核心考点02三角函数（解析版）

核心考点02三角函数目录考点一：正弦函数的图象考点二：正弦函数的定义域和值域考点三：正弦函数的单调性考点四：正弦函数的奇偶性和对称性考点五：余弦函数的图象考点六;余弦函数的定义域和值域考点七：余弦函数的单调性考点八：余弦函数的对称性考点九：正切函数的图象考点十：正切函数的定义域和值域考点十一：正切函数的单调性和周期性考点十二：正切函数的奇偶性与对称性考点十三：五点法函数y＝Asin（ωx+φ）的图象考点十四：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换考点十五：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式考点考向考点考向一．正弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ二．正弦函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．三．正弦函数的单调性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．四．正弦函数的奇偶性和对称性【正弦函数的对称性】正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．五．余弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ六．余弦函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．七．余弦函数的单调性三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．八．余弦函数的对称性【余弦函数的对称性】余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．九．正切函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ十．正切函数的定义域和值域【知识点的知识】三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．【正切函数的值域】正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．十一．正切函数的单调性和周期性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．【正切函数的周期性】正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．十二．正切函数的奇偶性与对称性【知识点的知识】三角函数的奇偶性、周期性和对称性1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．十三．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象【知识点的知识】1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：（1）先确定周期T＝，在一个周期内作出图象；（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：x﹣﹣+﹣ωx+φ0π2πy＝Asin（ωx+φ）0A0﹣A0由此可得五个关键点；（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．2．振幅、周期、相位、初相当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan（ωx+φ）的最小正周期为．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．十四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．十五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的知识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．考点精讲考点精讲一．正弦函数的图象（共4小题）1．（2022春•杨浦区校级期中）设函数f（x）＝sinx，x∈[a，b]，值域为，则以下结论错误的是（）A．b﹣a的最小值为 B．a不可能等于，k∈Z C．b﹣a的最大值为 D．b不可能等于，k∈Z【分析】对a，b进行赋值，进行排除．【解答】解：若a＝，b＝，k∈Z，则b﹣a取最小值为，A对，若a＝，b＝，k∈Z，则b﹣a取最大值为，C对，若a＝，k∈Z，则sina＝﹣，若存在x∈[a，b]，使f（x）＝﹣1，则存在x∈[a，b]，使f（x）＝1，与值域矛盾，则a不可能等于，k∈Z，B对，若a＝，b＝，则值域为，则D错，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图像进行求值，属于基础题．2．（2022春•黄浦区校级期中）函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为．【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数＝﹣2sin（3x﹣），故T＝，所以函数的图像的两条相邻对称轴间的距离为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数在区间上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（，6]．【分析】由题意利用正弦函数的图象特征，可得关于ω的不等式，即可求得实数ω的取值范围．【解答】解：函数在区间上有且仅有两个零点，即sin（ωx+）＝﹣在区间上有且仅有两个根．在区间上，ωx+∈（，+），∴+∈（，2π+]，求得＜ω≤6，即ω的取值范围是（，6]．故答案为：（，6]．【点评】本题主要考查正弦函数的图象，考查运算求解能力，属于中档题．4．（2022春•长宁区校级期中）设O为坐标原点，定义非零向量的“跟随函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），向量称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“跟随向量”．（1）写出函数f（x）＝2cosx+sinx的“跟随向量”的单位向量的坐标；（2）记的“跟随函数”为f（x），若函数，x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；（3）已知点M（a，b）满足a2﹣5ab+6b2+2＝0，（a≠0，b≠0），向量的“跟随函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，求此时tan2x0的取值范围．【分析】（1）由题意知＝（1，2），再计算，即可；（2）将f（x）＝cosx代入g（x）的解析式中化简可得g（x）＝，再根据正弦、余弦函数的单调性，即可得解；（3）结合辅助角公式和正弦函数的性质，推出x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，其中tanφ＝，利用正切的二倍角公式表示出tan2x0＝，令m＝，将a2﹣5ab+6b2+2＝0整理成系数与m有关的关于a的方程，并利用Δ≥0求得m的取值范围，再根据tan2x0＝＝在此范围内的单调性，得解．【解答】解：（1）由f（x）＝2cosx+sinx，知＝（1，2），所以||＝，其对应的单位向量为，坐标为（，）．（2）由题意知，f（x）＝cosx，所以＝cosx+|sinx|+1＝，所以g（x）在[0，），（π，）上单调递增，在（，π），（，2π]上单调递减，又g（0）＝2，g（）＝3，g（π）＝0，g（）＝3，g（2π）＝2，故要使函数g（x）在x∈[0，2π]与直线y＝k有且仅有四个不同的交点，则实数k的取值范围为[2，3）．（3）f（x）＝asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中tanφ＝，因为f（x）在x＝x0处取得最大值，所以sin（x0+φ）＝，所以x0+φ＝+2kπ，k∈Z，即x0＝﹣φ+2kπ，k∈Z，所以tanx0＝tan（﹣φ+2kπ）＝cotφ＝，故tan2x0＝＝＝，令m＝，则tan2x0＝，因为a2﹣5ab+6b2+2＝0，所以a2（1﹣5•+6•）+2＝0，即（6m2﹣5m+1）a2+2＝0，由Δ＝﹣8（6m2﹣5m+1）≥0，得≤m≤，而函数h（m）＝在m∈[，]上单调递减，所以h（m）max＝h（）＝﹣，h（m）min＝h（）＝﹣，即h（m）∈[﹣，﹣]，所以tan2x0的取值范围为[﹣，﹣]．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合应用，熟练掌握辅助角公式，二倍角公式，向量的模，以及三角函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．二．正弦函数的定义域和值域（共4小题）5．（2022春•闵行区期中）函数f（x）＝cos2x+sinx的值域是．【分析】函数f（x）＝cos2x+sinx变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求值域【解答】解：f（x）＝cos2x+sinx＝﹣2sin2x+sinx+1＝﹣2（sinx﹣）2+又sinx∈[﹣1，1]∴当sinx＝时，函数f（x）取到最大值为当sinx＝﹣1时，函数f（x）取到最小值为﹣2综上函数f（x）＝cos2x+sinx的值域是故答案为：【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题6．（2022春•徐汇区校级期中）函数的值域是．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．【解答】解：∵＝＝＝＝又∵∴故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的性质研究y＝Asin（ωx+φ）的性质．7．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝3sin2x+2sinxcosx+5cos2x．（1）若f（α）＝5，求tanα的值；（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f（x）在（0，B]上的值域．【分析】（1）把f（α）＝5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα（2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）＝2sin（2x+）+4，由可求．【解答】解：（1）由f（α）＝5，得．∴．∴，即，∴．（5分）（2）由，即，得，则，又∵B为三角形内角，∴，（8分）又＝＝（10分）由，则，故5≤f（x）≤6，即值域是[5，6]．（12分）【点评】本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题．8．（2022春•青浦区校级期中）已知函数f（x）＝sin2x，，若f（x）的值域是，则a的取值范围是[，]．【分析】由x∈[﹣，a]⇒2x∈[﹣，2a]，由f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，利用正弦函数的图象与性质可求得a的取值范围．【解答】解：∵x∈[﹣，a]，∴2x∈[﹣，2a]，∴f（﹣）＝sin（﹣）＝﹣，f（）＝sin＝﹣，f（）＝sin＝1，又f（x）＝sin2x的值域是[﹣，1]，∴≤2a≤，∴≤a≤，即a的取值范围是[，]．故答案为：[，]．【点评】本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查数形结合思想与作图分析的能力，属于中档题．三．正弦函数的单调性（共6小题）9．（2022春•浦东新区校级期末）函数，x∈R的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数，x∈R，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．10．（2022春•松江区校级月考）已知函数f（x）＝sin（x+）﹣．（1）若函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点之和．【分析】（1）求出函数f（x）的单调增区间，结合函数f（x）在区间[0，a]上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由f（x）＝0，求解x在[0，2π]上的值，即可得到函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点之和．【解答】解：（1）由，得．取k＝0，可得，∵函数在区间[0，a]上单调递增，∴实数a的取值范围是；（2）由，得，则或．又x∈[0，2π]，∴．即函数f（x）在区间[0，2π]上的所有零点是，故零点之和为．【点评】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，考查学生的运算能力，属于基础题．11．（2022春•杨浦区校级期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（）A． B． C．[﹣π，0] D．【分析】由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数，当x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函数没有单调性，故A不满足条件；当x∈[﹣，]，x+∈[﹣，]，函数单调递增，满足条件，故B满足条件；当x∈[﹣π，0]，x+∈[﹣，]，函数没有单调性，故C不满足条件；当x∈[﹣，]，x+∈[0，π]，函数没有单调性，故D不满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．12．（2022春•浦东新区校级月考）函数的单调递减区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ﹣]（k∈Z） B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z） D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由题意，利用诱导公式，正弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：对于函数＝﹣sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式，正弦函数的单调性，属于中档题．13．（2022春•杨浦区校级期中）定义函数f（x）＝cos（sinx）为“正余弦”函数．结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明2π为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：f（x+π）＝cos[sin（x+π）]＝cos（﹣sinx）＝cos（sinx）＝f（x）．可得：π也为函数f（x）＝cos（sinx）的周期．但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究f（x）＝cos（sinx）的单调性：函数f（x）＝cos（sinx）在是严格减函数，在上严格增函数，再结合f（x+π）＝f（x），可以确定：f（x）＝cos（sinx）的最小正周期为π．进一步我们可以求出该函数的值域了．定义函数f（x）＝sin（cosx）为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：（1）求“余正弦”函数的定义域；（2）判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；（3）探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域．【分析】（1）由y＝cosx的定义域，可得f（x）的定义域；（2）由函数的奇偶性的定义和三角函数的诱导公式，可判断；（3）结合题目所给思路，求得f（x）＝sin（cosx）得单调区间，最小正周期及值域．【解答】解：（1）因为y＝cosx的定义域为R，所以f（x）＝sin（cosx）的定义域为R；（2）f（x）在R上为偶函数，理由如下：f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝sin（cos（﹣x））＝sin（cosx）＝f（x），则f（x）为偶函数；（3）f（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]＝sin（cosx）＝f（x），y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，y＝sinx在区间[﹣1，1]上单调递增，所以f（x）＝sin（cosx）在[0，π]上单调递减；y＝cosx在区间[π，2π]上单调递增，y＝sinx在区间[﹣1，1]上单调递增，所以f（x）＝sin（cosx）在[π，2π]上单调递增，所以f（x）的最小正周期为T＝2π；当2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z时，y＝cosx递减，所以y＝sin（cosx）递减；当2kπ+π≤x≤2kπ+2π，k∈Z时，y＝cosx递增，所以y＝sin（cosx）递增．所以f（x）在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是严格减函数；在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z上是严格增函数，由x∈R，可得cosx∈[﹣1，1]，而[﹣1，1]⊆[﹣，]，所以sin（cosx）∈[sin（﹣1），sin1]＝[﹣sin1，sin1]，即f（x）的值域为[﹣sin1，sin1]．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，以及复合函数的单调性，考查转化思想和推理能力，属于中档题．14．（2022春•浦东新区校级期中）已知f（x）＝﹣sin（2x+）+1．（1）求函数y＝f（x）的单调增区间；（2）若关于x的不等式f（x）＜1﹣m对x∈[，]恒成立，求实数m的取值范围．【分析】通过正弦函数的单调性及值域可解决此题．【解答】解：（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得：kπ+≤x≤kπ+，∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ+，kπ+]，k∈Z；（2）∵x∈[，]，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴0≤f（x）≤+1，∵关于x的不等式f（x）＜1﹣m对x∈[，]恒成立，∴1﹣m＞+1，解得：m＜﹣．【点评】本题考查正弦函数的单调性及值域、恒成立问题、解不等式，考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．四．正弦函数的奇偶性和对称性（共4小题）15．（2022春•浦东新区校级期中）对于函数f（x）＝sin（2x+），下列命题：①函数图象关于直线x＝﹣对称；②函数图象关于点（，0）对称；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的．（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①把x＝﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x＝，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．【解答】解：①把x＝﹣代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正确；②把x＝，代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）＝sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数f（x）＝sin（2x+），正确；故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．16．（2022春•宝山区校级期末）已知f（n）＝sin，n∈Z，则f（1）+f（2）+f（3）+•••+f（2019）＝1+．【分析】先判断函数f（x）的最小正周期为8，求出f（1）+f（2）+f（3）+•••+f（8）的值，再根据f（1）+f（2）+f（3）+•••+f（2019）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）求解即可．【解答】解：∵f（n）＝sin，n∈Z，∴函数f（x）的最小正周期为＝8，∵f（1）＝sin＝，f（2）＝sin＝1，f（3）＝sin＝，f（4）＝sinπ＝0，f（5）＝sin＝﹣，f（2）＝sin＝﹣1，f（7）＝sin＝﹣，f（4）＝sin2π＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+•••+f（8）＝0，∴f（1）+f（2）+f（3）+•••+f（2019）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）＝0++1+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，利用函数的周期性求函数的值，属于中档题．17．（2022春•闵行区校级期中）若函数y＝sin2x+acos2x关于直线对称，则a＝﹣．【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求．【解答】解：因为y＝sin2x+acos2x＝sin（2x+θ）（θ为辅助角）关于直线对称，则＝﹣，解得a＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题．18．（2022春•杨浦区校级期中）若函数f（x）＝2sin（x+α）的图像关于直线对称，则α的一个可能的值为（答案不唯一）．【分析】由题意，利用正弦函数的图像的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（x+α）的图像关于直线对称，∴+α＝kπ+，k∈Z，即α＝kπ+，k∈Z，则α的一个可能的值为，故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查正弦函数的图像的对称性，属于基础题．五．余弦函数的图象（共5小题）19．（2022春•浦东新区校级月考）函数y＝cos[（x+φ）]（0＜φ＜π）是奇函数，那么常数φ的最大值为3．【分析】根据奇函数的性质建立方程求出φ的值即可．【解答】解：∵y＝cos[（x+φ）]＝cos（x+φ）是奇函数，∴φ＝kπ+，k∈Z，则φ＝2k+1，∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ＝1，当k＝1时，φ＝3，即φ的最大值为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查三角函数奇偶性的应用，利用三角函数是奇函数的定义求出φ的值是解决本题的关键，是基础题．20．（2022春•浦东新区校级期中）方程cosx＝log8x的实数解的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意利用余弦函数、对数函数的图象特征，得出结论．【解答】解：方程cosx＝log8x的实数解的个数，即函数y＝cosx的图象和函数y＝log8x的图象交点的个数．数形结合可得函数y＝cosx的图象和函数y＝log8x的图象（图中红色曲线）交点的个数为3，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数、对数函数的图象特征，属于中档题．21．（2022秋•浦东新区校级期末）设A（2，0）为平面上一定点，为动点，则当t由0变化到时，线段AP扫过的面积是．【分析】先求出当t＝0时，点P位于点C（﹣，），当t＝时，点P位于点D（，），再得到线段AP扫过的面积为S△AOD+S扇形OCD﹣S△AOC，求解即可．【解答】解：∵A（2，0）为平面上一定点，点为动点，|OP|＝1，则当t由0变化到时，当t＝0时，点P位于点C（﹣，），且∠xOC＝，当t＝时，点P位于点D（，），且∠xOD＝，∴∠COD＝﹣＝，∴|CD|＝，线段AP扫过的面积就是三角形CAD的面积与弓形的面积，即为S△AOD+S扇形OCD﹣S△AOC＝×2×+﹣×2×＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数值的求解，扇形与三角形的面积公式的应用，属于中档题．22．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正确的结论序号②③④．【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；由f（）＝1取得最大值，得出直线x＝是f（x）的一条对称轴，判断②正确；由f（）＝0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x＝﹣cos2x﹣sin2x＝﹣sin（2x+），其中x∈R：对于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+）＝sin（2x﹣）≠﹣f（x），∴函数f（x）不是奇函数，①错误；对于②，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝1为最大值，∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，②正确；对于③，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝0，∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），③正确；对于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正确．综上，正确的结论序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数的单调递减区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，a＝2，求b+c的取值范围．【分析】（1）首先利用三角函数的性质求出函数的关系式，进一步求出函数的单调递减区间；（2）利用正弦定理的应用和三角函数的关系式的变换求出函数的值域．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0）的最小正周期为π．故ω＝2，．所以g（x）＝cos（2x）﹣＝sin2x﹣＝2sin（2x﹣），令，（k∈Z），整理得：，（k∈Z），故函数的单调递减区间为，k∈Z；（2）由f（A）＝cos（2A）＝﹣，由于0＜A＜π；所以，且a＝2．故，所以＝＝，由于，所以，故；即b+c∈（2，4]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，解三角形问题的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．六．余弦函数的定义域和值域（共1小题）24．（2022春•杨浦区校级期中）函数y＝sin2x+2cosx在区间[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，则α的取值范围是[0，]．【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令t＝cosx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．【解答】解：由已知得，y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cos（﹣）＝﹣时，y＝﹣，当t＝1时，y＝2，又由x∈[﹣，α]可知cosx∈[﹣，1]，可使函数的值域为[﹣，2]，所以有a≥0，且a≤，从而可得a的取值范围是：0≤a≤．故答案为：[0，]．【点评】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．七．余弦函数的单调性（共2小题）25．（2022春•浦东新区校级期中）函数的严格增区间为（），（k∈Z）．【分析】直接利用余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：：令，（k∈Z），整理得：，（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：（），（k∈Z）．【点评】本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．26．（2022春•黄浦区校级期中）函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，f（x）的减区间为（）A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z【分析】根据函数图象求出ω和φ的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：由图像知＝﹣＝1，则T＝2，即＝2，得ω＝π，则f（x）＝cos（πx+φ），由五点对应法得+φ＝，得φ＝，则f（x）＝cos（πx+），由2kπ≤πx+≤2kπ+π，k∈Z，得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．八．余弦函数的对称性（共2小题）27．（2022春•长宁区校级期中）已知函数f（x）＝cos（2x+φ）（|φ|≤）的一个对称中心是（，0），则φ的值为﹣．【分析】根据三角函数的对称性，建立方程进行求解即可．【解答】解：∵f（x）的一个对称中心是，∴2×+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ﹣，k∈Z，∵|φ|，∴当k＝0时，φ＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性建立方程是解决本题的关键．比较基础．（多选）28．（2022春•宝山区校级月考）对于函数有（）A．y＝f（x）的图像关于点（，0）对称 B．y＝f（x）的图像过点（1，﹣） C．y＝f（x）的图像是由f（x）＝cos（πx）的图像向右平移个单位长度得到 D．y＝f（x）的图像关于直线对称【分析】利用余弦函数的图象和性质，结合数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：对于函数，当x＝时，f（x）＝0，故y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，故A正确；当x＝1时，f（x）＝﹣，故y＝f（x）的图象不过点（1，﹣），故B错误；由f（x）＝cosπx的图象向右平移个长度单位，可得y＝cos（πx﹣）的图象，故C错误；当x＝﹣时，f（x）＝﹣1，为最小值，故y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称，故D正确，故选：AD．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．九．正切函数的图象（共4小题）29．（2022•闵行区校级开学）方程，在[0，2π]内的解集是{，}．【分析】根据余弦函数的值，结合x的取值集合，即可求出方程在[0，2π]内的解集．【解答】解：方程，所以x+＝2kπ±，k∈Z解得x＝2kπ±﹣，k∈Z；又因为x∈[0，2π]，所以x＝或，所以方程在[0，2π]内的解集是{，}．故答案为：{，}．【点评】本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．30．（2022春•浦东新区校级月考）下列说法正确的是（）A．函数y＝sinx在第一象限内是严格增函数 B．函数y＝cosx的图像是中心对称图形 C．函数y＝tanx在其定义域中是严格增函数 D．函数是周期函数【分析】由题意，利用三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：根据函数y＝sinx的图象，可得函数y＝sinx在第一象限内没有单调性，故排除A；根据函数y＝sinx的图象，可得函数y＝cosx的图像是中心对称图形，故B正确；根据函数y＝tanx的图象，可得函数y＝tanx在其定义域中，不是单调函数，故排除C，函数＝f（x），不存在非零常数T，使得f（x+T）＝f（x）成立，故不是周期函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．31．（2022春•浦东新区校级期末）直线y＝a与函数f（x）＝tanωx（ω＞0，ω为常数）的两个相邻交点的距离是．【分析】由题意，利用正切函数的周期性，正切函数的图象，得出结论．【解答】解：直线y＝a与函数f（x）＝tanωx（ω＞0，ω为常数）的两个相邻交点的距离是一个周期，即，故答案为：．【点评】本题主要考查正切函数的周期性，正切函数的图象，属于基础题．32．（2022春•浦东新区校级期中）若函数y＝tan（ωx）在上为严格减函数，则实数ω的取值范围是（﹣2，0）．【分析】直接利用正切函数的性质的应用求出结果．【解答】解：令：ωx（k∈Z）；且y＝tan（ωx）在上为严格减函数；故，解得ω∈（﹣2，0）；故答案为（﹣2，0）．【点评】本题考查的知识要点：正切函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．一十．正切函数的定义域和值域（共3小题）33．（2022春•普陀区校级期中）函数y＝tan2x的定义域是{x|x≠+，k∈Z}．【分析】根据正切函数y＝tanα有意义的条件是α不等于kπ+，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围，即为所求函数的定义域．【解答】解：由2x≠kπ+，解得x≠+，则函数y＝tan2x的定义域是{x|x≠+，k∈Z}．故答案为：{x|x≠+，k∈Z}【点评】此题考查了正切函数的定义域，要求学生掌握正切函数的图象与性质，以及正切函数有意义的条件．34．（2022春•浦东新区校级期中）函数的定义域为．【分析】利用正切函数的定义域，直接求出函数的定义域即可．【解答】解|：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正切函数的定义域的求法，结果必须写成集合的形式，考查计算能力．35．（2022春•浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则＝（）A． B． C． D．﹣【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2是周期，利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，所以＝2，解得ω＝；所以f（x）＝tan（x+），所以f（）＝tan（+）＝tan＝．故选：A．【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．一十一．正切函数的单调性和周期性（共2小题）36．（2022春•奉贤区校级期中）已知函数y＝tanΩx在上是减函数，则（）A．0＜Ω≤1 B．﹣1≤Ω＜0 C．Ω≥1 D．Ω≤﹣1【分析】先根据函数f（x）在上是减函数可得Ω＜0且T≥π，可得答案．【解答】解：由题知Ω＜0，且周期，∴|Ω|≤1，即﹣Ω≤1，∴﹣1≤Ω＜0．故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的单调性问题．属基础题．37．（2022春•杨浦区校级期中）函数的单调增区间为．【分析】通过tanx的单调增区间，进而求出的单调增区间．【解答】解：∵tanx的单调增区间为（kπ﹣，kπ+）∴函数的单调增区间为kπ﹣＜x+＜kπ+，即kπ＜x＜kπ（k∈Z）故答案为（kπ，kπ）【点评】本题主要考查了正切函数的单调性．属基础题．一十二．正切函数的奇偶性与对称性（共1小题）38．（2021春•金山区校级期中）函数y＝tanx+1的对称中心为（，1），k∈Z．【分析】由题意利用正切函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y＝tanx+1，令x＝，可得它的对称中心为（，1），k∈Z，故答案为：（，1），k∈Z．【点评】本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．一十三．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共2小题）39．（2022春•杨浦区校级期中）将函数y＝sinx的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为（）A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+） C．y＝sin（+） D．y＝sin（+）【分析】按照左加右减以及伸缩变换，逐步求出变换后的函数的解析式即可．【解答】解：由题意，将函数y＝sinx的图象上每点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），可得y＝sin2x再把所得图象向左平移个单位，可得y＝sin[2（x+）]＝sin（2x+）故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，考查计算能力，属于基础题．40．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）若方程f（x）＝a在上有解，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数g（x），求g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）利用三角函数的图象与性质即可求出a的取值范围；（Ⅲ）求出函数横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式，再把所得函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，写出解析式，然后利用正弦函数的性质即可求解g（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）列表：x﹣2x+0π2πf（x）010﹣10描点连线画出函数f（x）在一个周期上的图象如图所示：…（5分）说明：其它周期上的图象同等给分；个别关键点错误酌情给分．（Ⅱ）∵，可得：2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∵方程f（x）＝a在上有解，∴实数a的取值范围为：[﹣，1]；…（8分）（Ⅲ）若f（x）图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数g（x），求．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数y＝sin（x+）的图象，再将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）＝sin（x﹣+）＝sin（x﹣）的图象，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，可得g（x）的单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．…（12分）【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查三角函数的化简，正弦函数的单调性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握y＝Asin（ωx+φ）的图象变换法则及方法是解答本题的关键，属于中档题．一十四．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共7小题）41．（2022春•浦东新区校级期末）将函数y＝3sin（2x﹣）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递减 B．在区间[，]上单调递增 C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，可得结论．【解答】解：将函数y＝3sin（2x﹣）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝3sin[2（x﹣）﹣]＝3sin（2x﹣﹣）＝﹣sin（2x+），在区间[，]上，2x+∈区间[，]，y＝﹣sin（2x+）是增函数；在区间[﹣，]上，2x+∈区间[0，π]，y＝﹣sin（2x+）不是增函数，也不是减函数，故选：B．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．42．（2022春•浦东新区校级期末）把函数y＝sin2x的图象沿着x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：（1）该函数的解析式为；（2）该函数图象关于点对称；（3）该函数在上是增函数；（4）若函数y＝f（x）+a在上的最小值为，则其中正确的判断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，的得出结论．【解答】解：把函数y＝sin2x的图象沿着x轴向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）的图象；再把纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）＝2sin（2x+）的图象，对于函数y＝f（x）＝2sin（2x+），故选项A不正确，故（1）错误；由于当x＝时，f（x）＝0，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；在上，2x+∈[，]，故f（x）该函数在[0，]上不是增函数，故（3）错误；在上，2x+∈[，]，故当2x+＝时，f（x）+a该函数在上取得最小值为﹣+a＝，∴a＝2，故（4）正确，故选：B．【点评】本题主要考查y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．43．（2022春•普陀区校级期末）设f（x）＝3sin（2x﹣φ），φ∈[0，π），将函数f（x）的图像左移个单位得到g（x）的图像，若对任意x∈R，都有g（﹣x）＝g（x），则φ＝．【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数奇偶性，求得φ的值．【解答】解：∵f（x）＝3sin（2x﹣φ），φ∈[0，π），∴将函数f（x）的图像左移个单位得到g（x）＝3sin（2x+﹣φ）的图像，若对任意x∈R，都有g（﹣x）＝g（x），即g（x）为偶函数，则﹣φ＝kπ+，k∈Z．令k＝0，可得φ＝，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数奇偶性，属于中档题．44．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若求f（x）的值域；（3）将函数f（x）图像向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）的图像，求函数y＝g（x）﹣1的零点．【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+），利用正弦函数的周期公式即可求解．（2）由已知可求范围2x+∈[，]，利用正弦函数的性质即可求解．（3）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x）的解析式，令y＝g（x）﹣1＝0，可得sin（2x﹣）＝，进而利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）若，则2x+∈[，]，可得sin（2x+）∈[﹣，1]，可得f（x）＝2sin（2x+）∈[﹣1，2]．（3）将函数f（x）图像向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的图像，令y＝g（x）﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1＝0，可得sin（2x﹣）＝，可得2x﹣＝2kπ+，k∈Z，或2x﹣＝2kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，或x＝kπ+，k∈Z，所以函数y＝g（x）﹣1的零点为：（kπ+，0）或（kπ+，0），k∈Z．【点评】本题考查了二倍角公式，两角和的正弦公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．45．（2022春•闵行区校级期中）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，且直线是其图像的一条对称轴．将函数y＝f（x）的图像向右平移个单位，再将所得的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图像对应函数记作y＝g（x），令函数F（x）＝f（x）+λg（x）．（1）求函数y＝g（x）的函数解析式；（2）求函数y＝F（x）的最大值及相对应的x的值；（3）若函数F（x）＝f（x）+λg（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，其中常数λ∈R，n∈N，n≥1，求常数λ与n的值．【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质进行求解即可；（2）根据二倍角余弦公式，根据二次函数的性质分类讨论进行求解即可求出函数y＝F（x）的最大值及相对应的x的值；（3）利用换元法，结合正弦函数的性质和一元二次方程根的分布分类讨论进行求解即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，∴，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），∵直线x＝﹣是f（x）＝sin（2x+φ）图象的一条对称轴，∴2×（﹣）+φ＝k（k∈Z），∴φ＝kπ+（k∈Z），∵0＜φ＜π，∴令k＝﹣1，则φ＝，即f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，∵函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得到图象对应函数记作y＝g（x），∴y＝g（x）＝sinx．（2）F（x）＝f（x）+λg（x）＝cos2x+λsinx＝1﹣2sin2x+λsinx，∴F（x）＝﹣2（sinx﹣）2++1，当﹣1≤时，即﹣4≤λ≤4时，F（x）max＝，此时，sinx＝，即x＝2kπ+arcsin（k∈Z）或x＝2k（k∈Z），当＞1时，即λ＞4时，F（x）max＝1﹣2+λ＝λ﹣1，此时sinx＝1，即x＝2kπ+（k∈Z），当时，即λ＜﹣4时，F（x）max＝1﹣2﹣λ＝﹣λ﹣1，此时，sinx＝1，即x＝2k（k∈Z），综上所述：当﹣4≤λ≤4时，F（x）max＝，x＝2kπ+arcsin（k∈Z）或x＝2k（k∈Z）；当λ＞4时，F（x）max＝λ﹣1，x＝2kπ+（k∈Z）；当λ＜﹣4时，F（x）max＝﹣λ﹣1，x＝2k（k∈Z）．（3）F（x）＝f（x）+λg（x）＝cos2x+λsinx＝1﹣2sin2x+λsinx＝0，设sinx＝t，t∈[﹣1，1]，则1﹣2t2+λt＝0，∴2t2﹣λt﹣1＝0，该方程的判别式Δ＝λ2+8＞0，∴该方程有实根，设为t1，t2，则t1t2＝﹣＜0，∴两根为异号，若0＜|t1|＜1，0＜|t2|＜1时，则方程sinx＝t1，sinx＝t2在（0，nπ）内都有偶数个根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0有偶数个根，不符合题意，若t1＝1，则t2＝﹣，此时λ＝1，当x∈（0，2π）时，sinx＝t1只有一个根，sinx＝t2有两个根，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0有三个根，由于2021＝3×673+2，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（1346π，1347π）内只有1个根，sinx＝t2没有实根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（0，1347π）时有2020个实根，不符合题意，若t1＝﹣1，则t2＝，此时λ＝﹣1，当x∈（0，2π）时，sinx＝t1只有一个根，sinx＝t2有两个根，∴1﹣2sin2x+λsinx＝0有3个根，由于2021＝3×673+2，由于方程sinx＝t1在x∈（1346π，1347π）内没有实根，sinx＝t2有两个实根，∴方程1﹣2sin2x+λsinx＝0在x∈（0，1347π）时，有2021个实根，符合题意，若两个根有一个绝对值大于1，则另一个根绝对值大于零且小于1，有偶数个根，不符合题意，综上所述：λ＝﹣1，n＝1347．【点评】本题考查三角函数的运算，考查换元法、一元二次方程实数根的分布结合正弦函数的分类讨论等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．46．（2022春•闵行区期中）已知函数f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0）．（1）化简y＝f（x）的表达式；（2）若y＝f（x）的最小正周期为π，求y＝f（x），x∈（0，）的单调区间与值域；（3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移φ（φ∈[0，]）个单位长度，得到函数y＝g（x），且y＝g（x）图像关于x＝0对称．若对于任意的实数a，函数y＝g（λx），x∈[a，a+]与y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围．【分析】（1）由二倍角正余弦公式，以及辅助角公式可得f（x）＝2sin（2ωx﹣）；（2）由正弦函数的性质，可得f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，可求值域；（3）由平移法则可得g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，又g（x）图像关于x＝0对称．可得g（x）＝﹣cos2λx，y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，可得3•≤，且5•＞，求解即可．【解答】解：（1）由题意可得：f（x）＝sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx＝﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx＝2sin（2ωx﹣）；（2）y＝f（x）的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣），∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，由2x﹣＝，可得x＝，∴y＝f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，值域为（﹣1，2]；（3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移φ得y＝2sin[2（x﹣φ）﹣]，∴g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，∵y＝g（x）图像关于x＝0对称，∴﹣2φ﹣＝+kπ，k∈Z，∴φ＝﹣+，k∈Z，又φ∈[0，]，∴φ＝，∴g（x）＝﹣2cos2x．∴g（λx）＝﹣2cos2λx，又对于任意的实数a，函数y＝g（λx），x∈[a，a+]与y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，∴3•≤且5•＞，解得9≤|λ|＜15，∴正实数λ的取值范围[9，15）．【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．47．（2022春•青浦区校级月考）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如表：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）000（1）请填写上表的空格处，并画出函数f（x）图像；（2）写出函数f（x）的解析式，将函数f（x）的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，求g（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2021π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．【分析】（1）根据表中数据可得关于ω，φ的方程组，解出ω，φ的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得A＝，由此能求出函数的解析式和图像；（2）由（1）得函数的解析式，y＝Asin（ωx+φ）伸缩和平移变换能求出g（x）的解析式；（3）令t＝sinx，设方程3t2+at﹣1＝0的根为t＝t1，t＝t2（t1＜t2），根据t1，t2的取值范围分类讨论，能求出实数a与零点个数n的值．【解答】解：（1）根据表中的数据可得，解得，∴，∴，∵A＝，∴，∴完善表如下：xωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010﹣10f（x）00﹣0f（x）＝，画出函数f（x）图像如图（2）由（1）知f（x）＝，将函数f（x）的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为y＝，再把所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像，∴g（x）＝sinx．（3）F（x）＝3sin2x+asinx﹣1，F（x）的周期为T＝2π，当x∈（0，2π]时，令t＝sinx，考虑方程3t2+at﹣1＝0的根的情况，∵Δ＝a2+12＞0，∴3t2+at﹣1＝0在R上必有两个不同的实数根t＝t1，t＝t2，t1＜t2，∵F（x）在（0，2021π）有奇数个零点，∴t1∈[﹣1，1]，或t2∈[﹣1，1]，若﹣1＜t1＜t2＜1，则方程t1＝sinx，t2＝sinx在（0，2π]共有4个不同的实数根，在（0，π）有0个或2个实数根，∴F（x）＝0在（0，2021π）有个根或个根，与F（x）有奇数个零点矛盾，舍去；若t1∈（﹣1，1），t2∉[﹣1，1]，则t1＝sinx在（0，2π]共有2个不同的实数根，在（0，π）有0个实数根或2个实数根，故F（x）＝0在（0，2021π）有个根或＝2020+2＝2022，与F（x）有奇数个零点矛盾，舍去；同理，t1∉[﹣1，1]，t2∈（﹣1，1）也不成立，∴t1＝﹣1或t2＝1，若t1＝﹣1，则a＝2，此时3t2+at﹣1＝0的根为，方程在（0，2π]共有3个不同的实数根，而在（0，π）上，有两个不同的根，﹣1＝sinx无解，∴F（x）＝0在（0，2021π）在个根，与F（x）有奇数个零点矛盾，舍去；若t2＝1，则a＝﹣2，方程3t2+at﹣1＝0的根，方程﹣＝sinx，1＝sinx在[0，2π]共有3个不同的实数根，而在（0，π）上，﹣无解，1＝sinx有一个根，∴F（x）在（0，2021π）有个根，符合题意．综上，a＝﹣2，F（x）在（0，2021π）共有3031个不同的零点．【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图像的基本步骤画出图形，考查三角函数的图像与性质、零点等基础知识，考查运算求解能力，是难题．一十五．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共7小题）48．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）图像如图，则函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式为y＝4sin（x+）．【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图像与性质，求出A、T和ω、φ的值．【解答】解：由函数y＝Asin（ωx+φ）的图像知，A＝4，T＝2×（﹣）＝4π，所以ω＝＝＝，又×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z，又因为|φ|＜π，所以φ＝，所以函数y＝4sin（x+）．故答案为：y＝4sin（x+）．【点评】本题考查了正弦型函数的图像与性质的应用问题，是基础题．49．（2022春•浦东新区校级期中）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s＝2sin（ωt+φ），其中ω＞0，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为s0（﹣2＜s0＜2）的时间分别为t1，t2，t3，且t3﹣t1＝2，则ω＝（）A． B．π C． D．2π【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为s0的时间t1，t2，t3，即可得T＝t3﹣t1，可求参数ω的值．【解答】解：由正弦型函数的性质，函数示意图如下：所以T＝t3﹣t1＝2，则＝2，可得ω＝π．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．50．（2022春•浦东新区校级期末）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，A，φ∈R）的部分图象如图所示，那么f（）＝（）A． B． C． D．【分析】由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象求出A、T和ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再求f（）的值，即可得解．【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝1，且＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又（，0）是f（x）的五点法画图中的第一个点，所以2×+φ＝0，解得φ＝﹣，所以f（x）＝sin（2x﹣），所以f（）＝sin（2×﹣）＝sin＝．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题．51．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的周期为，且图像上一个最低点为．（1）求f（x）的解析式；（2）当时，求函数f（x）的最值以及取得最值时x的值．【分析】（1）由ω＝，可得ω的值，由图像上一个最低点为，知A＝，且f（）＝﹣，然后代入运算，求得φ的值即可；（2）根据，可得x+的取值范围，再结合正弦函数的图象与性质求解．【解答】解：（1）由周期为，知ω＝＝，由图像上一个最低点为，知A＝，且f（）＝﹣，所以f（）＝sin（•+φ）＝﹣，所以sin（+φ）＝﹣1，所以+φ＝﹣+2kπ，k∈Z，则φ＝﹣+2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ＝，所以f（x）＝sin（x+）．（2）因为，所以x+∈[，]，当x+＝，即x＝时，f（x）max＝f（）＝1；当x+＝，即x＝时，f（x）min＝f（）＝﹣，故函数f（x）的最大值为1，此时x的值为；函数f（x）的最小值为﹣，此时x的值为．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．52．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．（1）求f（x）的解析式及对称中心；（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到g（x）的图像，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出A、最小正周期、ω的值，再令f（x）＝0求出对称中心的坐标；（2）根据图像变换的规律，即可求出g（x）的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，故，k∈Z，即，k∈Z，又|φ|＜π，故k＝0时，即为所求，故f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cos2x，要求g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝1可得函数g（x）的一个单调递减区间为[]，显然g（x）在[]单调递增，故y＝g（x）在上的单调减区间为[]，而＝，g（）＝1，g（）＝0，故g（x）在上的最小值为，最大值为1．【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．53．（2022春•杨浦区校级期中）已知函数，A＞0，的部分图像如图所示，P，Q分别是该图像相邻的最高点和最低点，点P的坐标是（1，A），点R的坐标是（1，0），．（1）求y＝f（x）的最小正周期与φ的值；（2）求A的值，并写出函数f（x）的单调递增区间；（3）若函数，请研究函数y＝g（x）的奇偶性、最小正周期、单调区间、最大最小值．【分析】（1）由P是最高点结合“五点法”可求得φ，由正弦函数周期可得f（x）的最小正周期；（2）由，得∠QRx＝，结合周期可求得A，得函数解析式，变形为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数的单调性得结论；（3）根据奇偶性定义判断奇偶性，由周期的定义判断并说明最小正周期是，求出函数在一个周期区间[0，]上单调区间，结合周期性写出单调区间，并求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由题意+φ＝2kπ+，k∈Z，又0＜φ＜，所以φ＝，T＝＝6．（2）因为，所以∠QRx＝，|yQ|＝A＝×＝，f（x）＝sin（x+），2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，得6k﹣2≤x≤6k+1，k∈Z，所以单调递增区间是[6k﹣2，6k+1]，k∈Z；（3）由题意g（x）＝|sin[（x﹣