静电场中的导体

关于静电场中的导体1静电感应过程E0导体达到静电平衡第2页,共61页，2024年2月25日，星期天静电平衡：导体内部及表面均无电荷定向运动，导体上电荷及空间电场分布达到稳定。条件：或导体是等势体导体表面是等势面。2.导体的静电平衡导体上感应电荷将对原来的外加电场施加影响，改变其分布。第3页,共61页，2024年2月25日，星期天当导体内部和表面都无电荷定向移动的状态称为静电平衡状态。

1.整个导体是等势体，导体的表面是等势面。在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为外电场与自由电荷移动后的附加场之和为总场强2.由于电场线与等势面垂直，因此导体表面附近的电场强度处处与表面垂直。第4页,共61页，2024年2月25日，星期天3.导体内部不存在净电荷，所有过剩电荷都分布在导体表面上。因为导体内部的电场强度为零，上式积分为零，所以导体内部必定不存在净电荷。在导体内部任取一闭合曲面S，运用高斯定理，应有二、导体表面的电荷和电场导体表面电荷的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关。大致的规律为：在导体表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。第5页,共61页，2024年2月25日，星期天

在带电导体表面任取一面元

S，可认为其电荷面密度

为均匀分布。包围

S作一圆柱状闭合面，使其上、下底面与导体表面平行。通过整个圆柱状闭合面的电通量等于通过圆柱上底面的电通量。上式表示，带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电荷密度成正比。DS根据高斯定理，有金属针上的电荷形成的“电风”会将蜡烛的火焰吹向一边，这就是尖端放电现象。第6页,共61页，2024年2月25日，星期天三、空腔导体1.内表面上不存在净电荷，所有净电荷都只分布在外表面。2.空腔内部电场强度为零，即它们是等电势。

可能有两种情形，第一种情形是等量异号电荷宏观上相分离，并处于内表面的不同位置上，与静电平衡条件相矛盾。因此只能是第二种情形，即内表面上处处电量为零。

腔内若存在电场，则电场线只能在腔内空间闭合，而静电场的环路定理已经表明其电场线不可能是闭合线，所以整个腔内不可能存在电场，电势梯度为零。即电势处处相等并等于导体的电势。第7页,共61页，2024年2月25日，星期天若金属空腔导体内部有带电体,由高斯定理可得:q–q'S说明空腔内表面所带总电量与空腔内带电体的电量相等、符号相反。导体空腔是等势体，腔内场强不为零，不是等电势区间。在导体内：在空腔内：Q第8页,共61页，2024年2月25日，星期天

利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内电荷和电场影响，这类操作都称为静电屏蔽。无线电技术中有广泛应用，例如，常把测量仪器或整个实验室用金属壳或金属网罩起来，使测量免受外部电场的影响。

四、导体静电平衡性质的应用＋q＋q-q＋q-q1.静电屏蔽

(electrostaticshielding)第9页,共61页，2024年2月25日，星期天静电屏蔽的应用精密电磁仪器金属外罩使仪器免受外电场干扰。高压设备金属外罩避免其电场对外界产生影响。电磁信号传输线外罩金属丝编制屏蔽层免受外界影响。高压带电作业中工人师傅穿的金属丝编制的屏蔽服使其能够安全地实施等电势高压操作。第10页,共61页，2024年2月25日，星期天法拉第对800千伏火花放电的屏蔽实验法拉第第11页,共61页，2024年2月25日，星期天第12页,共61页，2024年2月25日，星期天第13页,共61页，2024年2月25日，星期天

右图是场致发射显微镜的原理图。在真空玻璃泡内充以少量氦气并在中心放置被测试金属针，泡的内壁涂敷荧光导电膜。若在金属针与荧光导电膜之间有很大的电势差，泡内上部空间会产生辐射状的电场。氦分子在尖端处被电离成氦离子并沿辐射状电场线射向荧光导电膜。于是就在膜上产生一个荧光点，它就是该氦离子与金属尖端相碰的那个金属原子的“像”。利用荧光膜上的光点将描绘出金属针尖端表面的原子分布图像。2.场致发射显微镜第14页,共61页，2024年2月25日，星期天

这种起电机是利用导体空腔所带电荷总是分布在外表面的原理做成的。右图是范德格拉夫静电高压起电机的示意图，起电机工作时A的电势可达2

106V。这种装置是静电加速器的关键部件，主要用于加速带电粒子以进行核反应实验，也用于离子注入技术以制备半导体器件。

3.范德格拉夫静电高压起电机第15页,共61页，2024年2月25日，星期天

4.库仑平方反比律的精确证明由于库仑定律是电磁理论的基本规律之一，另外，库仑定律是否为严格的平方反比律，即在下式中

是否严格等于零，是与一系列重大物理问题相联系的

在证明高斯定理时我们已经看到，高斯定理的成立是由于库仑定律满足平方反比律，即

=0；而处于静电平衡的金属导体内部不存在净电荷的结论，是高斯定理的直接结果。试设想，库仑平方反比律不严格成立，高斯定理就不存在，处于静电平衡的金属导体内部就可能存在净电荷。所以，用实验方法测量导体内部不存在净电荷，可以精确地验证库仑平方反比律。第16页,共61页，2024年2月25日，星期天有导体存在时静电场场量的计算原则:1.静电平衡的条件2.基本性质方程3.电荷守恒定律第17页,共61页，2024年2月25日，星期天例题1两个半径分别为R和r

的球形导体（R>r），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。Q解：两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，第18页,共61页，2024年2月25日，星期天可见大球所带电荷量Q比小球所带电量q多。两球的电荷密度分别为

对孤立导体可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷量为q，则两球的电势为第19页,共61页，2024年2月25日，星期天尖端放电现象在导体的尖端附近,由于场强很大,当达到一定量值时,空气中原留有的离子在这个电场作用下将发生激烈的运动,并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子,其中和导体上电荷异号的离子,被吸收到尖端上,与导体上的电荷相中和,而和导体上电荷同性的离子,则被排斥而离开尖端,作加速运动，这使得空气被“击穿”而产生的放电现象称为尖端放电现象。++++++++++++++++++++++++由于尖端放电产生的“电风”+++第20页,共61页，2024年2月25日，星期天尖端放电原理的应用在高压设备中，为了防止因尖端放电而引起的危险和漏电造成的损失,具有高电压的零部件的表面必须做得十分光滑并尽可能做成球面。避雷针：利用尖端放电使建筑物避免“雷击”的。电晕现象静电喷漆第21页,共61页，2024年2月25日，星期天例题2.（1）如果人体感应出1μC的电荷，试以最简单的模型估计人体的电势可达多少？（2）在干燥的天气里，空气的击穿电场强度为3MV/m，当人手指接近门上的金属门把手时可能产生的电火花有多长？解：把人体看作半径1m的球体，于是人的电势为V火花放电长度为m第22页,共61页，2024年2月25日，星期天例3：两块导体平板平行并相对放置，所带电量分别为Q和Q

，如果两块导体板的面积都是S，且视为无限大平板，试求这四个面上的面电荷密度。解：设四个面的面电荷密度分别为

1、

2、

3和

4，空间任一点的场强都是由四个面的电荷共同提供的。由高斯定理，各面上的电荷所提供的场强都是

i/

2

0。另外，由于导体内部的合成场强为零。若取向右为正方向，则处于导体内部的点A和点B的场强可以表示为第23页,共61页，2024年2月25日，星期天根据已知条件

S(

1

2)=Q

S(

3

4)=Q

.可解得上式表明两块无限大的导体平板，相对的内侧表面上面电荷密度大小相等、符号相反，相反的外侧表面上面电荷密度大小相等、符号相同。如果Q=

Q

，可以求出：S第24页,共61页，2024年2月25日，星期天[例4]面电荷密度为

0的无限大均匀带电平板旁有一无限大的原不带电的导体平板，求导体板两表面的面电荷密度。E0·E2

E1

0

1

2解：设导体两表面的面电荷密度分别为

1、2(在未求出结果之前，1、2

均看作正)第25页,共61页，2024年2月25日，星期天

02

0+

12

0-

22

0=0

02

1=--

02

2=·由电荷守恒有

1+

2=0(1)·由导体内场强为零有

E0+E1-E2=0

1-2=-0

(2)·可得

第26页,共61页，2024年2月25日，星期天

0

-0

0

0

-

0/2

0

00

0/2思考：如果导体板接地，下面结果正确吗？

·接地：意味着“导体电势为零”，不意味着“电荷一定全跑光”。·正确结果

第27页,共61页，2024年2月25日，星期天28例.金属板A、B、C面积200cm2，A板带正电3.010-7库仑，略去边缘效应，问B和C上电荷各是多少？地电位为零，A电位是多少？解：

第28页,共61页，2024年2月25日，星期天例5

有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有10-8C的正电荷。问：（1）两球电荷分布；（2）球心的电势；（3）球壳电势。解：（r<R3

）（R3<r<R2）（1）电荷+q分布在内球表面。球壳内表面带电荷-q。球壳外表面带电荷2q。（R2<r<R1）（r>R1）R3R2R1第29页,共61页，2024年2月25日，星期天（2）（3）第30页,共61页，2024年2月25日，星期天[例6]导体球A(带电q)与导体球壳B(带电量

Q)同心。求(1)各表面电荷分布；(2)A的电势UA；(3)将B接地，各表面电荷分布；(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时各表面电荷分布。QQ+q高斯面Bq-qR1R2R3A·

解：(1)各表面电荷分布利用高斯定理,在B上选高斯面如图，导体内E=0,等式右端等于0,所以B内表面电荷为–q.B内外表面电荷之和为Q，由电荷守恒，B外表面电荷为Q+q.第31页,共61页，2024年2月25日，星期天AQ+q-q

qUA=q4

0R1+-q4

0R2Q+q4

0R3+UA=

A

E

dl

·在B上选高斯面如图，知B内表面电荷为-q·B内外表面电荷之和为Q，由电荷守恒，

B外表面电荷为Q+q·方法二：由电势叠加法导体组可看成三层均匀带电球面由均匀带电球面的电势结果可得，

(2)A的电势UA·方法一：由场强积分法（自己算）第32页,共61页，2024年2月25日，星期天BAq-qB-q+q

Aq

-q

(3)将B接地，各表面电荷分布

(4)将B的地线拆掉后，再将A接地，此时各表面电荷分布

A接地后，电荷不再为q，设为q

(待求),A球电势等于0,同样由高斯定理,B内表面为-q,所以:B内表面电荷为–q,

外表面电荷为零.第33页,共61页，2024年2月25日，星期天由电荷守恒,B内表面为-q

，则外表面为

-q+q

由电势叠加有UA=q

4

0R1+-q

4

0R2-q+q

4

0R3=0+应可得q

(

q)(略)第34页,共61页，2024年2月25日，星期天补例题6

在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求：（1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；（2）小球与球壳的电势差；（3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。

第35页,共61页，2024年2月25日，星期天解：（1）由对称性可以肯定，小球表面上和球壳内外表面上的电荷分布是均匀的。小球上的电荷q将在球壳的内外表面上感应出－q和＋q的电荷，而Q只能分布在球壳的外表面上，故球壳外表面上的总电荷量为q+Q。

小球和球壳内外表面的电势分别为第36页,共61页，2024年2月25日，星期天球壳内外表面的电势相等。（3）若外球壳接地，则球壳外表面上的电荷消失。两球的电势分别为（2）两球的电势差为第37页,共61页，2024年2月25日，星期天两球的电势差仍为

由结果可以看出，不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。当q为正值时，小球的电势高于球壳；当q为负值时，小球的电势低于球壳,与小球在壳内的位置无关，如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，则不论q是正是负，也不管球壳是否带电，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上，直到Vr－VR=0为止。第38页,共61页，2024年2月25日，星期天例7接地导体球附近有一点电荷q,如图所示。求:导体上感应电荷的电量解:接地即设:感应电量为Q由导体是个等势体知o点的电势为0由电势叠加原理有关系式：第39页,共61页，2024年2月25日，星期天例题8

静电除尘器由半径为ra的金属圆筒(阳极)和半径为rb的同轴圆细线(阴极)。如果空气在一般情况下的击穿电场强度为3.0MV/m,试提出一个静电除尘器圆筒和中心线粗细的设计方案。 灰尘出口解:

中心轴线带电后,距中心轴r处的电场强度这里是中心轴线上的电荷线密度。中心轴线与金属圆筒间的电势差为第40页,共61页，2024年2月25日，星期天上面两式相除消去,有上式说明中心轴线与金属圆筒间加上电势差U后,在圆筒内的电场随r迅速减小。中心轴线处电场最强,靠近外圆筒处最弱.在所加电压和某点场强(如:筒内表面附近为3.0MV/m)已知情况下,利用上面场强公式原则上可以算出所需筒与线的尺寸。但这是一超越方程,一般用计算机进行数值求解。第41页,共61页，2024年2月25日，星期天求:1)点电荷一侧的场的分布

2)导体表面的感应电荷面密度域内解惟一

导体板上感应电荷的总量[例9]*

无限大接地导体平板附近有一点电荷镜像电荷镜象电荷与原电荷产生的合场满足同样的边界条件解：原电荷第42页,共61页，2024年2月25日，星期天1)求场量>0第43页,共61页，2024年2月25日，星期天2)平板上电荷面密度：第44页,共61页，2024年2月25日，星期天+++++++++一静电感应静电平衡条件感应电荷第45页,共61页，2024年2月25日，星期天++++++++++++第46页,共61页，2024年2月25日，星期天++++++++导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度第47页,共61页，2024年2月25日，星期天++++++导体是等势体静电平衡条件（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.

导体表面是等势面

导体内部电势相等第48页,共61页，2024年2月25日，星期天二静电平衡时导体上电荷的分布++++++++++结论导体内部无电荷1

实心导体2

有空腔导体

空腔内无电荷电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？第49页,共61页，2024年2月25日，星期天若内表面带电所以内表面不带电++--

结论电荷分布在外表面上（内表面无电荷）++++++++++矛盾导体是等势体第50页,共61页，2024年2月25日，星期天

空腔内有电荷电荷分布在表面上内表面上有电荷吗？

结论当空腔内有电荷时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷，外表面有感应电荷（电荷守恒）第51页,共61页，2024年2月25日，星期天+++++++++++

为表面电荷面密度作钱币形高斯面

S3

导体表面电场强度与电荷面密度的关系

表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比第52页,共61页，2024年2月25日，星期天+++++++++注意导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.4导体表面电荷分布第53页,