陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

高二年级教学质量监测数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､为生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线l经过，两点，则l的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式直接计算即可.【详解】由斜率公式得，l的斜率为．故选：B2.已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案.【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分数部分为负，分母为，分子为，故该数列的一个通项公式可以为，故选：D3.已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线离心率求出a的值，即可求出双曲线的渐近线方城.【详解】由题意得双曲线离心率，解得，（负值舍），则，故双曲线的渐近线方程为.故选：D4.已知等比数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.【详解】由，当时，，可得，当时，，因数列为等比数列，可得，解得.故选：D.5.抛物线的焦点为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将方程化为标准方程，进而求焦点坐标.【详解】将抛物线的方程整理为标准形式得，可知该抛物线的焦点在轴负半轴上，且，即，所以抛物线的焦点坐标为.故选：B.6.若数列满足，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题中递推公式令，，代入运算求解即可.【详解】因为，令，可得，则；令，可得，则.故选：D.7.已知椭圆的左焦点为，且椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，则椭圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意列式求，即可得方程.【详解】因为椭圆的左焦点为，所以.又因为椭圆上的点与长轴两端点构成的三角形的面积的最大值为，所以，结合，可得，故椭圆的方程为.故选：A.8.在三棱锥中，平面分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建系，求出平面的法向量为，再代入线面角的公式求解即可.【详解】因为平面，都在面内，所以，又，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则所以取，得．设直线与平面所成的角为，所以．故选：B二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直.【详解】设的斜率分别为，结合题意易得：，因为，所以因为且，所以.故选：BD.10.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.的公差为1 B.的公差为2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D.【详解】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD11.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根据题意得到曲线为，直线为，再根据当，，，时，曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断．【详解】因为，所以曲线为，直线为，当时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正确；当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负，则D正确．故选：BD．12.已知抛物线，点在上，过点的直线与相交于两点，直线的斜率分别为，则（）A.B.C.的取值范围为D.的取值范围为【答案】BC【解析】【分析】首先求出抛物线方程，再设直线联立抛物线方程得到韦达定理式，再计算将韦达定理式代入计算即可判断AB，同理化简，再根据的范围即可得到判断CD.【详解】将代入，得．设，直线的方程为，联立方程组，消去得．由，得或，所以，则．因为，所以．又因为，且或，所以．故选：BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.直线被圆截得的弦长为__________.【答案】6【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再根据弦长公式计算可得.【详解】由圆，可得圆心，半径.所以圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故答案为：6.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线方程得到双曲线方程，求出，进而求出焦距.【详解】由题可知，解得，所以，故的焦距为.故答案为：15.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________．【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】在长方体中，，，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，所以，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.16.已知数列满足，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知：是首项为，公差为的等差数列，进而可求的通项公式，即可得结果.【详解】因为，则，即.且，可知是首项为，公差为等差数列，则，即，所以.故答案为：.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的关系式即可求得的通项公式为；（2）由（1）可得，利用裂项相消求和可得.【小问1详解】当时，，当时，.符合，所以的通项公式为.【小问2详解】由（1）可得，则，所以数列的前项和.18.一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆的性质结合抛物线定义，即可求得答案；（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，即可求得直线方程.【小问1详解】依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线C的方程为．【小问2详解】设，由题意知直线l斜率存在，则，则，两式相减得，即．因为线段AB的中点坐标为，所以，则，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即．19.已知圆过点和，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：设圆的方程为，根据题意，可得，解得，所以圆的方程为.【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，则直线的方程为，即.故直线的方程为或.20.如图，在三棱锥中，平面，，，F是的中点，且．（1）求的长;（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合垂直关系，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，利用计算出的长度即可；（2）利用向量法求出平面的法向量与平面的法向量，进而求出二面角的正弦值即可.【小问1详解】因为平面，，故以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系．设，由，得，，，．因为F是的中点，所以，则，．又，所以，解得，故．【小问2详解】由（1）可知，，则，，．设平面的法向量为，则，令，得．设平面的法向量为，则，令，得．所以，故二面角的正弦值为．21.已知正项数列满足，数列的前n项和为，且．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用对数运算，得，再运用累乘法可求，由与的关系可得，则时，数列是以为首项的常数列，可求的通项公式；（2）利用错位相减法求，从而得证【小问1详解】因为，且，所以，所以，即，所以．当时，所以，所以．因，所以，所以．也符合上式，所以．当时，．因为，所以当时，，所以当时，，即，所以当时，数列是以为首项的常数列，即（），所以（），所以的通项公式为【小问2详解】因为，所以，两式相减得，所以．【点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.22.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆和双曲线的离心率；（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．【答案】22.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为23.证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线方程与性质运算求解；（2）由（1）可知