2024八年级数学下册测练第14招利用矩形的性质巧解折叠问题习题课件新版冀教版

第14招利用矩形的性质巧解折叠问题冀教版八年级下

例典例剖析如图，纸片ABCD为平行四边形．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上的点E处，折痕为AF.已知

AB＝10，AD＝8，DE＝6.(1)求证：▱ABCD是矩形；【解题秘方】根据折叠变换的对称性可知AE＝AB，在△ADE中，利用勾股定理的逆定理证明∠D＝90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明▱ABCD是矩形即可；证明：由折叠的性质得AE＝AB＝10.∴AE2＝102＝100.又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2.∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.∴▱ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．(2)求BF的长；【解题秘方】设BF＝x，在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可；解：由题意易知EF＝BF，CD＝AB＝10，BC＝AD＝8，EC＝CD－DE＝4.设BF＝x，则EF＝BF＝x，FC＝BC－BF＝8－x.由(1)可知▱ABCD是矩形，∴∠C＝90°.在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5，故BF＝5.(3)求折痕AF的长．【解题秘方】在Rt△ABF中，利用勾股定理求解即可．题型1利用矩形的性质巧求折叠中线段的长分类训练1[2022·丽水]如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF.(1)求证：△PDE≌△CDF；【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD.由折叠的性质，得AB＝PD，∠A＝∠P＝90°，∠B＝∠PDF＝90°，∴∠P＝∠C，PD＝CD，∠PDF＝∠ADC.(2)若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．【解】如图，过点E作EG⊥BC于点G，则∠EGF＝90°，易得四边形ABGE，四边形EGCD是矩形，∴AE＝BG，EG＝CD＝4cm，DE＝CG.由折叠的性质，得AE＝PE.由(1)知△PDE≌△CDF，∴PE＝CF.∴AE＝PE＝BG＝CF，2[2023·汕头金信中学模拟]如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，将△ADF和△CBE分别沿直线AF，CE折叠，使点D，B分别落在对角线AC上的点H，G处．题型2

利用矩形的性质巧求折叠中重叠的面积(1)求证：△ADF≌△CBE；(2)若DA＝3，DC＝4，求△ACF的面积．3如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与CD的交点为点O，连接DE.求证：题型3利用矩形的性质巧证折叠中的平行线(1)△ADE≌△CED；【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.由折叠的性质，得BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD.又∵DE＝ED，∴△ADE≌△CED(SSS)．(2)DE∥AC.【证明】由(1)知△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC.由折叠的性质，得∠OAC＝∠CAB.易知AB∥CD，∴∠OCA＝∠CAB，∴∠OAC＝∠OCA.又∵∠AOC＝∠DOE，∴∠OAC＋∠OCA＝∠DEA＋∠EDC，∴2∠OAC＝2∠DEA，即∠OAC＝∠DEA.∴DE∥AC.4如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N，连接CN.题型4

利用矩形的性质巧求折叠中线段的比(1)求证：CM＝CN；【证明】由折叠的性质，得∠DNM＝∠ENM，∵∠ENA＝∠DNC，∴∠DNM－∠DNC＝∠ENM－∠ENA，即∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM，即CM＝CN.【点思路】根据折叠的性质得∠ANM＝∠CNM，再由AD∥BC得到∠ANM＝∠CMN，最后根据等角对等边得到CM＝CN；【点思路】5如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.题型5利用矩形的性质巧求折叠中线段的和(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥

AB′于点G，PH⊥DC于点H，试求