易错点4 导数及其应用-2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

易错点04导数及其应用

易错题（oil不会利用等价转化思想及导数的几何意义研究曲线的切线

求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.虽

只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点,''过"只说明切线过这个点，这个点不一

定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线，求过某点的

切线条数一般也是先设切点，把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.

易错题［02］对极值概念理解不准确致

对于可导函数XO是极值点的充要条件是在次点两侧导数异号，即八x）在方程F（x）=0的

根xo的左右的符号：“左正右负''钝/U）在xo处取极大值；“左负右正”<%x）在xo处取极小值,

而不仅是/3））=0/（xo）=0是冽为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的

条件,一定要既考虑了（次）=0,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根.

易错题（03］研究含有参数的函数单调性分类标准有误

若函数的单调性可转化为解不等式。（%-王）（％-々）>0（或<0）（%>0）

求解此类问题，首先根据a的符号进行讨论，当a的符号确定后，再根据王是否在定义域内

讨论，当西都在定义域内时在根据和々的大小进行讨论.

易错题【04］不会利用隐零点研究函数的性质

函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；

另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点

利用导数求函数的最值或单调区间，常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题，若导数零

点存在，但无法求出，我们可以设其为再利用导函数的单调性确定与所在区间，最后根据

/优）=°，研究〃/），我们把这类问题称为隐零点问题-注意若/*）中含有参数”,关系

式（X。）=0是关于x0,a的关系式，确定与的合适范围,往往和a的范围有关.

易错题01

（2022新高考1卷T7）若过点5/）可以作曲线y=e*的两条切线，则（）

A.eh<aB.e"<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【警示】不会把切线条数有2条，转化为关于a的方程有2个实根.

【答案】D

【问诊】设过点(a,b)的切线与曲线y=e，切于P«,e)对函数y=e*求导得y'=e"，所以

曲线y=e*在点P处的切线方程为、一占=占(》一。,即丁="%+(1—。",由题意可知,点

(。,6)在直线y=e'x+(l-r)e'上,所以匕=ae'+(l-f)e'=(a+l-f)e'，过点(a,。)可以

作曲线y=e，的两条切线，则方程b=(a+l-/)e'有两个不同实根，令/(r)=(a+l-/)e'.

则/'(/)=(a—r)e，当t<a时,/'“)>0,此时函数单调递增，且/«)>(),当，>a时,

/'”)<0,此时函数/")单调递减，

所以，/a)m“、=/(a)=e"，如图所示，当直线、=匕与曲线丁=/(。的图象有两个交点时，当

0<b<ea时，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点.故选D.

彳；^!\

-J"-*

»雨

【叮嘱】过某点的切线条数一般也是先设切点，把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个

数问题.

变式练习〉〉

1.(2021届陕西西安中学高三期中)若函数/(x)=gV-6+lnx存在平行于x轴的切线，则实

数。取值范围是()

A.[o]B.(O,+8)C.[2,+00)D.g+s)

【答案】C

【解析】因为函数〃x)=gx2-ar+lnx存在平行于X轴的切线,所以尸(x)=x-a+,=O在

(0,+8)上有解，即a=x+，在(0,+8)上有解，因为2口1=2,所以a22.

XX\X

2.(2021届江苏苏州市高三月考)若过点(。8)可以作曲线y=lnx的两条切线，则()

A.\nb<aB.\na<bC.0<a<\nbD.0<h<\na

【答案】B

【解析】设切点为&In)其中r>0,因为y=山x,则了=(故切线斜率为k=；

所以，曲线y=lnx在点(f,lnf)处的切线方程为y-ln/=；(xT),即y=%+lnf-l,

将点(。力)的坐标代入切线方程可得Hl=q+ln/,

设/(f)=/+lnf,则直线y=〃+l与曲线y=/+lnf有两个交点.

①若"V0,则即函数/■⑺在(0,+8)上单调递增,不合乎题意；

②若4>0厕/⑺=；—5=冒，

当0o<a时,/'(f)<0,此时函数/⑺单调递减，

当f>a时,尸⑺>0,此时函数单调递增，所以,/(以.=l+lna.

由题意可知力+l>l+lna,即b>lna.故选B.

易错题02

已知凡^二丁+加+区+/在》=1处有极值为10,则a+b=.

【警示】忽视了条件的等价性，'了(1)=0"是号=1为./U)的极值点”的必要不充分条件.

【答案】-7

【问诊】/(x)=3』+2ax+。,由x=l时,函数取得极值10,得

/(I)=l+a+b+a2=10]a=4,(a=-3,

I、，解得或

r(l)=3+2a+b=0匕=-11,匕=3.

当a=4力=-11时/(》)=3/+8*-11=(3*+11)(》-1)在工=1两侧的符号相反,符合题意.当

a=-3,h=3时/(x)=3(x—在x=1两侧的符号相同，所以a=-3力=3不符合题意，舍去.综

上可知a—4,b——i\,.'.a+b——l.

【叮嘱】处理可导函数”》)在彳=而有极值问题，除了保证/(加)=0,还要检验在与左右两

侧函数值的符号.

支式练习»

(2022全国1卷T12)设"0,若x=a为函数/(x)=a(x-。宣工-勿的极大值点，则()

A.a<bB.a>hC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【解析】令/(x)=0,解得x=a或x=b,即X=Q及％=匕是/(x)的两个零点，

当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(%)的极大值点,则函数/(%)的大致图象如

下图所示，

贝I」0<a<》；

当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是f(x)的极大值点,则函数f(x)的大致图象如

下图所示，

贝ij人va<0：综上,故选。.

2.(2021届山西长治市高三月考)已知函数八%)=/-3〃苏+放+加2在犬=-1处取得极值0,

贝)

A.2B.7C.2或7D.3或9

【答案】B

【解析】/(X)=『-3inx2+lU+nr.f\x)=3x2-6mx+n，根据题意：/(-I)=3+6，〃+〃=0,

.f/n=-1[m=—2[m=-\

/(一1)二一1一3机-〃+犷=0,解得｛々或｛c，当〈o时，

[n=3[??=9[n=3

./、2f/n=-2

/'(x)=3x2+6x+3=3(x+l)2z0,函数单调递增，无极值点，舍去.当J“=9时，

广(工)=3f+12》+9=3(犬+1)(》+4),在XW(YO,-4)和xe(-l,+8)时,/''(x)>0,函数单调递增;

在xw(T,-1)时,r(x)<0,函数单调递减，故函数在x=-l出有极小值，满足条件.

综上所述："2+〃=9一2=7.故选B.

易错题03

(2021新高考2卷T22(l))已知函数/(x)=(x-l)ex-ax2+b.

⑴讨论了(x)的单调性；

【警示】讨论是分类标准不合理导致解题失误.

【问诊】⑴由函数的解析式可得：尸-2a),

当aV0时，若Xw(F,0),则尸(x)<0J(x)单调递减，

若XW(0,+<»)，则/。)>0"(X)单调递增；

当0<a<g时，若x«F/n(2a))，则/。)>0,/(x)单调递增，

若xe(ln(2a),0),则尸(x)<0J(x)单调递减，

若x«0,4w),则尸(x)>0J(x)单调递增；

当a=；吐尸(力20J(x)在R上单调递增；

当a>；时，若xe(f,0),则/(力>0,单调递增，

若xe(0,In(2a))，则1(x)<0,/(x)单调递减，

若xe(ln(2a),+oo),则/'(x)>0,/(x)单调递增.

【叮嘱】此类问题通常根据导函数零点个数及零点大小进行分类讨论

支式练习

1.(2021届河南高三月考)已知函数f(x)=lnx-g*+x-l(aeA)

⑴已知点P。力)为曲线y=〃x)上一点，若该曲线在点p处的切线方程为x-y+，〃=0(6,

wieR),求的值;

(2)讨论函数/(x)的单调性；

⑶若/(x)在区间(0,3)上有唯一的极值点%,求a的取值范围.

【解析】(D/'(x)=，_ar+[=_a.xl由题意知r(])=_「+2=],所以〃=],

XX

所以/(力=1皿-3》2+%_1,所以/(1)=_3+1_1=氏所以6=-3，

将点卜，-；]代入方程x-y+m=0,得机=-1所以a=l*=-g，'”=—|.

⑵由题意知函数的定义域为(o,+e)，r(x)=-丝二士工，

X

当aVOJ'(x)>0在(0,+8)上恒成立，所以“X)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，因为方程ax?-x-1=0的判别式/=1+4。>0.该方程的两根分别为上匹亘.

2a

1+J4a+1

-2a-，

令?,=_―7-1>0,得0<-1+744+1,令/(力=_62一元7<0得x>]+J4a+l,

x2ax2a

所以，(力在°，匕粤起上单调递增，在匕誓亘，”)上单调递减.

(3)由⑴知r(x)=^^^,令g(x)=-or2+x+l.因为“X)在区间(0,3)上有唯一的极值

点为,

所以广(X)在(0,3)上存在唯一零点，即g(x)在(0,3)上存在唯一零点，且在该零点两侧g(x)

的符号不一致.

当OV0时,由⑵知,f(x)在(0,3)上单调递增,/(力无极值点,

当。>0,因为g(O)=l>O.g(x)的称轴为直线》总>0,尸(力在(0,3)上存在唯一零点,必有

g⑶=-9a+4<0,解得所以a的取值范围为

2.(2021届天津市第二H•中学高三期中)已知函数/(幻=以2+(2〃-l)x-lnx.

⑴当“时,求函数,f(x)的单调区间和极值；

(2)讨论函数f(x)单调性.

【解析】⑴当。=(时,f(x)=[2-lnx(x>0),所以尸(x)=J=(x+l)(xT).

故当xw(O,l)时,/'(x)<0J(x)为减函数;

当X€(1,M)时,_f(x)>oj(x)为增函数.

所以当户1吐“X)极小产"1)=3,无极大值.

(2)由/(X)=62+(2。-1口一Inx,(x>0)可得：/-(X)=2，"+(2。-1卜-1=-+1)(2…1)

XX

①当a<0时，f'(x)<0J(x)在(0,+8)为减函数;

②当a>0时,X€(O,\J时r(x)<0,故/(x)为减函数；X时，/'(£)>0,故/(同

为增函数.

易错题04

(2021届福建省龙岩高三月考)已知函数"x)=ln(x+l)+cosx+〃zr.

⑴若x=0为f(x)的极值点，求实数加；

⑵若W1在(-1,0］上恒成立,求实数，”的范围.

【警示】不会引入隐零点研究函数单调性

【问诊】因为/'(x)=Aj-sinx+机，

令(0)=0,则-sin0+/«=0,

所以m=-1.

即:(x)=\j-sinx-l(x>-l),

当-l<x<0时，设g(x)=尸(x)=-^■-sinx-l,

所以g'(x)=-Y^-cosx<0,

故/'(x)在(TO)上单调递减，

所以r(x)>r(o)=o,

当0cxv九时,---<1,-sinx<0,

x+1

所以/'(x)<0.

终上所述,机=-1时,x=0为“X)的极值点成立,

所以=-1.

⑵由⑴知f'(x)="^j-sinx+,",

当-l<x<0时，/(力在(TO)上单调递减，

•­-f\x)>f'(O)=]+m,

①“2-1时，.f'(x)>/,(0)=l+m>0,

〃x)在上单调递增，

所以〃x)4〃0)=l,

②m<-1时，因为/'(X)在(-1,0]上单调递减，

，存在%e(T,O)使/'(%)=0,

即八(知0)J()<0J(x)递减,

当xe(知0)时J(x)>/(0)=1，与/(x)W1矛盾.

综上：，心-1时,/(力<1在(-1,0］上恒成立.

所以实数用的范围是［T，*»).

【叮嘱】求解不等式恒成立或证明不等式一般要利用函数单调性，研究函数单调性要确定导

函数的零点，若导函数有零点，但无法具体确定，可引入隐零点.

变式练习

1.(2021届内蒙古海拉尔高三期中)已知函数〃x)=alnx+x.

⑴若x=l是〃x)的极值点，求“X)的单调区间：

⑵若4=1,求证：f(x)-xex+a<0.

【解析】⑴由已知,/(x)的定义域为(0,+?)且/(力=£+1；

又x=1是〃x)的极值点，则/'⑴=a+1=0,解得a=-1,

此时r(x)=—+l=F：当0<x<l时，用x)<0；当x>l吐片x)>0；

易知：x=l是的极小值点，且f(x)的单调递增区间为。,+?),单调递减区间为(0』)；

⑵

若〃=1有/(%)=Inx+X,设〃(x)=Inx+x-xe*+1,xw(0,4-oo)；

//(x)=，+l_(x+l)e'=(x+l)Q_ej；

令f(x)=g-e*,xe(0,用),则f'(x)=-5-e"<0对任意xe(0,+oo)恒成立，

.•.f(x)=/_e"在(0,+?)上单调递减；又(g)=2_—>0j(l)=l_e<0,

王。e,1］使得f(%-=0,即l=*,则In工=In/，即7nx0=与：

12/玉)与〜)

因此，当0<x<x°时t(x)>0,即"(x)>0,〃(x)单调递增;

当X>/时,，(X)V。,即〃⑴<0,h(x)单调递减；

故〃(x)K〃(/)=In毛+%-毛泊+1=0-1+1=0,即得证.

____八：皿”、1tismx1

2.已知a>0,函数f(x)=lnx------+一.

xx

(1)证明：f(x)在(0,4)上有唯一的极值点;

⑵当a=2时，求f(x)在(0,+8)上的零点个数.

x-cix-cosx+asinx—1

【解析】(1)证明:o

厂

记g(x)=x-arcosx+a«7u-1,xe(。，万)，

则g'(x)=arsinx+1.

由a>0得g'(x)>0在(0,Q)上恒成立，从而g(x)在(0,乃)上为增函数,

并且g(0)=-l<0,g(7)=i+a^-l>0.

根据零点存在性定理可知,存在唯一的为e(0,万)使得g(N)=0,

并且当JG(0,与)吐g(x)<0,当XG(如乃)时,g(x)>0.

由于r3=孥，因此当xe(o,%)时,r(x)<0,

当XW(如行)时,f'(x)>0,当x=x0时，当(x)=0,

所以不是f(x)在(0,乃)上唯一的极值点.

(2)当a=2时,/'(x)=--------p---------，并且根据(1)知

存在芭e(0,寿使得“X)在(0,存上为减函数，在(外,万)上为增函数.

由于广⑴=2sin1-2cos1>0,从而占w(0,1).

由于f(l)=l—2sinl<0,f(%)=ln;r+L>0.

71

根据零点存在性定理可知,/*)在(1，1)卜一存在唯一的零点，在(斗1)上无零点;

当大〉乃f(x)=lnx-^S^n-V+—>lnx~—>ln^~—>0,

xxX7C

因此函数/(幻在(冗，+8)上无零点；

当无£(0,X)时，记y=sinx—x,则/=cosx-l<0,

所以y=sinx-x在(0,内)上为减函数，所以sinx—x<0.

即x>sinx>0对xe(0,xj恒成立.

9sinx11

因此当xw(O,%)时有f(x)=lnx——:---+—>lnx+——2,

XXX

因此/(e-2)>e2—4>0,结合〃％)<0知函数〃幻在(I,占)上存在唯一的零点,

在(0,e2)上无零点.

综上所述，函数/(x)在(0，+8)上共有2个零点.

易错题通关

1.若点P(l,“)不在函数/⑺二％3-奴的图象上，且过点尸仅能作一条直线与的图象相

切，则。的取值范围为()

A.S，0)I"B.(-8,0)

C.(-8,0]。D.(-oo,0]u-卜8)

【答案】A

【解析】已知点尸。,。)不在〃》)=1一⑪的图象匕则"1)=1—axa,所以awg.

而F'(x)=3x2—a,设过点P(l,a)的直线与的图象切于点。(而_“).

则切线的斜率左=/'«)=怎°,

则3产-“=厂二仁£，整理得2/—3r+2a=0.

t-\

设g⑺=2/一3」+为.

由于过点尸仅能作一条宜线与/(x)的图象相切，

则问题可转化为g⑺=2/-3/+2a仅有1个零点，

g'(r)=6--61,令g'(r)=0,解得：/=o或f=1,

令g'(r)>0,即a2—6，>0,解得：f<0或f>1.

令g'(/)<0.即6/_6/<0,解得：0</<1,

所以函数g(f)在区间(9,0),(1,”)上单调递增,在区间(0,1)上单调递减，

可知g(r)在区间(-8,0)或区间(1，+®)上必有一个零点，

所以可知g(0)与g(l)同号,

则g(0)-g(l)>0,即(2a)•(—1+幼)>0,解得：。<0或

所以“的取值范围为(-8,0)_(g,+8]故选A.

2.(2021届安徽六安市高三月考)函数f(x)=lnx+依存在与直线2x-y=0平行的切线，则实

数。的取值范围是()

A.(-oo,2]B.[2,+oo)C.(—，2)D.(2,H-oo)

【答案】C

【解析】由题意，函数f(x)=1nx+奴的定义域(0,+oo),且/(x)='+a,

X

因为函数7'(x)=lnx+ar存在与直线2x-y=0平行的切线，

即1+“=2有解，即。=2-，在(0,+8)有解，

XX

因为x>0,可得■!■>(),则-L<0,可得2<2,

XXX

所以。<2,即实数。的取值范围是(9,2).故选C.

3.(2021届辽宁沈阳市高三月考)若直线y=x+帆与曲线丫=/口相切，则()

A.m+〃为定值B.+〃为定值

C.机+；”为定值D.为定值

【答案】B

【解析】设直线)'=X+”与曲线y=e-"切于点■，eV"),

因为>'=e—',所以e*"=1,%=2〃，所以切点为(2〃,1),代入直线方程得：1=2〃+肛即

+〃」.故选B.

22

4.(2021届云南高三月考)已知。为函数/(x)=21nx+gd—3x的极小值点，则。=()

A.1B.2C.3D.In2

【答案】B

%23X+21%2

【解析】/（X）=-+X-3=~=^~^~\

XXX

所以当xe（0,l）U（2,4w）时r（x）＞0,当xe（l,2）时/'（力＜0

则/（x）在（0,1）和（2,讨）上单调递增，在（1,2）上单调递减，故a=2.故选B

5.（2021届河南南阳高三期中）已知函数/（xXV+aM+bx+Z在x=l处取得极小值0,若

%e[m,n],Bx2e[/«,«]，使得/（%）=/（々）,且x产占，则”-俄的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】函数/（X）=丁+奴2+取+2在X=1处取得极小值0

/⑴=°即l+a+6+2=0…

所以/(1)=0'」3xl+2axl+b=0'解得:a=0,b=-3

.•"（力寸—由小=金^4得：x=±l

当X£（7）,—1）和（1,+8）时,r（x）＞0,即/（X）单调递增

当xe（—1,1）时,/'（x）＜0,即/（X）单调递减

所以/（x）的极大值为/（-I）=4,极小值为/（I）=0

由/（力=炉-3犬+2=4得：x=-l或x=2

由•/'（xTd-Sx+ZnO得：x=l或x=-2

若Vx,e[m,n],3x2e[m,〃],使得“与）=/（电），且为#x2,

则（〃一加）…=2—（—2）=4，故选C.

6.（2021山西太原高三期中）若x=2是函数/（x）=g加-x-2lnx的极值点，则函数（）

A.有最小值-21n2,无最大值B.有最大值-21n2,无最小值

C.有最小值-21n2,最大值21n2D.无最大值，无最小值

【答案】A

2

【解析】由题设，八幻二"---1且/（2）=0,

x

2。—2=0,可得。=1.

二.5(x)="2-1=1)(上2)且上>o.

XX

当0vx<2时f'(x)<OJ(x)递减;当x>2时f'(x)>OJ(x)递增;

，/(X)有极小值/(2)=-2In2,无极大值.

综上，有最小值-21n2,无最大值.故选A

7.(2021北京四中高三期中)设函数/(x)=(x-l)e'+ar2,其中

⑴若尤=1是函数〃x)的极值点，求”的值;

⑵当。<0时,求函数〃x)的单调区间；

(3)当a=0时,设函数g(x)=inx+x-e*+l,证明:/(x)-g(x)>0.

【解析】(1)/'(》)=》(，+勿)，

因为x=l是函数/(x)的极值点，所以/[l)=e+为=0,解得

当。=-；时，检验符合题意，

所以”的值为-叁；

⑵/'(x)=W*+2a),(a<0),

令/'(x)=0,得x=0或ga),

当-g<a<0时，令/'(x)>0,得x<In(―2a)或x>0,令/'(x)<0,得ln(-2a)<x<()；

当a=-g时,r(x”0恒成立；

当a<-g时，令/'(x)>0,得x>ln(-2")或x<0,令/'(x)<0,得0<x<ln(-2a)；

综上，当<a<0时,/(x)在(，」n(-2a))和(0,”)单调递增，在(ln(-2a),0)上单调递减;

当。=彳时,/")在(―收)上单调递增；

当a<-；时,/(x)在(,，0)和(in(-2a)，y)单调递增，在(0,ln(-2a))上单调递减；

(3)

证明：当4=0时,/(工)一8。;)=疝”_111%-%_],

]^：h(x)=xex-lnx-x-l(x>0).

因为/?'(x)=(x+l)e*-——,h'\x)=(x+2)exH-->0,

xx~

所以函数h\x)在(0,+s)上单调递增，

又”(0.1)<0,〃(1)>0.

所以存在x°e(0,1),使〃(%)=0,即e"=’,xo=-lnxo，

玉)

当0<x<X。时”(x)<0；当x>/时,”(x)>0,

所以版x)在(0,为)上单调递减，在(%,M)上单调递增，

所以函数以x)的最小值为Mx。)，

所以=-In%-1=1+%-1=0,

从而得证〃x)-g(x)..O.

8.(2021河南南阳高三期中)已知函数f(x)=(x-2)e*-x2_2依+i,a《R

⑴当a=T时，求/⑶