辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高一上学期期末学业质量监测试题数学

2024年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高一数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分；考试时间：120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知命题：“，有成立”，则命题为A.，有成立 B.，有成立C.，有成立 D.，有成立3.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）A B. C. D.4.在中，为边上的中线，点为的中点，则（）A. B.C. D.5.“社保”已经走入了我们的生活，它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险.全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险三项，下图是近五年三项社会保险基金的收支情况，下列说法中错误的是（）A.三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增B.三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”C.2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%D2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长6.7%6.函数在图像大致为A. B. C. D.7.设，，，则（）．A. B. C. D.8.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是（）．A. B.C. D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.10.下列说法正确是（）．A.函数（且）过定点B.是定义域上的减函数C.的值域是D.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件11.下列说法中正确的是（）．A.四边形是平行四边形，则必有B.是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得12.已知定义域为的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）．A.函数在上单调递减B.若函数在内恒成立，则C对任意实数，方程至多有6个解D.方程有4个解，分别为，，，，则第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.__________．14.已知数学考试中，李明成绩不低于分的概率为，不低于分且低于分的概率为，则李明成绩低于分的概率__________．15.已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为__________．16.若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值为__________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合，集合，集合，且．（1）求实数a的值组成的集合；（2）若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18.函数是定义在R上的奇函数，指数函数的图像经过点．（1）求的解析式及的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．19.某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．（1）求小明得3分的概率；（2）试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．20.如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．21.某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样“阅读爱好者”中非“读书迷”愿意加入的人数会减少，“读书迷”愿意加入的人数会减少．问会费参数至少定为多少时，才能使会员的人数不超过万人？22.设集合存在正实数t，使得定义域内任意x都有．（1）若，证明：；（2）若，，且．求函数的最小值．2024年1月葫芦岛市普通高中学业质量监测考试高一数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分；考试时间：120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3．用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4．考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质化简集合A，再利用交集的定义求解.【详解】因为集合，又，所以.故选：A.2.已知命题：“，有成立”，则命题为A.，有成立 B.，有成立C.，有成立 D.，有成立【答案】B【解析】【分析】特称命题的否定是全称命题．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以，有成立的否定是，有成立，故选B.【点睛】本题考查特称命题的否定命题，属于基础题．3.据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若要给有巨大贡献的2人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算即可．【详解】由题知，基本事件的总数有种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查数学史及古典概型的概率计算，属于较易题．4.在中，为边上的中线，点为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量线性运算的性质进行求解即可．【详解】∵为边上的中线，∴，又∵点为的中点，∴．故选：B．5.“社保”已经走入了我们的生活，它包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险、生育保险.全年支出最重要的三项分别为养老保险、失业保险、工伤保险三项，下图是近五年三项社会保险基金的收支情况，下列说法中错误的是（）A.三项社会保险基金在2020年以前收入为逐年递增B.三项社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”C.2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%D.2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长6.7%【答案】D【解析】【分析】数形结合，根据柱状图中给定数据结合题意代入所有选项求值即可得到D选项数据计算错误.【详解】选项正误原因A√由条形图可知社会保险基金在2016~2019年收入是逐年递增的B√社会保险基金在2016~2019年间收支并未出现“赤字”C√2020年三项社会保险基金收入合计50666亿元，比上年减少8464亿元，约减少14.3%D×2020年三项社会保险基金支出合计57580亿元，比上年增加3088亿元，约增长5.7%，选项D是6.7%，故D错误故选：D.6.函数在的图像大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7.设，，，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据换底公式将变形利用不等式性质比较的大小，再根据中间量比较的解.【详解】，，又，，，，即，又，，，所以.故选：A.8.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有且，则不等式的解集是（）．A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数单调性的定义以及偶函数的性质得出的单调性，讨论的正负，解不等式即可．【详解】不妨设，则，∴，即，∴在上单调递减，∵是定义在上的偶函数，，∴在上单调递增，，∴当或时，；当时，，由不等式，得或，解得，则该不等式的解集为.故选：D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以当时，，故A正确；因为函数在上单调递增，所以当时，，故B正确；因为函数在上单调递减，所以当时，，故C错误；因为函数在上单调递减，所以当时，，故D错误；故选：AB.10.下列说法正确的是（）．A.函数（且）过定点B.是定义域上的减函数C.值域是D.“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件【答案】AD【解析】【分析】由指数函数过定点即可判断A，由反比例函数的单调性即可判断B，由对数函数的值域即可判断C，由充分性以及必要性的定义即可判断D【详解】令，解得，将代入，可得，即函数过定点，故A正确；函数的单调减区间为，故B错误；函数，令，解得或，则其定义域为，值域为，故C错误；若，则，则函数在上单调递增，故充分性满足，若函数在区间上为增函数，则，故必要性不满足，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，故D正确；故选：AD11.下列说法中正确的是（）．A.四边形是平行四边形，则必有B.是所在平面上的任意一点，且满足，，则直线一定通过的重心C.两个非零向量，，若，则与共线且反向D.若，则存在唯一实数使得【答案】BC【解析】【分析】根据平面向量的基本知识逐个选项判断即可【详解】若四边形是平行四边形，则必有，A错；设中点为，则，又，，所以，即直线一定通过的重心，B正确；对于C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，C正确；对于D，若，则存在唯一实数使得或，D错误.故选：BC12.已知定义域为的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）．A.函数在上单调递减B.若函数在内恒成立，则C.对任意实数，方程至多有6个解D.方程有4个解，分别为，，，，则【答案】BD【解析】【分析】由条件可得为奇函数，由的值的大小可判断A；作出函数的图象，数形结合可判断B；取时，结合图形，求解判断直线与函数的图象交点的个数可判断C；选项D，不妨设，根据图象可得及的范围，由二次函数的对称性可知，求出时的解析式，进而得的关系式，结合函数的单调性求出的范围，即可判断D.【详解】定义域为的函数满足，即，所以函数为奇函数，，选项A，，得，故A错误；作出函数图象，如图所示，选项B，若函数在内恒成立，由图可知，，由解得或，所以，故B正确；选项C，取时，如图所示，当时，联立方程组，化简得，设函数，因为，且对称轴为，所以方程在上有两个不相等的实数根，所以直线与函数图象在有2个交点.设，，则函数在上单调递增，∵，，∴函数在上只有一个零点，所以直线与函数图象在有1个交点，所以当时，直线与函数的图象有3个交点，因为函数与函数均为奇函数，所以当时，直线与函数的图象有3个交点，又当时，直线与函数的图象有1个交点，所以直线与函数图象有7个交点，故C错误；选项D，当时，方程有4个解，不妨设，根据图象可得，因为有4个解，，所以，所以，解得，所以，由二次函数的对称性可知，的解满足，因为函数为奇函数，且当时，，所以当时，，则，所以，则，得，所以，设，又因为函数在上单调递增，所以，所以，故D正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：解决函数零点（方程的根）问题的方法：（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；（2）利用零点存在性定理；（3）图象法：①研究函数的图象与x轴的交点；②转化为两个函数图象的交点问题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.__________．【答案】2【解析】【分析】利用对数的运算性质及换底公式化简求解.【详解】.故答案为：2.14.已知数学考试中，李明成绩不低于分的概率为，不低于分且低于分的概率为，则李明成绩低于分的概率__________．【答案】##【解析】【分析】设出事件，利用互斥与对立事件的概率公式求解即可.【详解】记事件：“李明成绩不低于分”，事件：“李明成绩不低于分且低于分”，事件：“李明成绩低于分”，则，，与互斥，所以.故答案为：15.已知，设函数在的最大值为，最小值为，那么的值为__________．【答案】【解析】【分析】由题目化简，得到，然后根据函数单调性即可得出结果.【详解】，则，所以，又因为和是上的增函数，所以和是上的减函数，所以是上的增函数，即是上的增函数，所以.故答案为：16.若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值为__________．【答案】19【解析】【分析】依题意可得为常数，令，结合条件列出方程，求得的解析式，进而得出答案．【详解】∵函数在上是单调函数，且，则为常数，令①，则②，由①得，则，因为在上单调递增，且，所以解得，则，所以．故答案为：19．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合，集合，集合，且．（1）求实数a的值组成的集合；（2）若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知；（2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求.【小问1详解】因为，由，知，则或或，当时，所以，当时，所以，当时，所以，所以的取值集合为．【小问2详解】由题意得，，故，又是的充分不必要条件，所以是的真子集，于是，解得：，经检验符合条件，综上，实数m的取值范围是．18.函数是定义在R上的奇函数，指数函数的图像经过点．（1）求的解析式及的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设，由条件列式即可求出；借助奇函数的定义计算即可求出；（2）结合函数的单调性与奇偶性，转化为二次不等式恒成立问题，即可求解.【小问1详解】设，则，，故．从而，又为定义在R上奇函数，有，解得．则，∵，∴为定义在R上奇函数，所以，.【小问2详解】由（1），可判断在R上单调递减，∵恒成立，即，∵为定义在R上奇函数，∴，故，即，对恒成立，则，解得．19.某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投．（1）求小明得3分的概率；（2）试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大．【答案】（1）（2）选择都乙处投篮通过率更大【解析】【分析】（1）由对立事件和相互独立事件性质求解即可；（2）分别求出：小明选择都在乙处投篮及小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率，比较即可.【小问1详解】设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B，于是，，小明得3分的概率．【小问2详解】小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率，，所以选择都在乙处投篮通过率更大．20.如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算法则计算；（2）由题意得，由共起点的三向量终点共线的充要条件求出，即可得出答案；（3）由题意，可设，代入中并整理可得，又，根据平面向量基本定理得出方程组，然后结合二次函数的性质可得结论．【小问1详解】由向量的线性运算法则，可得，①，②因为M为线段中点，则，联立①②得：，整理得：．【小问2详解】由AM与BD交于点N，得，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．所以，即．【小问3详解】由题意，可设，代入中并整理可得．又，故，可得：，．因为，所以，．在单调递增，则当时，，当时，，所以，的取值范围为．21.某市在万成年人中随机抽取了名成年市民进行平均每天读书时长调查．根据调查结果绘制市民平均每天读书时长的频率分布直方图（如图），将平均每天读书时长不低于小时的市民称为“阅读爱好者”，并将其中每天读书时长不低于小时的市民称为“读书迷”．（1）试估算该市“阅读爱好者”的人数，并指出其中“读书迷”约为多少人；（2）省某机构开展“儒城”活动评选，规则如下：若城市中的成年人平均每天读书时长不低于小时，则认定此城市为“儒城”．若该市被认定为“儒城”，则评选标准应满足什么条件？（精确到）（3）该市要成立“墨葫芦”读书会，吸纳会员不超过万名．根据调查，如果收取会费，则非阅读爱好者不愿意加入读书会，而阅读爱好者愿意加入读书会．为了调控入会人数，设定会费参数，适当提高会费，这样