10分)

函数/(%)=IOga(%-3)(a>O,且α≠l)的图像过点(5,1)

(I)求/(%)的解析式，并写出/(%)的定义域；

(II)假设f(rri)<1,求力的取值范围

19.(本小题总分值10分)

如图,在三棱柱ABC-ASG中，AAIJ_底面ABC,AA1=AB=BC,

NABC=90°,。为AC的中点.

(D证明：BDJ_平面AA[C∣C;

(II)求直线BA与平面ΛAlClC所成的角.

20.(本小题总分值10分)

22

椭圆C：/+正=I(α>b>O)的焦点为尸I(-1,0)、尸2(1,0),点A

(0,1)在椭圆C上.

(I)求椭圆C的方程;

（II）（∏）直线/过点月且与A6垂直，/与椭圆C相交于M,N两点,

求MN的长.

选做题:请考生在第21,22题中选择一题作答.如果两题都做,那么按所做的第

21题计分,作答时,请写清题号.

21.（本小题总分值10分）

如图,在四边形ABCD中，

BC=CD=6,AB=4jZBCD=120°,

ZABC=75°,求四边形ABCD的面积.

22.（本小题总分值10分）

某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.生产1吨每种产品所需

原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲产品可获利润4万元，

生产1吨乙产品可获利润5万元.问：该公司如何规划生产,才能使公司每天获

得的利润最大？

甲乙原料限额

A（吨）128

B（吨）3212

参考答案

一、选择题：

1.C2.B3.B4.A5.D6.D7.C8.B

9.D10.A

二、填空题：

11.2512.213.614.515.J-

32

三、解答题

16.解：(I)数列｛册｝为等差数列，«1=1,%=5=公差d="1=2

故%=l+2(n-l)=2n-∖

∙.∙等差数列｛%｝的前"项和为％,Szj=IOO

_n

Scn='("ι+0”)

H

.-(l+2n-l)=100

•・2

.M=IO

・♦

17.解：(I)J的可能取值有0,1,2

c；C1

P(I)=-eγ=-

故随机变量J的分布列是:

012

P281

57??5

(II)设事件A表示检测出的全是合格饮料，那么A表示有不合格饮料

：

检测出的全是全格饮料的P概fΛ率λ--一C6=M2

-23

P(A)=I--=-

故检测出有不合格饮料的概率I，55

18.解：(I)...函数/(x)=lOga(X-3)(α>0,且"1)的图像过点(5,1)

.∙.lθgα2=1

.a=2

/(x)=log2(x-3)有意义，那么尤-3>0

・.•x>3

函数/(X)=log2(x-3)的定义域是(3,+8)

m1

(II).•./(x)=log2(ɪ-ɜ)，f()<

.log2(m-3)<l=log22

*.∙m-3<2

.m<5

又/(x)=log2(x-3)的定义域是(3,+8),即加>3

•.•3<m<5

“’的取值范围是(3,5)

19.(I)证明：∙.∙在三棱柱ABCIG中，AA，底面ABC

.AA1ɪBD

又A3=BC,NABC=90°,。为AC的中点.

・•・BDLAC

而AA∣∏AC=A

...3。，平面44£。

(II)由(I)可知：6。_L平面AAGC

连结4。，那么NBA。是直线氏％与平面AAClC所成的角

1万

在RrΔA]BD中，BD=—AC——^―AB；AJB=y[2AB

WCBD1

.sinZBA1D=-----=—

・・A1β2

.ZBAiD=30°

即直线βΛ与平面A4ιGC所成的角是30°.

22

%y1

20.解：(I).•椭圆C:u+R=I(a>B>O)的焦点为尸1(-1,0)、F2

,ab

(1,0)

・.・c=l

又点A(0,1)在椭圆C上

.Z?2=1

.cΓ=b2+c~=1+1=2

√2_,

...椭圆C的方程是万+y=1

(II)直线A片的斜率心石=1

而直线/过点Fl且与AK垂直

.∙.直线/的斜率是ZC=T

直线’的方程是>=rT

y=T-I

由忙+y2=ι消去.得:3X2+4X=0

、2.

设Λ∕(X],y),N(X2,乃)，那么

4

X∖+Λ2=~~%1∙%2=°

ɔ,

xx=χ+x2

∣ι~2∖yj(ι2)-4X∣X2=—

2

∣W∣=7ZΓ+1∣X1-X2∣=√2×∣=∣√2

即MN的长是g后

21.解：如图，连结8。

在ΔBCD中，BC=CD=6,

ZfiCD=120°,由余弦定理得：

BD1=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD

=62×3

BD=6√3

四边形ASCO的面积S四边形ABCD=SABa)+SAABD

-BCCD-sin/BCD+-BA-BD-sinZ