考点07 函数的单调性与最值4种常见考法归类（解析版）

考点07函数的单调性与最值4种常见考法归类考点一确定函数的单调性（一）判断函数的单调性（二）用定义证明函数的单调性（三）求函数的单调区间考点二函数单调性的应用（一）利用单调性比较大小（二）利用函数的单调性解抽象不等式（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（1）分式函数（2）二次函数（3）三次函数（4）对数函数（5）分段函数（6）与绝对值有关的单调性问题考点三函数的最值问题（一）利用函数单调性求最值（二）根据函数最值求参数（三）函数不等式恒成立问题（四）函数不等式有解问题考点四抽象函数的单调性问题1、函数单调性的判断方法：定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。具体如下：设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么①eq\f(Δy,Δx)＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；eq\f(Δy,Δx)＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.②增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．（2）性质法：①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝eq\f(1,f（x）)与y＝f(x)的单调性相反.③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.④若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有为增函数，2）为增函数，3）为减函数，4）为减函数。⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).（3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数随着的增大而增大随着的增大而增大随着的增大而减小随着的增大而减小增函数增函数减函数减函数（5）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.2、函数单调性的应用（1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。比较函数值的大小，常由函数的奇偶性、周期性等，将自变量转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性，通过比较自变量的大小来比较其函数值大小.（2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．注：自变量的大小关系和函数值的大小关系可正逆互推，即若f(x)是增(减)函数，则f(x1)＜f(x2)⇔x1＜x2(x1＞x2).在解函数不等式时，可以利用函数单调性的“可逆性”，“脱去”函数符号f，化为一般不等式求解，但运算必须在定义域内或给定的范围内进行.（3）利用函数单调性求参数的取值范围．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，注意：“单调区间”与“在区间上单调”的区分(1)函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．(2)单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间．3、求函数最值(值域)的五种常用方法及注意点(1)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值；(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．注：(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域；(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．4、函数最值的重要结论(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.5、抽象函数的单调性（1）所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．（2）一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·eq\f(x2,x1))即可．6、常见抽象函数及其原型(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋m，原型为一次函数f(x)＝kx＋b.(2)f(x＋y)＝f(x)·f(y)，原型为f(x)＝ax(a>0，且a≠1).(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)，原型为f(x)＝logax(a>0，且a≠1).(4)f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)(f(0)≠0)，原型为f(x)＝cosx.考点一确定函数的单调性（一）判断函数的单调性1．（2023·四川·高三统考对口高考）在定义域内单调递减的函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可.【详解】函数在定义域上单调递减，故A符合；函数在定义域上单调增，故B不符合；函数在定义域上不是单调函数，故C不符合；函数在定义域上单调递增，故D不符合.故选：A.2．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以不符合题意.对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意.故选.3．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）下列各项中，既是奇函数，又是增函数的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由函数的奇偶性可知，函数为非奇非偶函数，函数为偶函数，故排除选项A，B选项；由幂函数的单调性可知，函数在和上单调递减，故排除选项C，因为函数为奇函数，且单调递增，故选：C.4．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；对于B，设，函数的定义域为R，且满足，所以函数为偶函数，当时，为单调递增函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，且满足，所以函数为奇函数，又函数在上单调递减，故D不符合题意.故选：B.5．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市实验中学校联考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，根据奇偶性的定义及利用导数判断函数的单调性，即可判断D.【详解】对于A，是正切函数，是奇函数，但在上不具有单调性，不符合题意；对于B，，则，解得，即函数的定义域为，不符合题意；对于C，，在上单调递减，不符合题意；对于D，设，其定义域为，有，为奇函数，而，在上为增函数，符合题意．故选：D．6．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．是偶函数且是增函数 B．是偶函数且是减函数C．是奇函数且是增函数 D．是奇函数且是减函数【答案】C【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，AB错误，因为函数在R上递增，则函数在R上递减，所以函数是增函数，D错误，C正确.故选：C（二）用定义证明函数的单调性7．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数.(1)求的解析式;(2)判断并证明函数在上的单调性.【答案】(1)(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）根据代入，即可求得的解析式；（2）先判断的单调性，再利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）由题意得,解得,.（2）在上单调递增,证明如下:设任意,则由,得,,即,故在上单调递增.8．（2023·全国·高三阶段练习）已知奇函数的定义域为(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)a=1，b=3；(2)详见解析；(3)【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解；（2）利用函数单调性定义证明；（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.（1）解：因为函数是奇函数，所以，即，即，即，整理得，所以，即，则，因为定义域为关于原点对称，所以b=3；（2）在上递增.证明：任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以在上递增；（3）因为，所以，又当时，恒成立，所以，时恒成立，令，则，时恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.9．（2023·高三课时练习）已知函数（）.(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；(2)用定义证明函数在上是严格增函数；(3)如果当时，函数的值域是，求与的值.【答案】(1)，是奇函数(2)证明见解析(3)，【分析】（1）解即可得函数定义域吗，再根据对数运算，结合奇函数的概念判断即可；（2）结合对数函数单调性，根据函数单调性的定义证明即可；（3）由题知且在上的值域是，进而得且，再解方程即可得答案.【详解】（1）解：令，解得，所以.对任意，，所以函数是奇函数.（2）解：设，且，则.因为，，，所以，得.又，于是，即，所以函数在上是严格增函数.（3）解：由（2）知，函数在上是严格增函数.因为时，的值域是，所以且在上的值域是，因为在上单调递减，所以，且，所以，由，得，解得或（舍去），所以，.（三）求函数的单调区间10．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高三校考开学考试）如图是函数的图象，则函数的减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的，结合函数图象即可得解，需注意的是函数在两个区间上单调递减，不能写成并集的形式；【详解】解：若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，则对应的减区间为，，故选：D．11．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，求出不等式的解后可得其增区间.【详解】的定义域为，而，令，则，而，故，故的增区间为.故选：A.12．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增，故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．【详解】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选D．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．14．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数中，由得或，则的定义域为，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递减区间为.故选：B15．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数．关于函数的单调性，下列判断正确的是（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】A【分析】利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令，函数可化为为，因为函数开口向上，对称轴为，即.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，又因为在上单调递减，由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增.故选：.16．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C17．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.【详解】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是.故选：A18．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.考点二函数单调性的应用（一）利用单调性比较大小19．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为，又因为，所以，故选：.20．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，利用导数得出其在，上单调递减性，从而可得，由此得出答案.【详解】；设，；时，；则在，上单调递减；；即；．故选：D21．（2023·高三课时练习）若函数在上是严格减函数，则下列各式成立的是（

）A．； B．；C．； D．．【答案】C【分析】取特殊值排除ABD，证明结合单调性得到B正确，得到答案.【详解】对选项A：取，则，不成立；对选项B：取，则，不成立；对选项C：，故，函数单调递减，故，成立；对选项D：取，则，不成立；故选：C22．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）已知函数(为自然对数的底数)，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断函数的单调性，比较的大小关系，利用单调性即可求解.【详解】，，所以，又因为函数在上单调递减，所以，故选：.23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则以下结论正确的是A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以函数的单调递减函数，又因为，即，所以由函数的单调性可得：，应选答案D．24．（2023·重庆·统考模拟预测）设函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论．【详解】解函数，当时，由和在定义域上单调递减，所以在上单调递减，当时，单调递减，又因为，函数在上单调递减，，，，.故选：D．25．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用其单调性判断即得．【详解】设，易知在上单调递增，∵，∴，∴，故A错误，B正确；又，当时，，此时，有，当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.（二）利用函数的单调性解抽象不等式26．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义域和单调性得到，解得答案.【详解】函数是定义域为的减函数，因，故，解得，故选：C27．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合函数性质分析可得或，求解即可【详解】由题意，在单调递增，且故或解得：故选：D28．（2023春·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围.【详解】画出的图象，如下：显然要满足，则要，且，解得：.故选：C29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据在R上单调递增可求解.【详解】易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.故选：A．30．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）．A． B．或C． D．【答案】D【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.31．（2023秋·河北秦皇岛·高三校考期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)【答案】A【分析】先判断函数单调性，然后利用其单调性解不等式.【详解】解：当时，，其对称轴为且函数图像开口向上，所以在上为增函数，且当时，，其对称轴为且函数图像开口向下，所以在上为增函数，且，所以在上为增函数，因为，所以，解得，故选：A【点睛】此题考查了分段函数的单调性，由函数的单调性解不等式，属于基础题.（三）利用函数的单调性求参数的取值范围（1）分式函数32．（2023秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的最小值为____________．【答案】【分析】由以及复合函数的单调性可得，再根据可求出结果.【详解】因为在区间上单调递增，所以，即，因为，所以的最小值为.故答案为：.33．（2023·浙江杭州·模拟预测）设，则“”是“函数在为减函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据为单调减函数解出的范围，即可判断得结果.【详解】由题意可得为减函数，则，解得.因为推不出，，所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，故选：B34．（2023·全国·高三专题练习）函数在上是减函数，则实数的范围是_______.【答案】【分析】转化原函数为，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解【详解】函数，定义域为，又，因为函数在上是减函数，所以只需在上是减函数，因此，解得.故答案为：（2）二次函数35．（2023秋·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的开口方向及对称轴，可确定函数单调性，从而可得【详解】解：函数为二次函数，对称轴为直线，且二次函数开口向下，则的增区间为，减区间为；故若函数在上是减函数则.故选：A.36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：．37．（2023秋·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围.【详解】的图像的对称轴为，因为函数在区间上时单调函数，所以或，得或，即的取值范围是，故选：D38．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若对于任意，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】依题意等价于，令，则在单调递增，再利用一元二次函数的单调性进行求解.【详解】因为，所以可化为，即，令，即在单调递增，当时，在单调递增，当时，则或，解得或，综上所述，，即的最小值为.故选：B.39．（2023秋·江苏扬州·高三江苏省高邮中学校考开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】根据的范围去绝对值，再根据二次函数的单调性，即可求解.【详解】，时，，时，=.①当即时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意;②当，即时，函数在单调递增，③当即时，此时函数在单调递减，在单调递增，不符合题意;④当即时，此时函数在单调递增，⑤当时，函数在单调递减，不符合题意，函数在处，函数连续，综合②④可知，函数在区间单调递增，则.故答案为：（3）三次函数40．（2023春·北京·高三北京八十中校考期中）已知函数，则“”是“f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若f（x）在R上单调递减，则恒成立，则，a的取值范围包含，可判断“”是“”的充分不必要条件【详解】，若a<0，则恒成立，所以f（x）在R上单调递减，若f（x）在R上单调递减，则恒成立，则，所以“”是“f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件，故选：A41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.【详解】由，得．因为在，上单调递增，在上单调递减，所以方程的两个根分别位于区间和上，所以，即解得.故选：A．（4）对数函数42．（2023秋·湖北·高三校联考期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数及二次函数的单调性可得，进而即得.【详解】因为函数在上单调递增，又函数在上单调递增，所以在上单调递增，且，所以，解得.故选：B.43．（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可.【详解】令，当时，是增函数，由在区间上为减函数，则在上为减函数，故，解得，当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得，综上，的取值范围是.故答案为：44．（2023春·四川成都·高三校考阶段练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分和分析函数内外层的单调性，列不等式求解【详解】函数在区间内有意义，则，设则，(1)当时，是增函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递增，则需使，对任意恒成立,即对任意恒成立；因为时，所以与矛盾，此时不成立.(2)当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B45．（2023秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，则的取值范围为.故选：B46．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足，，则的值是_______【答案】【分析】通过变形得到，可构造函数，利用单调性得到，结合条件可得的值.【详解】,,,令，明显为单调递增函数，，，，.故答案为：.（5）分段函数47．（2023秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知f（x）=是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.【答案】【分析】根据分段函数每段递减以及左边一段的最低点不低于右边一段的最高点，列不等式组求解即可.【详解】解：由f（x）=是定义在R上的减函数可得，解得，即a的取值范围是故答案为：48．（2023秋·宁夏固原·高三隆德县中学校考期中）函数，在定义域上满足对任意实数都有，则的取值范围是____________．【答案】【分析】确定函数单调递减，再根据分段函数的单调性得到不等式，解出答案.【详解】根据题意函数在上单调递减，故满足，解得.故答案为：49．（2023秋·河南郑州·高三校考期末）函数在R上单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出在R上单调递减的的范围，则充分不必要条件为的非空真子集.【详解】函数在R上单调递减，则，解得：，则在R上单调递减的一个充分不必要条件为的非空真子集，所以A正确，故选：A.50．（2023秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知函数(且)是R上的单调函数，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性可得或，即得.【详解】因为(且)是R上的单调函数，若是R上的单调递增函数，则，解得；若是R上的单调递减函数，则，解得；综上，a的取值范围是.故选：B.51．（2023·四川·模拟预测）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；当时，函数图象的对称轴为，当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，当时，函数在区间上单调递增，要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为．故选：A（6）与绝对值有关的单调性问题52．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.故选：A53．（2023·全国·高三专题练习）若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围.【详解】函数的图像关于对称，所以当，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大.要使函数在区间上都是严格减函数，只需；要使在区间上都是严格减函数，只需；故a的范围为.故选：D54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数），若在区间上是增函数，则的取值范围是__________.【答案】

【详解】令，则在区间上单调递增，在区间上单调递减.又函数在上单调递增，所以有，即，所以的取值范围是.【点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如对称轴与单调性之间关系.考点三函数的最值问题（一）利用函数单调性求最值55．（2023秋·山西阳泉·高三统考期末）已知函数在区间上的最小值为，最大值为，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】首先求出函数的最大值及单调区间，依题意可得在区间上单调递增，即可得到，从而得到、为方程的两根，再利用韦达定理计算可得.【详解】解：因为，对称轴为，开口向下，函数在上单调递增，在上单调递减，依题意，所以，所以在区间上单调递增，所以，即，所以、为方程的两根，所以.故选：A56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最大值为______．【答案】【分析】利用分段函数的单调性可得结果.【详解】解：时，单调递增，；时，单调递减，.所以的最大值为．故答案为：．57．（2023秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知函数是上的偶函数(1)求实数的值，判断函数在,上的单调性；(2)求函数在,上的最大值和最小值．【答案】(1)，单调递增(2)最小值，最大值【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得，再根据函数单调性的定义可判断函数在,上的单调性.（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断在,上的单调性，利用单调性可求得函数最值.【详解】（1）若函数是上的偶函数，则，即，解得，所以，函数在上单调递减．（2）由（1）知函数在上单调递减，又函数是上的偶函数，所以函数在,上为增函数，所以函数在,上为增函数，在,上为减函数．又所以（二）根据函数最值求参数58．（2023秋·山东枣庄·高三统考期末）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.【答案】3【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.【详解】∵函数，由复合函数的单调性知，当时，在上单调递减，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为，即，显然不合题意，故实数.故答案为：359．（2023·上海徐汇·统考二模）已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围.【详解】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减（i）当时，在上单调递增，所以，则，，所以，，，，，，或或；（ii）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，；综上，的取值范围为.故答案为：60．（2023·全国·高三专题练习）已知函数最小值为，则____________．【答案】【分析】本题首先可通过函数有最小值得出，然后通过基本不等式得出，最后通过函数最小值为求出，通过检验即可得出结果.【详解】因为函数有最小值，所以，因为，所以，因为函数最小值为，所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意，故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.61．（2023·高三课时练习）已知函数有最小值，则实数a的取值范围是______.【答案】【分析】化简函数，去绝对值后，根据函数有最小值得出函数的变化趋势，即可求出实数a的取值范围.【详解】解：由题意，在中，∵函数有最小值，∴函数应在上单调递减，在上单调递增或常函数，∴，解得：，∴有最小值时，实数a的取值范围是.故答案为：.62．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.【详解】若时，，；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.故选：B【点睛】关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键.63．（2023·全国·高三专题练习）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】当时，结合不等式求得其最小值为，当时，，根据函数的最小值为，列出不等式组，即可求解.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；即当时，函数的最小值为，当时，，要使得函数的最小值为，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：A.（三）函数不等式恒成立问题64．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.【详解】因为对任意的，都有恒成立，∴对任意的恒成立．设，，，当，即时，，∴实数a的取值范围是.故选：D.65．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．【答案】【分析】由均值不等式“1”的代换求出，则，解不等式即可求出答案.【详解】解析：由题，则，∴，解得:．故答案为：.66．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．【答案】【分析】令，将原指数度等式的问题可转化成二次函数的问题进行处理.【详解】，令，由于，根据指数函数性质，，于是问题转化为：时，恒成立，下只需求时的最大值.根据二次函数性质可知，当时递减，上递增，而端点和相比距离对称轴更远，故，于是.故答案为：67．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】【分析】先对进行分类讨论，当时，时，，不符合题意舍去；当时，在单调递增，可求出最大值为，解不等式，即可得出a的取值范围.【详解】由题意可知只需求出的最大值，再解不等式即可，当时，时，由指数，对数函数图像可知，，，所以，则在上恒成立不符，舍去；当时，因为在单调递增，在单调递增，所以在