新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型)

新人教版八年级数学上册培优资料〔中考题型〕第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】假设的三边分别为4，x，9，那么x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．假设△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，那么x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，那么以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形〔不许折断〕并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是().A．1 B．2 C．3 D．4【例２】等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，那么三边为18，18，22.当18cm为底边时，腰为＝20，那么三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.【变式题组】01．等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，那么这个三角形的周长是()A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．三角形的两边长分别是4cm和9cm，那么以下长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两局部，那么此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，假设S△GFC＝1cm2，那么S△ABC＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC＝16.【变式题组】01．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，那么S△EFC＝______________.02．如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设一腰上的高为4cm，那么DE+DF＝______________.03．如图，四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE＝AD，DF⊥AE于F，那么DF与AB的数量关系是______________.【例４】，如图，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.【解法指导】这是本章的一个根本图形，其根本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.03．如图，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.【例５】如图，∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．那么∠BOC＝______________.【解法指导】这是本章另一个根本图形，其结论为∠BOC＝∠A+90°.证法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝90°+∠A．所以∠BOC＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，那么∠BOC＝______________.°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，那么∠OPC＝______________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，那么∠A＝______________.【例６】如图，∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，那么∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+∠B+∠C＝(∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.【变式题组】01.〔改〕如图，∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，那么∠BFE＝__________.(说明:原题题、图不符.由得∠A＝98°,BD⊥AC，那么点D在CA的延长线上.)02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，以下结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至△AB′C′，使CC′∥AB，假设∠BAC＝70°，那么旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70°＝40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如下图的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，那么三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.02．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，假设点A′在AB上时，那么旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，假设∠BAC＝130°，那么∠α＝______________.演练稳固·反应提高01．如图，图中三角形的个数为()A．5个 B．6个 C．7个 D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个04．以下语句中，正确的选项是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和 C．三角形的外角中，至少有两个钝角 D．三角形的外角中，至少有一个钝角 05．假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是()A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定06．假设一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，那么这个三角形是()A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，那么这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，那么这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，那么∠BDC的度数是______________.10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，那么S△ABC＝______________.12．如图，:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，那么∠DAC＝______________.13．如图，点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝∠BAC，求∠BAC的度数第17讲认识多边形经典·考题·赏析【例１】如下图是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】此题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如下图，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．以下图形中，凸多边形有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个02．过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，那么m＝______，n＝______，k＝________.03．多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，那么此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，那么有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，那么这个多边形是〔〕A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．一个多边形的内角和为10800，那么这个多边形的边数是〔〕A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，那么∠AED的度数为〔〕A．1100 B．1080 C．1050 D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和〔〕A．都不变 B．内角和增加1800，外角和不变C．内角和增加1800，外角和减少1800 D．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A出发，每爬行5cm便左转600，那么这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据可得这个正多边形的每个外角均为600，那么这个多边形的边数为＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm)才能回到点A．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－(n－2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4)多边形的外角和为3600的作用：①各相等外角度数求多边形边数；②多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．〔无锡〕八边形的内角和为_____.度.02．〔永州〕如下图，△ABC中，∠A＝400，剪去∠A后成四边形，那么∠1+∠2＝_____03．〔资阳〕n(n为整数，且n≥3)边形的内角和比〔n+1〕边形的内角和少____度.04．〔株洲〕如下图，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_____米.【例４】两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x和5x，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x，那么由多边形内角和定理可得：(2x－2)·1800+(5x－2)·1800＝18000，解得x＝2，∴2x＝4，5x＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．假设一个多边形的外角和是其内角和的，那么此多边形的边数为_____03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，那么这个多边形是〔〕A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购置一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购置的瓷砖不可以是〔〕A．正三角形 B．长方形 C．正八边形 D．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．长方形 D．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有〔〕A．正三角形、正方形、正六边形 B．正三角形、正方形、正五边形 C．正方形、正五边形 D．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用以下正多边形•能作平面镶嵌的是〔〕A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形04．〔晋江市〕如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，假设要得到2011个小正方形，那么需要操作的次数是〔〕A．669 B．670 C．671 D．672【例６】有一个十一边形，它由假设干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n－2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，那么有1200m+1500n＝16200，即4m+5n＝54此方程有唯一正整数解，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如下图.【变式题组】01．如图是某广场地面的一局部，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层〔不包括中央的正六边形地砖〕，每一层的外边界都围成一个正多边形，假设中央正六边形的地砖边长为0.5m，那么第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．〔黄冈〕小明的书房地面为210cm×300cm的长方形，假设仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为〔〕A．30cm×30cm的正方形， B．50cm×50cm的正方形， C．60cm×60cm的正方形， D．120cm×120cm的正方形，03．正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为3600，求的值.演练稳固·反应提高01．在一个顶点处，假设正n边形的几个内角的和为______，那么此正n边形可铺满地面，没有空隙.02．〔宜昌市〕如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜测填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n2〔n为正整数〕块时，黑色瓷砖为______块.03．〔嘉峪关〕用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下假设干地板图案：那么第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如下图的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，那么第n层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，那么该正多边形的边数为〔〕A．3 B． 4 C．5 D．606．以下不能镶嵌的正多边组合是〔〕A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形 C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是〔〕A．边长相同 B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800 C．边长之间互为整数倍 D．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．〔荆门市〕用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，那么第三块木板的边数是〔〕A．4 B．5 C．6 D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购置形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是〔〕A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形10．我们常常见到如下图那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，那么第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是〔〕A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形〔〕BACDEFA．5对 BBACDEF【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比拟明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.在△ABC和△DCB中∴△ABC≌∴△DCB〔SAS〕∴∠A＝∠D⑵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中∴Rt△EFB≌Rt△EFC〔HL〕应选C.【变式题组】01．〔天津〕以下判断中错误的选项是〔〕A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等AFCEDB02．〔丽水〕命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，那么AFCEDB03．(上海)线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF〔如下图〕.⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；ABCDOFE⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题〔选择“真ABCDOFE【例２】AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：AF＝DE.【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据条件找出证明它们全等的条件.ACEFBD证明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋ACEFBD在△ABE和△DCF中, ∴△ABE≌△DCF〔SSS〕∴∠B＝∠C在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE【变式题组】01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，假设BO＝AC，BC＝7，CD＝2，那么AO的长为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5AAE第1题图ABCDEBCDO第2题图02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，那么BD＝__________.\03．〔北京〕：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.AAFECBD【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B〔E〕、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.BB〔E〕OCF图③FABCDEFAB(E)CDDA图②图①【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【变式题组】01．〔绍兴〕如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.假设∠CDE＝48°，那么∠APD等于〔〕A．42° B．48° C．52° D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，以下结论中错误的选项是〔〕A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CFEEFBABPDEC第1题图ACDG第2题图03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如以下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵假设PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.BBFACENMPDDACBFE【例４】〔第21届江苏竞赛试题〕，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可.证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.221ABCPQEFD证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQ⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ【变式题组】ABCDFE01．如图，AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CDABCDFE02．〔湖州市竞赛试题〕如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是〔〕A． B． C．bm D．amAAECBA75°C45°BNM第2题图第3题图D03．如图，五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，那么五边形ABCDE的面积为__________演练稳固·反应提高01．〔海南〕图中的两个三角形全等，那么∠α度数是〔〕A．72° B．60° C．58° D．50°第3题图第3题图第1题图CAODBP第2题图ACA/BB/aαcca50°b72°58°02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，那么∠ACA/的度数是〔〕A．20° B．30° C．35° D．40°03．〔牡丹江〕尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是〔〕A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．〔江西〕如图，AB＝AD，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是〔〕A.CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC C.∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°EE21NABDC第5题图ABCDEABCD第4题图第6题图M05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的选项是〔〕A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么〔〕A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，那么∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______第10题图第10题图ABCDE第9题图EABCDABCDEFOCAEBD第7题图第8题图10．如图，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，假设AB＝2,CD＝6，那么AE＝_____.11．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.DDAC.QP.BDBACEF12．如图,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BCDBACEF⑴求证：AE＝CD；⑵假设AC＝12cm,求BD的长. AEBFDC13．〔吉林〕如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAEAEBFDC14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.BDEBDEClA⑵假设DE＝a，求梯形DABE的面积.〔温馨提示：补形法〕AEFBDC15．如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、FAEFBDC16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等〔证明略〕；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.〔请你将以下证明过程补充完整〕AABCDA1B1C1D1⑵归纳与表达：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.第02讲角平分线的性质与判定经典·考题·赏析【例１】如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.证明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2在△OBD与△OAD中，∴△OBD≌△OAD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【变式题组】01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN【例２】〔天津竞赛题〕如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数【解法指导】由∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，那么∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，∴CE＝CF在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AE又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【变式题组】01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，∴∠1＝∠3在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF∴CE＝BD【变式题组】01．如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.02．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；⑵求证：AE＋CD＝AC.演练稳固·反应提高01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，假设CD＝n，AB＝m，那么△ABD的面积是〔〕A．mn B．mn C．mn D．2mn02．如图，AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：=1\*GB3①BP＝CP；=2\*GB3②AD⊥BC；=3\*GB3③AE平分∠BAC；=4\*GB3④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有〔〕个A． 1 B．2 C．3 D．403．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.假设AQ＝PQ，PR＝PS，以下结论：=1\*GB3①AS＝AR；=2\*GB3②PQ∥AR；=3\*GB3③△BRP≌△CSP.其中正确的选项是〔〕A． =1\*GB3①=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3② D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，那么以下四个结论中：=1\*GB3①AD上任意一点到B、C的距离相等；=2\*GB3②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；=3\*GB3③AD⊥BC且BD＝CD；=4\*GB3④∠BDE＝∠CDF.其中正确的选项是〔〕A．=2\*GB3②=3\*GB3③ B．=2\*GB3②=4\*GB3④ C．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ D．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，那么∠AEB的度数为〔〕A．50° B．45° C．40° D．35°06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出以下结论：=1\*GB3①AD＝AF；=2\*GB3②AB＋EC＝AC＋BE；=3\*GB3③BC＋CF＝AB＋AF；=4\*GB3④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是〔〕A．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④ B．=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③ C．=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ D．=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，那么以下说法中不正确的选项是〔〕A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出以下结论：=1\*GB3①点D到AB、AC的距离相等；=2\*GB3②∠BAC＝2∠BDC；=3\*GB3③DA＝DC；=4\*GB3④DB平分∠ADC.其中正确的个数是〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，以下结论中：=1\*GB3①AD平分∠CDE；=2\*GB3②∠BAC＝∠BDE；=3\*GB3③DE平分∠ADB；=4\*GB3④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有〔〕A．3个 B．2个 C．1个 D．4个10．如图，BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，那么QM、QN、QK的关系是_________11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.第3讲轴对称及轴对称变换经典·考题·赏析【例１】〔兰州〕如下图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，那么纸片展开后是〔〕【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.应选D.【变式题组】01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是〔〕02．〔荆州〕如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，那么展开后的图形为〔〕【例2】〔襄樊〕如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，那么与点B’关于x轴对称的点的坐标是〔〕A．〔0，－1〕B．〔1，1〕C．〔2，－1〕D．〔1，－1〕【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为〔－1，1〕，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’〔－1＋2，1〕，即B’〔1，1〕.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是〔1，－1〕，故应选D.【变式题组】01．假设点P〔－2，3〕与点Q〔a，b〕关于x轴对称，那么a、b的值分别是〔〕A．－2，3B．2，3C．－2，－3D．2，－302．在直角坐标系中，点P〔－3，2〕，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，那么点R的坐标是___________.03．〔荆州〕点P〔a＋1，2a－1〕关于x轴的对称点在第一象限，那么a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC〔∠ACB＝90°〕，沿线段CD折叠，使点B落在B1处，假设∠ACB1＝70°，那么∠ACD＝〔〕A．30°B．20°C．15°D．10°【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，那么∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋〔70°＋x〕＝90°，故x＝10°.应选D.【变式题组】01．〔东营〕如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.假设∠EFB＝65°，那么∠AED’等于〔〕A．70°B．65°C．50°D．25°02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，那么原三角形中∠B＝___________.03．〔江苏〕⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC〔AB＞AC〕沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片〔如图①〕；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF〔如图②〕.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.⑵实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE〔如图③〕；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG〔如图④〕；再展平纸片〔如图⑤〕.求图⑤中∠α的大小.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【解法指导】∵EF是AD的中垂线，那么可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4【变式题组】01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，那么点D在__________的垂直平分线上．02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，假设AB＝3cm，那么DC＝___________cm．03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，那么∠EAG＝___________．04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，假设AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，那么△ABC的周长是___________cm．【例5】〔眉山〕如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．【解法指导】在正方形格点图中，如果条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．假设以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；假设以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；假设以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．【变式题组】01．〔泰州〕如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．02．〔绍兴〕如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中假设干个三角形涂黑，且满足以下条件：⑴涂黑局部的面积是原正方形面积的一半；⑵涂黑局部成轴对称图形．如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．〔在所设计的图案中，假设涂黑局部全等，那么认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙〕【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，假设牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵此题利用轴对称知识进行解答．解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，那么点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．证明：在CD上任取与M不重合的点M’，∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，即AM＋BM最小．【变式题组】01．〔山西〕设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，那么铺设的管道最短的是〔〕02．假设点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．演练稳固·反应提高01．〔黄冈〕如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，那么∠B的度数是〔〕．A．48°B．54°C．74°D．78°02．〔泰州〕如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是〔〕A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，假设将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，那么∠C＝〔〕A．80°B．85°C．95°D．110°04．如图，阴影局部组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，假设点A的坐标是〔1，3〕，那么点M和点N的坐标分别是〔〕A．M〔1，－3〕，N〔－1，－3〕B．M〔－1，－3〕，N〔－1，3〕C．M〔－1，－3〕，N〔1，－3〕D．M〔－1，3〕，N〔1，－3〕05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是〔－3，5〕，那么点P关于y轴对称的对称点的坐标是〔〕A．〔3，－5〕B．〔－5，3〕C．〔3，5〕D．〔5，3〕06．M〔1－a，2a＋2〕关于y轴对称的点在第二象限，那么a的取值范围是〔〕A．－1＜a＜1B．－1≤a≤1C．a＞1D．a＞－107．〔杭州〕如图，镜子中号码的实际号码是___________．08．〔贵阳〕如图，正方形ABCD的边长为4cm，那么图中阴影局部的面积为___________cm2.09．点A〔2a＋3b，－2〕和B〔8，3a＋2b〕关于x轴对称，那么a＋b＝___________.10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．13．〔荆州〕有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．〔画出的两个图案不能全等〕第4讲等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等〔即等边对等角〕；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合〔即等腰三角形三线合一〕2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的根本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形⑵角平分线＋垂线〔或高〕＝等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典·考题·赏析等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，那么这个等腰三角形的底角为________________.【解法指导】假设问题中涉及到三角形的高，那么要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD＝400，∴∠A＝500∴∠B＝∠ACB＝如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.【变式题组】01．〔呼和浩特〕在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为〔〕A.7B.11C.7或11D．7或1002.〔黄冈〕在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，那么∠B＝___________度．03.〔襄樊〕在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个局部，使其中一局部是另一局部的2倍．【例２】如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．【解法指导】图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．解：设∠A＝x,

∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x，∵在△ABC中,∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°∴x＋2x＋2x＝180°，x＝36°，∴∠A＝36°．【变式题组】01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大小．【例３】坐标原点O和点A〔2，－2〕，B是坐标轴上的一点．假设⊿AOB是等腰三角形，那么这样的点B一共有〔〕个A．4B．5C．6D．8【解法指导】⊿AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．解：①如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；②如图2，当OA为腰时，假设O为顶点，那么B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；③如图3，当OA为腰时，假设A为顶点，那么B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.应选D.【变式题组】01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，A〔3，－3〕，点P是y轴上一点，那么使⊿AOP为等腰三角形的点P共有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是〔0，〕，点C在坐标平面内．假设以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，那么满足条件的点C有_________个．ABABCDPE第2题图第4题图第3题图第2题图第4题图第3题图03.〔南昌〕如图，长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，那么与∠BEG相等的角的个数为〔〕A．4B．3C．2D．1ACBMDE(例4题图)04．〔济南〕如下图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点〔点E与点A不重合〕，点P是点A关于BE的对称点．在点EACBMDE(例4题图)A．2个B．3个C．4个D．5个【例４】〔枣庄〕两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如下图放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【解法指导】判断⊿MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证∠EMC＝900，而⊿ABD为等腰三角形，M是BD的中点，假设连接AM那么有∠AMD＝900,因而只需证∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．解：的形状是等腰直角三角形，理由如下：连接，由题意得：．．又，．．．．又，．．所以的形状是等腰直角三角形．【变式题组】01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．⑴求证：AD⊥CF;⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，假设三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．【例５】我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在中，点分别在上，设相交于点，假设，．请你写出图中一个与相等的角，并猜测图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解法指导】证明两条线段相等时，假设两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．假设两条线段在不同的三角形中，那么证它们所在的两个三角形全等，假设三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与∠A相等的角是∠BOD〔或∠COE〕，四边形DBCE是等对边四边形；图1⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．图1证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG，∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，可证△BDF≌△CEG，∴BD＝CE∴四边形DBCE是等边四边形．图2证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．图2∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，∴△BDC≌△CFB，∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，∴∠ADC＝∠CFE，∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，∴∠ADC＝∠FEC，∴∠FEC＝∠CFE，∴CF＝CE，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等边四边形．【变式题组】01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，假设AB＝2，求CD的长．03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.【变式题组】01．(重庆)一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，那么这个等腰三角形顶角的度数为〔〕A．200B．1200C．200或1200D．360002．〔云南〕等腰三角形的两边分别为6和3，那么此等腰三角形周长为〔〕A．9B．15C．15D．12或1503.〔云南〕如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，那么BEC的周长为〔〕A．13B．14C．15D．1604．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，假设∠A＝180，那么∠GEF的度数是〔〕A．800B．900C．1000D．108005．如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，那么以下结论中不正确的选项是〔〕A．∠ACD＝∠BB.CH＝CE＝EFC.CH＝HDD.AC＝AF06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么以下结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有〔〕A．①②③B．①②③④C．①②D．①07.〔武汉〕如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC,∠ABC＝∠ADC＝700,那么∠DAO＋∠DCO的大小是〔〕A．700B．1100C．1400D．150008．〔滨州〕等腰ABC的周长为10，假设设腰长为x，那么x的取值范围是____________.09．如下图，在ABC中，AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，那么AD＝___________.10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,假设∠A＝400，那么∠ABD的度数是_________.11．(乌鲁木齐)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：①，②，③，④．要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．〔写出一种即可〕：BEDABEDAC证明：12．〔泰安〕两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明〔说明：结论中不得含有未标识的字母〕；⑵证明：．图1图1图2DCEAB13.〔包头〕如图，中，厘米，厘米，点为的中点．⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；②假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？⑵假设点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？AAQCDBP14.〔临沂〕如图1，中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上〔直角三角板的短直角边为，长直角边为〕，将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．⑴在图1中，交于，交于．①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠局部为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？假设发生变化，请说明是如何变化的？假设不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由；图1图2图3⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图1图2图3第五讲等边三角形经典考题赏析【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．(1)求证：△ACE≌△DCB;(2)求∠AFD的度数；(3)判断△CMN的形状【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°∴∠ACE＝∠DCB∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB(2)∵∠ACE≌∠DCB,∴∠1＝∠2又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD∴∠AFD＝∠ACD＝60°(3)在△ACM和△DCN中,∴△ACM≌△DCN∴CM＝CN又∵∠DCN＝60°∴△CMN是等边三角形．【变式题组】01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，那么∠BAC的大小等于__________度02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数【解法指导】由于∠PAB＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB＝22°∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP∴∠APB＝∠APD＝150°，BP＝DP,∠PBA＝∠APD＝8°∴∠BPD＝60°,∴△BPD是正三角形∵∠PBC＝30°∴∠PBC＝∠DBC在△PBC和△DBC中，∴△PBC≌△DBC,∴PC＝CD∴∠CPD＝∠CDP＝8°∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°【变式题组】01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;(2)假设点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GN