2023-2024学年某中学高三年级上期开学摸底考试数学试卷及答案

2023〜2024学年怀仁一中高三年级摸底考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填■写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2,请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡

上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：高考范围。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设复数z=(2+i)(l+『)，则它的共轨复数z的虚部为

A.-2B.-1（：.iD.1

2.已知集合A=｛z|，7=7<夜｝，3=｛制/-6工+8<0｝,则4口8=

A.[l,2)B.(3,4)C.(2,3)D.口.+8)

3.设m,n是两条不同的直线,a,是三个不同的平面，给出下列命题：

①若加〃。,，2〃9，0〃3，则7"〃②若a〃则a〃6；

③若m_La，"JL8，a〃3，则④若aJ_Y，S」-y，则a//P-

其中正确命题的序号是

A.①③B.①④C.②③D.②④

5,已知向量a,b都是单位向量，若|2a-b|=|a+b|，则向量a,b的夹角的大小为

c27rD.乎

A.fB.年CT

030

6.在圆C：｛z—算+/=!|的圆周上及内部所有的整点(横坐标，纵坐标均为整数的点)中任

意取两个点，则这两个点在坐标轴上的概率为

A,TB.2c.D.1

【高三数学第1页(共4页)】24010C

7.已知定义在R上的偶函数fCr）,当.1<0时"Cr）=-1|，则不等式/（己一2石？+1>0的

解集为

A.（0,j）B.（—,1）c.停,+8）D.（—8,考）

8.已知双曲线C：马一4=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为R,Fz,点、P在双曲线C的右支上,

ab

P居JLPFz，线段PB与双曲线。的左支相交于点Q,若IPFz[IQB|,则双曲线C的离心率为

A.V3B.2C.V5D.272

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.从1,2,3,…，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有

A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数”

B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”

C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数”

D.个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”

10.已知函数八才）=c・s2?+sin?（工一年），将函数/（l）的图象先向右平移合个单位长度，再向

下平移1个单位长度得到函数gG）的图象，则下列说法正确的是

A.函数/（工）为偶函数

B.g（x）=cos^2,r+-yj

C.g(z)=cos(2x

D.函数g（.r）的图象的对称轴方程为彳=竽+金GCZ）

（z•e',才&0,

11.已知函数/（]）=4|lg,0<工<10,若8（7）=3/（7）-根/（才）一2/有6个不同的零点

I—x4-11,z210,

分另U为，才2,工3，工4»X=,X6，旦Hl<Zz<a<工1<X5<X6,/（23））=/（了5），则下列

说法正确的是

A.当H40时，一十《/（7）&0

B.Z3+外的取值范围为（2,窄）

C.当m<.o时，/（乃）+/（X2）+3/（X3X1X5）+/（Z6）的取值范围为（—5，0）

D.当m>0时—十f（Hz）+3f（H3H出）十，5）的取值范围为（0,台

12.如图，在三棱锥A-BCD中,AB=6C=AC=CD=2,/BCD=120°,二面角A-BC-D的大小

为120°,则下列说法正确的是

A.直线AB与CD为异面直线

B.BD=2y/3

C.三棱锥A-BCD的体积为亭

D,三棱锥A-BCD的外接球的表面积为244争1r

【高三数学第2页（共4页）】24010C

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.sin20°cos10°4-sin70°sin10°=.

14.设随机变量X服从正态分布若P（XVa）=0.25,则P（XV6—a）=.

15.已知抛物线C：丁=42.的焦点为F,过点F且斜率为2的直线与抛物线C相交于A,B两点

（点A在1轴的上方），则嚣•=.

16.已知数列｛%；>的前"项和为S"，数列是首项为公差为■的等差数列.[与表示不超

[n）oo

过Z的最大整数，如[0.1>O，E1<91=1,则数列｛[%]｝的前35项和为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过靛祠凝骤.

17.（本小题满分10分）

已知等比数列｛“力前〃项和为S,,a】=2且Sn=2an-ai.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛〃%｝的前〃项和

18.（本小题满分12分）

已知△ABC中，内角八，8（所对的边分别为。，6,小（6+。）2=。2+（2+呼）儿.

（1）求sinA的值；

（2）如图，D为AB上的一点，且AD=2BD,若/BCD=2/ACD,B为锐角，求cos/BCD,

sinB的值.

C

ADB

19.（本小题满分12分）

疫情过后，某工厂快速恢复生产，该工.厂生产所需要的材料价钱较贵，所以工厂一直设有节

约奖，鼓励节约材料，在完成生产任务的情况下，根据每人节约材料的多少到月底发放，如果

1个月节约奖不少于1000元，为“高方约奖”，否则为“低节约奖”，在该厂工作满15年的为

“工龄长工人”，不满15年的为“工龄短工人”，在该厂的“T龄长工人''中随机抽取60人，当

月得“高节约奖”的有20人，在“工龄短工人”中随机抽取80人，当月得“高节约奖”的有

10人.

⑴若以“工龄长工人”得“高节约奖''的频率估计概率，在该厂的“T龄长工人”中任选取5

人，估计下个月得“高节约奖”的人数不少于3人的概率；

（2）根据小概率值a=0.005的独立性检验，分析得“高方约奖”是否与工人工作满15年

有关.

参考数据：附表及公式：/=注喏字,n=t+b+c+d

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【高三数学第3页（共4页）】24010C

20.(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P-ABC中,AP，PC,AC，BC,AP=PC=2,AC=BC,二面角P-AC-B

为钝角，三棱锥P-ABC的体积为言.

(1)求二面角P-AC-B的大小；

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

21.(本小题满分12分)

22

已知椭圆E号十方=1">6>0)的左、右焦点分别为6,Fz,M为椭圆E的上顶点，

际•幅=0,点N(原'，一：!)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设经过焦点Fz的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点，求

四边形ACBD的面积的最小值.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=-(a+l)ln(H+l)+ax+e—2(aGR,e为自然对数的底数).

(1)讨论函数八工)的单调性；

(2)若函数人口有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.

【高三数学第4页(共4页)】24010C

参考答案、提不及评分细则

1.D由z=(2+i)(l+i')=(2+i)(l—i)=3—i,可得z=3+i,所以它的共舸复数z的虚部为1.故选D.

2.C由题意可知M7=TV淄'=0&_z-1<2。14]〈3,所以A={z|l4zV3},

又由H2—6H+8V・=(z—2)(z—4)V0n2V_rV4,所以B={z|2VzV4}，所以AAB=(2,3).故选C.

3.C当〃?〃a,"〃仇a〃9时，，入〃可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当a_L7$_Ly时,a甲可以平行.也

可以相交，所以④不正确；若a〃八3〃八则a〃自若"?_La,〃，8，a〃四则初〃九故正确命题的序号是②③.

4.A由/(一■!")=­/—sin7=一/(才)，可得函数/(7)为奇函数,可排除B.D选项，又由/'(1)=1+sin1>0.可

排除C选项,可知答案为A.

I.

5.B由题意有I2Q—b|之=Q+讨2,川得5—4Q・b=2+2a-b,解得Q•方=。，"J得cos〈a,b〉=一■，故向量a，b

乙L»

的夹角的大小为全

6.D画图可知共有5个整点，分别为(0,0),(1,0),(2,0),(1,1),(1,-1),有3个点在坐标轴上，记为P，Q.R,

另外两个记为M*N.5个点中任取两个包括的基本事件为(P,Q),(P,R),(P,M),(P,N),(Q,R),(Q,M),

(Q,N),(R,M),(R,N),(M,N),共10个，两个点在坐标轴上包括(P.Q),(P.R).(Q,R),共3个基本事件，

则这两个点在坐标轴上的概率为吉.

7.B当工>0时，，(才)=C一"|一1，令gGr)=2内了-1,

依题意f(依>g(_r),则.f(z)图象在g(z)图象上方，

由ex+1—1=2\/ea——1,得了=十，

则/(3>2而-1的解集为(一8,十).

8.C设|PBl=3z(i>0),lQF"=2_r,双曲线C的焦距为2g由双曲线的定

22

义可知QRzl=2a+2.r,|PQ|=2a+；r.在RtAPQF2中.有|QB|=|PQ|

9

+\PF212•得(2々+21)2=(20+7)2+912,解得工=号。,可得小乙|=2a"PR|=4a.在RtAPF,F2中，

有IB6Iz=IPB12+1PR12，“J■得4az+16a2=4?,解得c=^a,可得双曲线C的离心率e=展.

9.AD.从1-9中任取三数，按这三个数的奇佃性分类.有四种情况，(1)三个均为奇数；(2)两个奇数一个偶

数；(3)一个奇数两个偶数；(4)三个均为偶数，所以AD是互斥但不是对立事件，(、是对立事件，B不是互示事

件.故选：AD.

10.ACD由/(7)=cos2x+cos2J-=2cos27=1+cos2j-,函数/(了)为偶函数，可得g(z)=1+

coJ2(j-一卷)]—1=cos(2.x—,令2J9,46Z,可得才="+羽，&GZ.可知选项为ACD.

11.AC当时，/(1)=l•e'，此时，(工)=(7+1)・H,可得/(了)在(-8,—])上单调递减，在

(—1,0)上单调递增，且/'(—1)=L,f(0)=0,.•.当“&()时,L&/〈疝)40,由g(.?,)=3f~(.r)—

ee

)nf()-2m2有6个不同的零点•等价于3.尸(/)一〃?/(才)-2m2=06个不同的实数根，解得.f(/)=

，〃或/,()=——•V.Z3•14=1,若加十力=不+G(2,得上V/3<1,而当〃?>0时，一」-

3.不3'iu'e

〈一孕V0,可得0<7«<y-,fftjy-<l=f(3)；当；»<0时,一"L〈,"V0,可得0V—缪<1~，而及<】=

3Ze，R.\]0，e33e3e

【高三数学参考答案笫1页(共6页)】24010C

/（A）,故心的范围为（《•1）的子集，占十工，的取值范围不可能为（2,片）.故B选项错误；

该方程有6个根.且/（才3）=/（11）=/（了5），知卬74=1且/（11）=/（了2）=/（16），

当m<0时，/（力）=/（>2）=/（・%）="£（一十'。）,

/（才3）=/（）=/（15）=-G（0•1），联立解得"2€（L,0）♦

o、e，

f（4）+/（12）+3/（才3工4才5）+/（z5）=3/（1]）+3/（才5）=3〃Z—2〃7=”？£（------.0

—

当加>0口寸・/O]）=/（.r2）=/（16）=一寸e（—*0）♦

/（13）=./（心）=/（a：5）="?£（0,1）,联立解得〃/G（0*,

\Zc7

./（.J'l）+/（才2）+3/（.73]4工5）+/（76）=3/O|）+3/5）=—2m+3m=rnE（°琮）.

12.ABD由异面直线的定义知A选项正确；在△8（7）中.川）=2，1厮B选

项正确；如图.愀'的中点E.在AE上取点U.使得A（\=20）E,取BD的

中点G，并延KCG到点（）2.使得HA=BC=2,SAW=；X2X2X第=居,

VX-BCD=4XV3XV3Xsin60°=哼,可知C选项错误;记。为三棱锥A-BCD

的外接球的球心.连接OO1.（X）2.（）/：.并延K05，QE相交于点F.由AB=8C=AC=2.可知△ABC为

等边三角形.乂由A。=20匕可知（为为△ABC的外心.由BC=（'D=2./BCD=12O°.BG=GD,可得

NB（.@=60°.又由（'Q=2.可得△BCa.ZXCDQ都为等边三角形，可得（工％=BQ=DQ=2,可得（A为

△BCD的夕卜心.可得AEJJ3CEQIBC,可知NAEQ为二面角A-/3c-Q的平面角，可得/AEQ=

120°.由A8=BC=AC=CO=2,可得AE=V^.。"=伍X十=岑.K"=代.在△£/，'（％中,NF"。=

180°-/AEQ=60°.（X）/LAE.可得（）；F=l.EF=孚.由QF=EF+aE=孚+伍=眸,在

2

RtAOFO,中.可得（X）2=（），Ftan30°=咚X挛=■.在△（）（,（为中♦（）（.'=，（'（方十（X3=A/2+（-1-）

ooOV0

=3鱼.可得三棱锥A-B（7）的外接球的表面积为47rx（芽！）'=斗兽.可知D选项正确.

<5'J，J

13.；sin20°cos10°+sin700sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=J.

乙乙

14.0.75因为N（3.1）,所以所对应的正态曲线关于z=3对称.

因为。（XV。）=0.25,所以P（.X<a）=P（X>G-a'）=0.25.

所以P（X<6-a）=l-0,25=0.75.

、后-1-3fy2=4T.

15.R^设A5.g）.B5r2）•由F（1.0）可得直线AB的方程为y=2#—2.联立方程一后整理

2（y=2x-2

为三-37+1=0.解得处=与丫•加=五卢.且有力才2=1.由抛物线的定义,有Ipr,|=口i|"

ZZ|orI^2+112+]

居"+3

=乃=一2一.

16.397因为2=g.所以

flooo

【高三数学参考答案第2页（共6页）】24010C

6567c0

，念$=-y，必x=":­，生5=23,

所以by~Otbi~.1,h>~.1也~2,bi~3,Z>63.6?4,,1,,阳,b认~~22,b^~23,

所以数列([>」>前35项的和为T?5=(0+2+4+-+22)+2(l+3+54-----1-21)+23=397.

故答案为：397.

17.解：(1)因为S,=2%,一处.①

所以$7=2仇7一%E》2)，②..................................................................................................................1分

①②得a„=S„-Sx-i=2ax212kl，即a”=2a,,-1,.......................................................................................3分

则｛a*为等比数列，且公比Q*2,........................................................................................................................4分

因为句=2,所以。，=也•q"=2".....................................................................................................................5分

(2)由(1)可得,OnlXZ+ZXNZ+SXZ[+…+(*-1)•2"T+"・2",③.................................................6分

2s4

2TX-1X2+2X2-r3X24--+(«-1).2*+n•2f，④...................................7分

③一④得一工=2+22+23+24卜---'2'_北•2廿1=(1一公.2"+i_2,......................................................9分

*'„=(«­1).2"+5+2,..................................................................................................................[◎分

1&解：Q）（6+c）2=/+{2十..4.5）be可化为从+C。一/=空庆，..............................2分

\4，4

由余弦定理得cosA—--、”尸’...............................4分

z

"•'AC(O,TC)»AsitiA=*/1—cosA=^/1—((J=^-；......................................................................5分

(2)设/ACDHH,由/BCDh2/ACD可得NBCD：。2仇

Ze

在△<「《：中，由正弦定理得工3」名,有善可得忐工6sin公....................7分

sin0SinA3smD1CZJ

"I"

在ABCD中,由iF而定落程……3……="C…，可得…£.♦=叁：生2’.

仇八」j必b土俯$山窗导由》JCDsinB'

一介吠.

nj.侍3一s：--E.—2■•9■—_••03)Qan.侣-.6.s.i—n8•8-sogsi_nuj(•

smsin上》f

义sin(?>0,有sinB-cos&,.................................................................................................................................9分

又由B为锐角.有sinB-sin(^--(?)，有6工今一&,可得6+2今，

乙'乙乙

又由A+B+C=”，可得/BCD=28=q•-A,有cos/BCD=sinA=J,.............................................11分

6&

又由cos2&=2cos2一1.宥285%—1=3、可得85.，即sinB=°qe.......................................12分

444

19.解：⑴以“工龄长工人”得“高节约奖”的频率怙计概率，每个“工龄长工人”得“高节约奖”的概率为您=5，

Wo

...................................................................................................................................................................................1分

5人中，恰有3人得“高节约奖”概率为Cg-（4）?•（［-）'=票，............................2分

'3/'3'乙43

恰有4人得“高节约奖"概率为q•（《）’Y-=.黑，.......................................3分

5人都得“高节约奖”概率为（J「="看，...................................................4分

、3//A.S

【高三数学参考答案第3预（共6页”24010C

所求概率为市+而+会=H；6分

(2)列出列联表如下:

“高节约奖”“低“约奖”合计

“工龄长工人”204060

“工龄短工人”107080

合计30110140

8分

零假设H。：得“高行约奖”是否与工人工作满15年有关.

。-。)工

140X(20X740X1g.838>7.879.分

LQAv11nYv11

八AAVMV八60

根据小概率值a=O.005的独立性检验.得“高空约奖”与工人工作满15年有关.................12分

20.解：⑴如图.取AC的中点().A8的中点D.连接OD*过点P作/X)的延长线的垂线,垂足为H.1分

AP_\_IJC.AC_LBC.AP-PC=2MC=BC.

，△APC和△ABC都为等腰直角三角形,AC=HC=2展.AH=4.

'：A()=()C,Al)=BL),：.()L)为AABC的中位线.

：.()□//BC4)1)=&、..................................................2分

V()L)//BC.AC_LBC,：.()L)±AC.

'：AP=PC=2.：.()P±AC.

一］_4('.0。_|_八(、.。/)「()口=().0/),0口匚平面O/)P.，ACJ_平面O/)R

,.•AC_L平面()DP.：.AC±PH,............................4分

,.."P_L(〃L〃PJ_AC,OMnAC=Q,OU,ACU平面ABC.；.平面ABC.

•••S&w=4X2/X24=4,HRL平面ABC,三棱锥P-ABC的体枳为《，

/•VP-AHC=yX4HP=y，,HP=1........................................................................5分

；()P=72....OH='()pz—”=后、=1.

••.△OPH为等腰直角三角形，可得/H()P=45°，NPOD=135°,

'：()P_\_AC,O1)_LAC.：.ZPOD为二面角P-AC-B的平面角.

二二面角P-AC-B的大小为135；°.............................................................................6分

(2)由(1)可知。4，(〃).”匕［平面48(',以。4,(〃)和过点()作HP的平行线的

方向分别为了•》.z轴.建立如图所示的空间直角坐标系.

则()(0.0,0).A(V2,0,0).P(o,—1.1).c(—V2.0.0).B(—x/2.272.0).

.,.7f/5=(-y21,D.BC=(0.-272.0),CP=(72.-1.1)......................8分

(BC•机=0.

设平面PBC的法向量为,"=，则

•m=Q.

—2北y=0.

即,令7=1.则y=0•N=_V?，・••机=(1,0・-7?)・.........................................................1。分

A/FJ——丁+之=0,

.\AP•m=-2\/2.|AP|=2,|/n|二用,

\m-AP\_2V2_V6

'|/H|-|AP|2VI3'

【高三数学参考答案第，1页(共6页)】24O1IC

二直线AP与平面PR。所成角的正弦值为与、.............................................12分

21.解：（1）设F°（c.O），由说•调=。，有温」.际..........................................「分

又由I=1MF2!，有/MF20=-f（O为坐标原点兀可得6=c,黯-2b"

可得椭圆E的方程为暴十,=1,...................................................................................................................3分

代人点N的坐标，有系十会E，解得丘乃，

故椭圆E的标准方程为今十差■口；.......................................................4分

4Z

（2）①当直线AB的斜率不存在或为。时，［ABI为长福长或空-,

cl

不妨设|AB\H2ZK4,|CQ|』上』2.

故$因这珍念如h|AB|X|CDIE4;................................................................................................................5夕〉

N

②当直线AB的搭率存在且不为。时，设直线A&y工乂x-41），A（公.为）,B5,2）,

jy=^（.r—vT）,

联立方程,22消去y得（1十2/）/-4S/7旌力+4〃-4•=0,

与十夫工1,

则工、+及一条舞6分

所以|AB|=>、/14一式丁+（»—於A=V（xx—X?/+DKxi—、⑶一瓜.工2-V2）J2=A/1+L・"q—工2r=

V'lW.X/『工一产二跖冢工。千户XAk±幽『一4乂』坐；十」,

V\1+2女/二十ZA「1

4（,+1）_4西+1）

同理可得ICD\…~2"7\一声不了…3分

后+1

8（肥+1）2

所以==y|AB|xICDI二分

S附以再AC5Q-（FTzxzFTn9

「（贯,+2）+（2Z：2•+1）：2…9（过+1〉

因为（〃十2）〈2公+"W

2

当旦仅当后十2=2/+1,即&=士工时等号成立,.....................................................................................11分

-.,c、3（为2十D23232…

，G’r；!以I、、区边形~.।［、广q，口口c'*、，，

4

综上：四边形ACBD的面积的最小值为警.

................................................................................................12分

22.解：（1）函数.武6的定义域为（一1,十8）,

/.•/■,i<J+1I-I1/1\工［。〈彳十D—1］一工［ox-（l一加［

〈金十1厂n+1\二一1八公十1/G?;+1；Gz十1）

①当时，由工+1>0