阶段性检测3.1（易）（范围：集合至立体几何）（解析版）

阶段性检测3.1（易）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由集合的运算，即可得到结果.【详解】因为，，所以.故选：D2．是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分，必要条件的定义，结合不等式的性质，即可判断.【详解】，由，不能得到，也得不到，所以是的充分不必要条件.故选：A3．已知复数（为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先化简，再求的虚部.【详解】由题意可知，，所以的虚部为.故选：C4．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；B：，定义域为关于原点对称，且，符合；C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；故选：B5．八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为O，则下列选项中不正确的是（

）

A． B．C．和是一对相反向量 D．【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由正八边形中，可得，则，所以，即，所以，所以A正确；对于B中，由正八边形中，可得，，则，所以B正确；对于C中，由和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；对于D中，由，可得，所以D正确.故选：C.

6．若函数在处有极大值，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由题意解得的值，再根据极大值、极小值的概念验证即可.【详解】求导得，则由题意得或，代入检验当时，，令或，，则时，取得极小值，不符合题意舍去；当时，，令或，，则时，取得极大值，符合题意.故选：D7．已知函数在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型函数的性质及区间零点个数求参数范围即可.【详解】，在上，，即有且仅有1个零点，所以，则.故选：D8．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（

）次.A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】又与的关系，结合条件求，再由条件列不等式，结合指数，对数运算性质和对数函数性质解不等式可得结论.【详解】因为，所以又，所以，所以所以由可得，所以，所以，又，所以，所以，，所以要使该企业排放的废水符合排放标准，改良工艺次数最少要11次，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．数列的前n项和为，已知，则（

）A．是递增数列B．C．当时，D．当或4时，取得最大值【答案】BCD【分析】A选项，根据求出通项公式，进而得到，单调递减，A错误；B选项，由通项公式直接求解即可；C选项，解不等式即可；D选项，根据二次函数的开口方向和对称轴可得D正确.【详解】A选项，当时，，又，所以，因为，则是递减数列，故A错误；B选项，由可得，故B正确；C选项，令，解得，故C正确；D选项，因为的对称轴为，开口向下，又，所以当或4时，取得最大值，故D正确.故选：BCD.10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量为C．与垂直的单位向量的坐标为D．若向量与向量共线，则【答案】AD【分析】根据向量的坐标运算求，，对于A：根据向量的夹角公式运算求解；对于B：根据投影向量的定义分析运算；对于C：根据向量垂直的坐标运算求解；对于D：根据向量共线的判定定理分析运算.【详解】由题意知，，对于选项A：，故A正确；对于选项B：在方向上的投影向量为，故B错误；对于选项C：设与垂直的单位向量的坐标为，可得，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C错误；对于选项D：因为向量与向量共线，所以若存在，使得，则，解得，故D正确．故选：AD.11．如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，为棱的中点，则（

）

A．与平面所成的角的余弦值为B．C．平面D．三棱锥的体积为【答案】CD【分析】对于A项，根据线面角的定义解三角形即可；对于B项，解即可；对于C项，判定BC与BD的位置关系即可；利用线段关系转化为求即可.【详解】对于A项，如图取AD中点F，连接EF，则EF∥PD，由题意可得：EF⊥面ABCD，连接CF，∠ECF即与平面所成的角，由条件可得EF=2，，，故A错误；

对于B项，连接AC，易得，又E为PA中点，，故PA与CE不垂直，故B错误；

对于C项，如图所示，在梯形ABCD中，过B作BG⊥CD，由条件可得，BG=AD=GC=2，故，由勾股定理逆定理可得BD⊥BC，又PD⊥面ABCD，BC面ABCD，则PD⊥BC，PDBD=D，PD、BD面ABCD，所以BC⊥面PBD，故C正确；

对于D项，由条件得，由上可得，故，故D正确.故选：CD12．已知函数（），则（

）A．若，则函数在上单调递增B．若在上有最小值，则在上有最大值C．过原点有且仅有一条直线与的图象相切D．若函数存在大于1的极值点，则【答案】BC【分析】分、和，两种情况可得函数在上单调递减可判断A；令利用奇函数定义可得函数是奇函数，根据奇函数的性质和最值情况可判断B；利用导数求出切线方程，切线过点得方程有且仅有一解可判断C；函数有极值点得有两个不同的根，设两根分别为，可得，利用韦达定理分，和，两种情况可判断D.【详解】对于A，当，时，易知函数在上单调递增，当，时，易知函数在上单调递减，A项不正确；对于B，令，关于原点对称，，所以函数是奇函数，若在上有最小值，则函数在上有最小值，函数在上有最大值，所以在上有最大值，故B项正确；对于C，，设切点，则，所以切线方程为，切线过点，得，该方程有且仅有一解，C项正确；对于D，若函数有极值点，则有两个不同的根，则，设两根分别为，，则，若，则，当，时，，当，时，，D项不正确.故选：BC.【点睛】思路点睛：结合导数与单调性、极值、最值的关系求三次的多项式函数的极值与最值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足，则．【答案】【分析】设，，依题意可得，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出、的值，从而求出其模.【详解】设，，由，所以，即，所以，所以，所以，则.故答案为：14．已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为．【答案】5【分析】根据等差、等比数列的通项公式、等差数列的求和公式以及基本不等式求解结果.【详解】等差数列，设公差为，.若，，成等比数列，则，所以，即，，当时取等号.则的最小值为5.故答案为：5.15．已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．【答案】【分析】根据球心不同的位置，结合轴截面的性质分类讨论求解即可.【详解】设圆台高为h，由题意得，．当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如下图所示：

设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为，，外接球的半径为，由，则，得，，该圆台外接球的体积为．当当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如下图所示：

设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为，，外接球的半径为，由，则，得舍去，综上所述：该圆台外接球的体积为，故答案为：16．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，将转化为在区间上单调递增，然后结合导数转化为恒成立问题，即可得到结果.【详解】由可变形为，令，则函数在区间上单调递增，，则在区间上恒成立，即在区间上恒成立，则在区间上恒成立，当时，，所以，即实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)若，，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）由正弦定理及两角和正弦公式化简，再利用正弦定理化简即可证明；（2）结合（1）的结论，利用余弦定理求出a，利用同角三角函数关系求出，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为，及，所以，由得，得证.（2）由（1）及知，又，由余弦定理可得，即，解得或，因为，所以，当时，，当时，.18．设数列的前n项和为，．(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．(2)若数列的前m项和，求m的值，【答案】(1)证明见解析，(2)7【分析】（1）利用数列中与的关系，得，可证明数列为等比数列，可求数列的通项公式．（2）利用裂项相消求数列的前m项和，由求m的值.【详解】（1）因为，所以当时，，解得．当时，，则，整理得，故，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以（2），数列的前m项和，则，则，则，解得，故m的值为7．19．已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.条件①：函数的最小正周期为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为.(1)求的解析式及最小值；(2)若函数在区间（）上有且仅有1个零点，求的取值范围.【答案】(1)选择①②，的最小值为；选择①③，的最小值为(2)选择①②；选择①③【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①②：由周期得出，由得出，进而求出的解析式及最小值；选择①③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式及最小值；选择②③：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．（2）因为,，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．【详解】（1）由题可知，，选择①②：因为，所以，又因为，所以．所以．当，即时，，所以函数的最小值为．选择①③：因为，所以，又因为函数的最大值为，所以．所以，当，即时，．所以函数的最小值为．选择②③：因为，所以．又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．（2）选择①②：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，所以，所以，所以．选择①③：因为,，所以，又因为在区间（）上有且仅有1个零点，又时，或，所以，所以，所以．20．如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，是棱上的动点，且．

(1)证明:平面．(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是.【分析】（1）由题设，根据线面垂直的判定得平面，再由线面垂直的性质有，并由勾股定理证，最后应用线面垂直的判定证结论；（2）取棱的中点，连接，构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数，即可判断存在性.【详解】（1）

因为四边形是菱形，所以.因为平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，即.因为平面，且，所以平面.（2）

取棱的中点，连接，易证两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，则，故，所以，设平面的法向量为，则，令，得．平面的一个法向量为,设面与面所成的锐二面角为，则，整理得，解得(舍去)．故存在实数，使得面与面所成锐二面角的余弦值是．21．如图的形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列.

(1)写出与的递推关系，并求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用每一层小球的数量找到递推关系，再利用累加法求通项公式即可；（2）利用与的关系求出数列，进而求得，再利用错位相减法求即可.【详解】（1）由题意可知，，，所以数列的一个递推关系为，所以当时，利用累加法可得，将代入得，符合，所以数列的通项公式为.（2）当时，，即，当时，，①，②①-②，得，即，所以数列是以3为首项，3为公比等比数列，所以，由题意可知，所以，所以，所以，③，④③-④得，所以，所以数列的前项和.22．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对于任意正实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）研究函数的定义域，导数的符号，确定函数的单调性；（2）