期末考前必刷卷03（范围：苏教版2019选择性必修第一册）（解析版）

期末考前必刷卷03（范围：苏教版2019选择性必修第一册）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线与直线互相平行，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，直线，直线与不平行，当时，，，解得，故选：A.2．若圆关于直线对称，则圆C的面积为（

）A．π B．2π C．4π D．6π【答案】B【解析】由题意圆的圆心在直线上，即，解得，所以圆的半径的平方为，面积为.故选：B.3．已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】明显数列和数列均为等差数列令，可得，则，则数列为等差数列，且，公差为，所以的前项的和为.故选：C.4．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，∵实数，在区间内，不等式恒成立，∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递减函数，故，∴，∴．故选：A.5．数列满足，，，则数列的前10项和为（

）A．51 B．56 C．83 D．88【答案】A【解析】数列满足，，，不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，所以数列的前10项和为：.故选：.6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】圆O：的圆心，半径为，因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，又圆O与直线l：相切，所以，则，故.所以双曲线的离心率为．故选:B．7．斐波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，已知在斐波那契数列中，，，，若，则数列的前2020项和为（

）．A．m－1 B． C． D．【答案】A【解析】由题，，则，.将以上各式相加可得，则，则.故选：A8．设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，，设，则不等式为，∵，∴在上是增函数，∴，即，令，则，当时，递增，时，递减，∴，∴，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为【答案】BC【解析】对于AC，，由，得，所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，对于BD，函数的定义域为，，由，得，解得，由，得，解得，所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，故选：BC10．已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为B．C．若，则直线经过定点D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为【答案】ACD【解析】因为拋物线，故的坐标为故A正确；由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误；若，故，即或（舍去），因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确；设过点的切线方程为，联立，所以，故或，所以方程的根为，故切线方程中分别为和，故，，可得直线，即，故D正确.故选：ACD.11．下列结论正确的是（

）A．已知点在圆上，则的最小值是-7B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为C．已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是【答案】CD【解析】对于A，令，即，因为点在圆上，则圆心到直线的距离，即，解得或，所以无最小值，故A错误；对于B，因为直线，则，解得，则其恒过定点，则，因为以为端点的线段相交，所以或，故B错误；对于C，因为点是圆外一点，所以，圆心到直线的，则与圆相交，故C正确；对于D，圆，圆，圆心距为，因为圆上恰有两点到点的距离为1，所以两圆相交，则，解得，故D正确；故选：CD12．设数列的前项和为，且，则（

）A．数列是等比数列 B．C． D．的前项和为【答案】ACD【解析】由已知，当时，可得选项A，，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的前项和为，若，则.【答案】12【解析】设，则，因为也成等差数列，所以，即，即，所以.故答案为：12.14．已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为.【答案】【解析】直线，即，所以直线过定点.直线，即，所以直线过定点.所以，由于，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：15．设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为.【答案】【解析】设，，则，，即，，即，当且仅当时等号成立，故，即，.故答案为：16．已知函数，若，则的最小值为.【答案】【解析】设，即，解得，所以，令，则，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．(1)求圆的标准方程；(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．【解析】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，故直线l的方程为或.18．（12分）高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值；(2)求该圆柱的体积的最大值.【解析】（1）设圆柱的半径为，高为，则由题意可得，解得，所以圆柱的侧面积为，，因为，当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为．（2）圆柱的体积为，求导，得，令，解得或（不合题意，舍去），当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取最大值，所以圆柱体的最大体积为．19．（12分）已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列.(2)求数列的前项和.【解析】（1）证明：因为，所以.又，所以，所以数列是等比数列，且首项为4，公比为2.（2）由（1）知，即，则.，，则，所以.20．（12分）如图，已知，，，直线．(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．【解析】（1）直线可化为，令，解得，故直线经过的定点坐标为；（2）因为，，，所以，由题意得直线方程为，故直线经过的定点在直线上，所以，设直线与交于点，所以，即，所以，设，所以，即，所以，，所以，将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为；（3）设关于的对称点，关于的对称点，直线的方程为，即，直线的方程为，所以，解得，所以，由题意得四点共线，，由对称性得，所以入射光线的直线方程为，即．21．（12分）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：；(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）证明：过N作l的垂线，垂足为H，且与圆弧AF交于点M，则，连接AM，PM，NF．因为在圆P中，，所以．由题易知右焦点，设点，则，整理得．因为，所以，所以．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线为双曲线的准线，根据双曲线的第二定义，可知，即，即得．】在圆P中，由相等弦长所对的圆心角相等，得，所以．（2）由题知双曲线，渐近线为：，右焦点为，直线PF的斜率不为0，设直线PF的方程为因为直线PF与C的左，右两支分别交于E，D两点，则．设，联立方程组，得，则．由题知，直线的方程为，令，得，所以直线DR过定点.22．（12分）已知函数的最小值为0，其中．(1)求的值；(2)若对任意的，