清单14 导数的综合问题（9个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）

清单14导数的综合问题（9个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【考点精讲】考点1：构造函数解不等式问题例1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第七中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．例2．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．例3．（2023·四川乐山·高二校考期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）

A． B．C． D．考点2：证明不等式例4．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知函数．(1)判断函数的单调性；(2)证明：当x＞0时，．例5．（2023·辽宁大连·高二统考期末）已知函数（R，为自然对数的底数），．(1)讨论的单调性；(2)若，证明：当时，．例6．（2023·广西河池·高二统考期末）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)求证：．考点3：恒成立问题例7．（2023·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知函数，其中(1)当时，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值.例8．（2023·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知函数，的图象在点处的切线方程为，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线，其中为自然对数的底数.(1)求函数的解析式及的值；(2)若对于任意恒成立，求整数的最大值.参考数据：，例9．（2023·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．考点4：能成立问题例10．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知函数．(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(2)若函数，对，，使得成立，求实数的取值范围．例11．（2023·四川眉山·高二校联考阶段练习）已知函数．(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；(2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．例12．（2023·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知.(1)求函数的最小值；(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；考点5：零点问题例13．（2023·广东梅州·高三校考阶段练习）已知曲线C：(1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；(2)若，讨论的零点个数．例14．（2023·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考期中）已知函数(1)当时，求函数的极值(2)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围例15．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的图象在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数有零点，求实数a的取值范围．考点6：方程的根问题例16．（2023·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数(1)判断的单调性并求极值；(2)讨论解的个数．例17．（2023·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若方程有三个根，求的取值范围．例18．（2023·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若.(1)当时，求的单调区间；(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.考点7：双变量问题问题例19．（2023·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）设函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.例20．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．例21．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．例22．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．考点8：实际应用问题例23．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，现有一块边长为的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积是截下的小正方形边长的函数．

(1)写出函数的解析式．(2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少？例24．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）某汽车公司生产一种品牌汽车，上年度成本价为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5万辆．本年度公司为了进一步扩大市场占有量，计划降低成本，实行降价销售．设本年度成本价比上年度降低了，本年度出厂价比上年度降低了．(1)若本年度年销售量比上年度增加了倍，问在什么取值范围时，本年度的年利润比上年度有所增加？(2)若本年度年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？例25．（2023·全国·高二随堂练习）如图所示，现要建一条高速公路连接城市A与城市B，且B在一条旧公路尽头，A距旧公路最近的点C的距离为40公里，B，C之间的距离为90公里．如果新建高速公路的成本为每公里300万元，将旧公路改造成高速公路的成本为每公里200万元．试判断高速公路怎样建才能使得成本最低．

例26．（2023·四川眉山·高二校考阶段练习）某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数的边际函数定义为．(1)求利润函数及边际利润函数；（提示：利润＝产值－成本）(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？考点9：极值点偏移问题例27．（2023·河南平顶山·汝州市第一高级中学校考模拟预测）已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．例28．（2023·辽宁丹东·统考模拟预测）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．例29．（2023·江苏苏州·高二江苏省震泽中学校考阶段练习）设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．例30．（2023·重庆·高三统考期末）已知函数有两个不同的零点.(1)求的最值；(2)证明：.【提升练习】1．（2023·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（

）A． B．（0，）C．（，+∞） D．4．（2023·天津·高二校联考期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．（2023·河南郑州·高二校联考期中）设函数.(1)若，求在处的切线方程；(2)讨论的单调性.(3)当时，证明：6．（2023·四川绵阳·高二统考期中）已知函数．(1)求函数在区间的最值；(2)当时，证明：．7．（2023·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知函数，其中．(1)讨论函数零点个数；(2)求证：．10．（2023·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)证明：.11．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）函数，是的导函数：(1)求的单调区间；(2)证明：．12．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时，在恒成立，求的最大值.13．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习）设为实数，函数，．(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围．14．（2023·福建漳州·高二校考期中）已知函数．(1)若在处取得极大值27，求函数的极小值；(2)若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围．15．（2023·黑龙江大庆·高二校考期中）已知函数．(1)当时，若函数有个零点，求实数的取值范围；(2)已知且，且，，求实数的取值范围．16．（2023·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．17．（2023·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知函数为的导数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.18．（2023·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）已知函数．(1)求函数的极值点；(2)若函数有且只有两个零点，求实数的值．19．（2023·福建漳州·高二统考期末）已知函数.(1)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；(2)若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数的取值范围.20．（2023·广东东莞·高二统考期末）已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．21．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）已知函数．(1)求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．22．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)设，当，讨论的零点个数.23．（2023·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.24．（2023·四川雅安·高二雅安中学期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.25．（2023·北京·高二校考期末）已知函数，，．(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围；(3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围．26．（2023·湖南郴州·高二统考期末）已知（且），．(1)求在上的最小值；(2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．27．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）二十大报告中提出：全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展.小王大学毕业后决定利用所学专业回乡自主创业，生产某农副产品.经过市场调研，生产该产品需投入年固定成本4万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.