开学自我检测03（难）（解析版）

开学自我检测03（难）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果.【详解】由得，则；当时，，所以；所以.故选：.2．已知复数，，，，并且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到关于的关系式，再根据的范围，结合二次函数图像与性质即可得解.【详解】因为，，，所以，消去，得，则，因为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以.故选：D.3．已知函数及其导数满足，则的图象在点处的切线斜率为（

）A．4 B． C．12 D．【答案】D【分析】由导数的四则运算求，将代入即可得对应点斜率.【详解】由题设，则，可得，故的图象在点处的切线斜率为.故选：D4．若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值.【详解】，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，，由，，得，，故选：A．5．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该木楔子的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，取的中点O，连接，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，则由题意等腰梯形全等于等腰梯形，则.取的中点O，连接，因为，所以，则，∴.因为，，所以，因为四边形为正方形，所以，又因为，平面，所以平面，所以平面，同理可证平面，∴多面体的体积，故选：D.6．已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示，并求其值.【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，直线的方程为，联立，消得，设，则，所以，圆的圆心坐标为，半径为1，由已知可得，所以

故选：A.7．记的内角，，的对边分别为，，，且，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用数量积的定义与正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式以及三角函数的有界性求解即可.【详解】的内角，，的对边分别为，，，且，，，由正弦定理可得，所以，由可得，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：D.8．已知，，，则下列说法正确的是（

）A．当时，函数的图象和函数的图象有两个公共点B．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点C．当或时，函数的图象和函数的图象没有公共点D．当时，函数的图象和函数的图象只有一个公共点【答案】A【分析】根据给定条件，构造函数，把两个函数图象公共点个数转化为函数零点个数求解.【详解】令，因此函数零点个数即为函数和的图象公共点个数，求导得，当时，由，得，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，由求导得：，当时，，函数递减，，因此当时，，而当，时，函数递减，取值集合是，则当，时，函数取值集合为，当，时，，二次函数图象开口向下，当时，（表示数中最小的），函数在上的取值集合为，于是当，时，函数取值集合为，从而当时，函数的值域为，由，得，函数有两个零点，A正确；而，即，显然当或时，函数有两个零点，CD错误；当时，，函数无零点，B错误.故选：A【点睛】思路点睛：涉及两个函数图象交点问题，构造这两个函数的差函数，转化为求函数零点问题即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（

）

A．这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多B．这6年我国社会物流总费用的分位数为14.9万亿元C．这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为D．2022年我国的GDP超过了121万亿元【答案】AD【分析】由图表逐项判断可得答案.【详解】由图表可知，20182022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故A正确；因为，则分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万亿元，故B错误；由图表可知，2017−2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C错误；由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D正确.故选：AD.10．已知在数列中，，，则下列说法正确的是（

）A． B．可能是等差数列C． D．若，则是递增数列【答案】BD【分析】令即可判断A，当时，利用等差数列的定义即可判断B，令即可验证C，利用数列单调性的定义证明即可判断D.【详解】选项A，令时，，即，故选项A错误；选项B，当时，，由此可知数列为首项为，公差为的等差数列，故选项B正确；选项C，当时，，与已知条件矛盾，故选项C错误；选项D，由选项B可知，时数列是递增数列，当且时，，，，，，将这个式子叠加得，即，则所以，所以当且时，数列是递增数列，即，则是递增数列，故选项D正确；故选：BD.11．已知函数满足，则下列结论正确的是（

）A．B．C．为偶函数D．曲线在处的切线斜率为【答案】BCD【分析】利用三角恒等变换化简，由已知条件可求得和的值，从而判断；可得解析式，计算即可判断；计算即可判断C；利用导数的几何意义即可判断.【详解】由题，，则又，所以，则，由知，是函数的最大值，所以解得又，所以取，得，故错误；所以则，故正确；，显然为偶函数，故正确；即曲线在处的切线斜率为，故正确.故选：12．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（

）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长半轴长为【答案】AC【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点的坐标，列出方程计算判断D作答.【详解】对于A，由，得，则，当三点共线时取等号，A正确；对于B，由点在椭圆内部，得，则，有，椭圆的短轴长大于2，B错误；对于C，因为，且，于是，即，解得，即，因此，椭圆的离心率的取值范围为，C正确；对于D，由，得为线段的中点，即，则，又，即，解得，则，椭圆的长半轴长为，D错误.故选：AC

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为．【答案】【分析】根据投影向量的定义可得，根据数量积的运算律求，进而可求向量夹角.【详解】由题意可知：，因为在上的投影向量为，所以，可得，，，所以，故答案为：.14．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的的值是.【答案】4（答案不唯一，满足即可）【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为，根据的范围即可求解.【详解】展开式的通项公式为令，得,故令则故答案为：.15．已知二面角的大小为，该二面角内一点到、的距离分别为和，则到的距离为．【答案】/【分析】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、，分析可知二面角的平面角为，设，根据结合同角三角函数的平方关系求出的值，可求得的长，即为所求.【详解】设点在平面、内的射影为分别为、，过点在平面内作，垂足为点，连接、，

由题意可知，，因为，，则，因为，，、平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，则，又因为，、平面，所以，平面，因为过点的平面中有且只有一个平面与直线垂直，故、、、四点共面，因为平面，所以，，故二面角的平面角为，设，则，因为，，则，同理，则，即，即，即，所以，，所以，，解得，故.即点到直线的距离为.故答案为：.16．数列中的所有项排成如下数阵：已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，，，成等差数列，且，，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列．①；②在第列；③；④．以上正确结论的序号是．【答案】①③④【分析】根据已知条件，按照行和列的顺序分别推理，可判断，可利用行和列的通项，判断单调性，求解出对应的最大最小值，比较即可判断，利用等差等比的通项公式推导可判断．【详解】解：对，第一列数，，，成等差数列，且，，，故，正确；对，第一行共有项，第二行共有项，第三行共有项，，第行共有项，所以前一行共有项，前二行共有项，前三行共有项，，前行共有项，前行共有项，而，位于第行列，错误；对，第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，第行的数构成以为首项，公比为的等比数列，，正确；对，第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：，，令，，当时，单调递减，又，，令，在上单调递增，，成立，正确．故答案为：．【点睛】关键点定睛：解题的关键点是类比推理，数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列及项数.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．(1)求数列，的通项公式；(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．【答案】(1)(2)682【分析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，然后根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式列方程组可求出，从而可求出数列，的通项公式；（2）设数列的第项与数列的第项相等，则可得，，，得，然后可列举数列的前5项，从而可求得结果.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为则，解得，所以，因为，所以，则，所以，因为，所以，，所以．（2）设数列的第项与数列的第项相等，则，，，所以，，，因为，，所以当时，，当时，，则，当时，，当时，，则，当时，，当时，，则，当时，当时，，则，当时，当时，，则，故的前5项之和．18．已知在锐角中，角所对应的边分别为.在下列三个条件：①，且；②；③中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）(1)求角；(2)若，求内切圆的半径.【答案】(1)选择见解析，(2)【分析】（1）选择条件①，根据向量平行的坐标公式结合三角恒等变换化简即可；选择条件②③，根据正余弦定理结合三角恒等变换化简求解即可；（2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，进而根据等面积法可求内切圆半径.【详解】（1）选择条件①，因为，且，所以，即，所以，由为锐角三角形可知，则，故，可得.选择条件②，因为，由余弦定理可得，由正弦定理可得，在三角形中，可知，则，即，因为三角形中，可知，故.选择条件③，因为，所以，即，由正弦定理可得，根据余弦定理可得，由中，，故.（2）因为，所以，由余弦定理可得，解得，设内切圆的半径为，因为，所以，即内切圆的半径为.19．已知双曲线与点.(1)求过点的弦，使得的中点为；(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.【详解】（1）双曲线的标准方程为，所以，，设存在过点的弦，使得的中点为，设，，，，两式相减得，即，得：，，经检验，存在这样的弦，方程为；（2）设直线方程为，则点在直线上，则，所以直线的方程为，设，，的中点为，，，两式相减得，则，则，又因为在直线上有，解得，，解得，，整理得，则，则，由距离公式得，所以、、、四点共圆.20．已知函数.(1)若在恒成立，求a的取值范围；(2)若，求证：函数的图象在函数图象的下方.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数最小值即可求解；（2）构造，利用导数法求出函数的最小值大于零，即可得证.【详解】（1）当时，，因为在恒成立，所以在恒成立，记，则，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最小值，所以，即；（2）当时，，定义域为，令，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，函数取得最小值，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以函数的图象在函数图象的下方，得证.21．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证；法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，又平面，平面，平面平面，又平面，由题设知四边形为菱形，，分别为中点，，又平面平面.法二：由平面，平面，又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则又平面平面.法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为

，即不妨取，则，则所以平面的一个法向量为，，，平面（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）点到F到平面的距离=（3）设，则，；由（1）知：平面平面的一个法向量（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面的法向量，则，令，则；，令，则；，即锐二面角的余弦值的取值范围为.22．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的