开学自我检测01（易）（解析版）

开学自我检测01（易）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已经集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算一元二次不等式求出，再根据补集定义求出，最后应用交集定义运算求解即可.【详解】∵，，∴或，，故选：D．2．已知是虚数单位，复数满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由复数满足，可得，所以.故选：B.3．已知向量不共线，且向量与共线，则实数的值为（

）A．或 B．或1 C．或2 D．1或2【答案】C【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解.【详解】若向量与共线，则存在实数，使得，又因为向量，不共线，所以，解得或.故选：C.4．已知是定义在R上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得.【详解】要使函数在R上为减函数，需满足，解得.故选：D．5．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：D.6．过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果.【详解】圆化为标准方程为，其圆心为，半径为1，

由题意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以为等边三角形，所以.故选:C．7．若数列和满足，，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据递推关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得，即可根据代入求解.【详解】因为，，所以，即，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，又，即，所以所以；故选：B8．设函数，则（

）A．且在单调递增B．且在单调递减C．且在单调递增D．且在单调递减【答案】C【分析】首先证明函数的周期为，然后分与两种情况分别讨论函数的值域，判断函数的单调区间即可．【详解】由于，得的最小正周期不是；，则的周期为，当时，，由于，得，故，当时，，由于，得，故，综上所述，可得的值域为，当时，，由于，得，根据余弦函数性质可知在上单调递增．故C选项正确．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．样本的众数为65B．该校学生中低于65kg的学生大约为1200人C．样本的第80百分位数为72.5D．样本的平均值为66.75【答案】BCD【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为，故B正确，对于C，体重位于的频率为，体重位于的频率为，故第80百分位数位于，设其为，则，得，故C正确，对于D，样本的平均值为，故D正确，故选：BCD10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（

）A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列【答案】ACD【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：当时，由题意得，解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；对于B：八级地震即时，，解得，所以，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；对于C：六级地震即时，，解得，所以，即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），所以，所以所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；故选：ACD11．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】AC【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定选项的正误．【详解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，∴函数在上单调递增，当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在时取得极大值也是最大值，故A对；B选项，∵时，，，，当时，，如图所示：

∴函数有且只有唯一一个零点，故B错；C选项，∵当时，为单调递减函数，∴，∵，所以，故C对；D选项，若在上恒成立，即在上恒成立，由，则，故D错．故选：AC．12．如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径，点C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形．，则（

）

A．面积的最大值为B．的值与的取值有关C．三棱锥体积的最大值为D．若，AQ与圆锥底面所成的角为，则【答案】CD【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长及圆锥的高，并求出轴截面顶角，再逐项分析判断作答.【详解】设圆锥的母线长为，由，得，而圆锥底面圆半径，圆锥的高，则，，当且仅当时取等号，错误；当时，，与的取值无关，B错误；过作交于，由平面，得平面，由，得，于是，所以当且仅当，且为中点时，三棱锥体积取最大值，C正确；若，则，由选项知，为与圆锥底面所成的角，即，显然，在中，，，而，所以，D正确.故选：CD【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将数字1，2，3，4填入标号1，2，3，4的四个方格内，每格填1个，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是．（用最简分数表示）【答案】【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，然后列举计算每个方格的标号与所填数字均不相同的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】将数字1，2，3，4填入标号1，2，3，4的四个方格内，每格填1个，共有种，而每个方格的标号与所填数字均不相同的有：当第一个方格的填的数字为2时，第二个方格可以填1，3，4三种，当第二个方格填1时，第三个方格只能填4，第四个方格只能填3；当第二个方格填3时，第三个方格只能填4，第四个方格只能填1；当第二个方格填4时，第三个方格只能填1，第四个方格只能填3，共3种，同理当第一个方格所填数字为3可4时，均有3种填法，所以共有种，所以所求概率为，故答案为：14．在正四棱锥中，，用平行于正四棱锥底面的平面截去一个高为的四棱锥后，所得棱台的体积为．【答案】/【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的高，再利用相似比求出截去的高为的四棱锥的底面边长，在求出两个棱锥的体积即可.【详解】如图，为底面四边形对角线的交点，则为正四棱锥的高，，则，设截去的高为的四棱锥的底面边长为，则，解得，所以棱台的体积为.故答案为：.

15．若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为.【答案】（答案不唯一）【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案.【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，当时，可得，此时函数满足在区间上单调递增，当时，，所以常数的一个取值可以为.故答案为：（答案不唯一）.16．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是.【答案】/【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得与，从而求得直线的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得与，从而得解.【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，

则，在中，，所以，所以，故在中，，所以，则.又轴，，所以，又抛物线，则，所以，所以抛物线，点.因为，所以直线的斜率，则直线，与抛物线方程联立，消并化简得，易得，设点，则，则，又直线，可化为，则点到直线的距离，所以.故选：B.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，且的平分线交于点．(1)求角(2)求线段AE的长【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理边角互化即可求解，（2）根据等面积法，结合面积公式即可求解.【详解】（1），，，，，．（2），,，，所以,由于，，则．

18．如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB．(1)证明：；(2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面PAE，然后利用面面垂直的判定定理及性质定理可得平面，进而可得平面POC，即得；（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法结合条件即得.【详解】（1）因为，所以，，又，PE、平面PAE，所以平面PAE，平面ABCE，所以平面平面PAE．在梯形ABCD中，，所以，所以在四棱锥中，．因为，所以为正三角形．取AE中点O，连接PO，OB，OC，易得，，因为平面平面PAE，平面平面，平面可得平面，平面,所以．又，，，所以四边形OBCE为正方形，所以，又，OC、平面POC，所以平面POC，因为平面POC，所以;（2）由（1）知OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则：，，，，由得，则，，设平面QBC的一个法向量为，故即，令，得，，所以，易知平面ABC的一个法向量为，所以，解得或（舍）．所以实数的值为．19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并直接写出结论．【答案】(1)；(2)证明见解析(3)【分析】（1）由题意得，求出，，即可得出答案；（2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，即可得出答案；（3）构造函数，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解．【详解】（1），所以，，故曲线在点处的切线方程为；（2）由题意得所以，在上恒成立故在上单调递增.（3），证明如下：设，则，由（2）知:在上单调递增，则，所以，即在上单调递增，故，即．20．已知等比数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；（2）利用错位相减法求和，然后分析即可.【详解】（1）当时，，即，当时，，即，又因为是等比数列，所以的公比为3，且，即，所以；（2）由（1）可得，所以，则，所以令，①所以，②①②：所以，因为，所以.21．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．【答案】(1)分布列见解析，数学期望(2)当时，取得最大值【分析】（1）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；（2）根据