2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习 圆的方程

第3讲圆的方程

一、知识梳理

1.圆的方程

圆心(mb)

标准方程(x-〃)2+。-b)2=r2(厂>0)

半径为r

条件：£>2+E2-4F>0

圆心:(二二1)

一般方程X2+y2+Dx+Ey+F=0

半径：r=?\/£)2+£2-4F

2.点与圆的位置关系

点M(x0，%)与圆(x—a)2+(y一份2=r2的位置关系.

⑴若M(xQf%)在圆外,则(%—〃)2+仇一与2三也

(2)若M>0，%)在圆上，则。0一°)2+%一/?)2三,2.

(3)若M(%，%)在圆内，则(%—〃)2+。0-6)2三2

常用结论

1.以A(X],x),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(X—X])(x—*2)+。——>2)=°，

2.二元二次方程表示圆的条件

对于方程m+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视O2+E2—4F>0这一条件.

二、教材衍化

1.圆JQ+)，2—2x+4y—6=0的圆心坐标>半径.

答案：(1,—2)\[\\

2.若圆的圆心为(-8,3),且经过点(-5,0),则圆的标准方程为.

答案：(x+8)2+。-3)2=18

3.在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.

答案：x2+y2—2x=0

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()

(2)方程m+y2=a2表示半径为“的圆.()

(3)方程x2+y2+4,〃x—2y+5nl=0表示圆.()

(4)方程Ax2+fiyy+Cy2+Dv+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=CW0,B=0,D2+E2

-4AF>0.()

答案：⑴J(2)X(3)X(4)V

二、易错纠偏

常见误区।(1)忽视方程表示圆的条件D2+E2-4F>0；

2

⑵错用点与圆的位置关系判定.

1.方程％2+y2+4mx—2y+5机=0表示圆的充耍条件是()

A.1<w<lB.加<；或机>1

C.D.m>1

解析：选B.由(4m)2+4—4X5机>0,得机V；或机>1.

2.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内，则实数a的取值范围是

解析：因为点(1,1)在圆的内部，

所以(1-a)2+(l+a)2<4,

所以一1<a<1.

答案：(-1.1)

考点一求圆的方程(基础型)

复习指导I回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程

与一般方程.

核心素养：数学运算

3

(1)圆心在x轴上，半径长为2,且过点

A(2,1)的圆的方程是()

A.(x—2—帀”+*=4B.(x—2+帀)2+y2=4

C.(x一2±^/§)2+y2=4D.(x—2)2+(y—1)2=4

(2)(一题多解)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点4(2,—3),8(—2,—5)的圆的方程

为.

【解析】(1)根据题意可设圆的方程为。一“)2+)，2=4,因为圆过点4(2,I),所以(2-

“”+12=4,解得“=2士小，所以所求圆的方程为(x-2±\/5)2+产=4.

(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x-2y—3=0上，所以可设点C的坐标为(2a

+3,a).

又该圆经过A,B两点、,所以ICAI=IC8I,

即，(2a+3—2)2+(a+3)2

=，(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,

所以圆心。的坐标为(-1,-2),半径r=4而，

故所求圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10.

法二：设所求圆的标准方程为(x—a)2+(y—b)2=n,

(2-a)2+(-3—b)2=r2,

由题意得,(―2—〃”+(—5—b)2=r2,解得a=-],b=-2,r2=10,

a—2b-3=0,

故所求圆的方程为(犬+1)2+0+2)2=10.

法三：设圆的一般方程为x2+)，2+Dr+Ey+尸=0,

则圆心坐标为(一号，—9，

4

<一%2X（_1）_3=0,

由题意得4+9+。。一3E+F=0解得D=2,£=4,尸=—5.故所求圆的方程为X2

l4+25-2D-5£+F=0,

+y2+2x+4y-5=0.

【答案】（1）C（2）北+*+2%+4），-5=0

求圆的方程的两种方法

(1)直接法

根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心3,6)和半径，•有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于

a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于

D,E,尸的方程组，进而求出O,E,尸的值.

［提醒］解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.

5

1.(2020•内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点0(0,0),4(2,4),8(6,2),

则三角形OAB的外接圆方程是.

解析：设三角形043的外接圆方程是x2+y2+£»x+Ey+F=0,由点。(0,0),A(2,4),

>=0,|>=0,

8(6,2)在圆上可得,4+16+2£>+4E+F=0,解得彳。=一6,故三角形的外接圆方程为館+

36+4+6O+2E+F=0,IE=-2,

y2—6x—2y=0.

答案：X2+y2—6x—2y=0

2.若圆。经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=l相切，则圆。的方程是.

解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),设圆心为(2,〃?),

又因为圆与直线)，=1相切，

i3

所以,22+〃22=11—ml,解得机=一］,

所以圆C的方程为(x—2)2+(》+3-=苧.

答案：(x—2)2+(y+|y=?

考点二与圆有关的最值问题(综合型)

复习指导।求解此类问题常利用数形结合思想或函数思想.

角度一借助几何性质求最值

6

已知实数x,y满足方程x2+y2—4戈+1

=0.

(1)求扌的最大值和最小值;

(2)求y—x的最大值和最小值；

(3)求X2+*的最大值和最小值.

【解】原方程可化为(工一2)2+尸=3,表示以(2,0)为圆心，小为半径的圆.

(1步的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设;=匕即y=kx.

12女一Qi

当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时I——==小,解得k=±\風如

屮2+1

图1).

所以?的最大值为小，最小值为一屮.

7

(2)y—x可看作是直线>=无+6在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距/?

取得最大值或最小值，此时生兼啰=小，解得/7=—2士"(如图2).

所以y—l的最大值为-2+#,最小值为一2一

(3)%2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与

圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).

又圆心到原点的距离为4(2—0)2+(0—0)2=2,

所以尤2+尸的最大值是(2+屮)2=7+45，X2+*的最小值是(2一小)2=7—4小.

与圆有关的最值问题的三种几何转化法

(1)形如〃=三形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.

(2)形如f=ox+力形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如加=。-02+。一切2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值

8

问题.

角度二建立函数关系求最值

设点尸(X,)，)是圆：(X—3)2+>2=4上的

动点，定点A(0,2),8(0,-2),则I或+为啲最大值为.

【解析】由题意，知丽=(一工，2—y),而=(一x,-2-y),所以丽+崩=(-2%,一

2y),由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x—3)2+y2=4,故y2=—(x—3"+4,

所以I丽+而I=、4x2+4)，2=2,6x—5.由圆的方程(x—3)2+*=4,易知1WXW5,所以当x=

5时，I丽+而I的值最大，最大值为2y6X5—5=10.

【答案】10

建立函数关系式求最值

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调

性等方法求最值.

9

1.(2020•反门模拟)设点尸(x,y)是圆：爲+。，-3)2=1上的动点，定点4(2,0),8(—2,

0),则函•协的最大值为.

解析：由题意，知丽=(2—x,~y),PB=(-2~x,-y),所以说•协=鹿+)，2—4,由

于点尸(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程t+。-3)2=1,故足=一。一3)2+1,所以两•通

=一。一3)2+1+)，2—4=6丫-12.易知2・>・4,所以，当)，=4时，丽•丽的值最大，最大值

为6X4-12=12.

答案：12

2.已知实数x,y满足(x—2)2+。-1)2=1,则2=匚?■的最大值与最小值分别为

和.

v+]

解析：由题意,得、-表示过点A(0,—1)和圆(x—2)2+(y—1)2=1上的动点P(x,y)的

直线的斜率.当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程

为)，=日-1,即fcr-y-1=0,则竿二马=1,解得k=4屮,所以z=4+^,z.=4~^.

丿丿-J/d+l3max3min3

较安4+帀4—帀

a菜：33

考点三与圆有关的轨迹问题(综合型)

10

已知4(2,0)为圆心+*=4上一定点,

8(1,1)为圆内一点，P,。为圆上的动点.

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若/尸8。=90。，求线段P。中点的轨迹方程.

【解】(1)设4P的中点为M(x,y),

由中点坐标公式可知，尸点坐标为(2x-2,2y).

因为P点在圆x2+y2=4上，

所以(2v-2)2+(2y)2=4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x—1)2+*=1.

(2)设P。的中点为Mx,y),

在RtAPBg中，PM=IBM,

设。为坐标原点，连接ON,则ON1PQ,

所以10*2=\ON\2+\PN\i=\ON\2+IBN12,

所以％2+y2+(x-l)2+(y—1)2=4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2—x~y—1=0.

II

与圆有关的轨迹问题的四种求法

已知RtAABC的斜边为48,且4（一

12

1,0),8(3,0).求:

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

解：⑴法一：设C(x,y),

因为A,B,C三点不共线，所以y¥0.

因为AC丄BC,所以上一•大吐=一1,

ACDL

乂与。=x+l'kBc=~9

所以备

x十1x~3

化简得x2+j2—2x—3=0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2—2A—3=0(y0).

法二：设A8的中点为。，由中点坐标公式得。(1,0),由直角三角形的性质知IC£)I=；

L4BI=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以0(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A,B,C三

点不共线，所以应除去与x轴的交点).

所以直角顶点C的轨迹方程为(上一l)2+y2=4(yW0).

(2)设y),C(x0,.),

因为5(3,0),M是线段8C的中点，

由中点坐标公式得

所以%=2x—3,y0=2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x—1)2+*=4()學0),

<x0=2x-3,yQ=2y代入得(21-4)2+(2>)2=4,

即(X—2)2+>2=1.

因此动点M的轨迹方程为(x—2)2+y2=l(yW0).

13

[基础题组练]

1.己知圆C的圆心为(2,-1),半径长是方程(尤+1)。-4)=0的解，则圆C的标准方

程为()

A.(x+1)2+0，-2)2=4B.(x—2)2+(y—1)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=16D.(X+2)2+(>-1)2=16

解析：选C.根据圆C的半径长是方程(x+l)(x-4)=0的解，可得半径长为4,故要求

的圆的标准方程为(x-2)2+(y+l)2=I6.

2.(2020•河北九校第二次联考)圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y

+4=0与圆C相切，则圆C的方程为()

A.x2—y2—2x—3—0B.x2+yi+4x=0

C.%2+y2-4x=0D.x2+y2+2x~3=0

13m+41

解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x—/n)2+y2=4(/n>0),则/==2,解得加

432+42

14

=2或机=—彳(舍去)，故所求圆的方程为(x—2)2+y2=4,即》2+)，2—4x=0,故选C.

3.方程3—1=41—()，-1)2所表示的曲线是()

A.一个圆B.两个圆

C.半个圆D.两个半圆

(M-l)2+(^-1)2=1,

解析：选D.由题意得，

lrl-1^0,

f(x-1)2+(^-1)2=1,f(x+l)2+(.y-1)2=1,

[xNl[x^-i.

故原方程表示两个半圆.

4.(2020・湖南长沙模拟)圆%2+y2-2x-2y+l=0上的点到直线工一>=2距离的最大值

14

是()

A.1+72B.2

C.1+乎D.2+2也

解析：选A.将圆的方程化为。-1)2+。-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆

11—1—21

心到直线x-y=2的距离d=—7=-=6，故圆上的点到直线x-y=2距离的最大值为d

72

+1=6+1,选A.

5.点尸(4,-2)与圆北+丫2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x—2)2+6+1)2=1B.(X—2)2+3+1)2=4

C.(x+4)2+(y—2)2=4D.(x+2)2+(y—1)2=1

4+.%

x=2",

解析：选A.设圆上任一点为。(X。，y。)，PQ的中点为M(x，y)，则.,解得

~2+yn

y—2，

X=2X~49

因为点。在圆X2+*=4上，所以4+赤=4,即(2x—4)2+(2y+2)2=4,化简

瓦=2》+2.

得(冗一2)2+0+1)2=1.

6.已知方程〃2*+(〃+2)戸+4工+8)；+5〃=0表示圆，则圆心坐标是,

半径是.

解析：已知方程表示圆，则〃2=。+2,

解得4=2或4=—1.

当4=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.

当a=—1时，原方程为x2+y2+4x+8y—5=0,

化为标准方程为0+2)2+0+4)2=25,

表示以(-2,—4)为圆心，半径为5的圆.

答案：(-2,-4)5

7.过两点4(1,4),8(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程为.

解析：设圆的标准方程为(x—。)2+°，一b)2=r2.因为圆心在直线y=0上，所以6=0,所

[(1—«)2+16=/-2,

以圆的方程为。一〃)2+*=r2.又因为该圆过A(l,4),8(3,2)两点，所以

[(3-。)2+4=不，

解得,I二2()'所以所求圆的方程为。+1)2+尸=20.

答案：(x+l)2+y2=20

8.若圆。与圆x2+>2+2x=0关于直线x+y—l=O对称，则圆。的方程是.

解析：设C(a,/?),因为已知圆的圆心为4(-1,0),由点A,C关于x+)-l=0对称

15

1备X(T)=T，

。=1,

解得又因为圆的半径是1,

b=2.

所以圆C的方程是(X—1)2+(J—2)2=1,

即x2+y2—2x—4y+4=0.

答案：x2+y2—2x—4y+4=0

9.求适合下列条件的圆的方程.

(1)圆心在直线>=—41上，且与直线/：x+y—1=0相切于点尸(3,-2)；

(2)过三点三(1,12),8(7,10),C(-9,2).

b=-4。，

v(3—I(—2—卜、2*~

解：(1)法一：设圆的标准方程为(兀一〃)2+(y—Z;)2=r2,则有

k~^~=r,

解得a=l,b=—4,r=2y[2.

所以圆的方程为(x—l)2+(y+4)2=8.

法二：过切点且与x+y—1=0垂直的直线为y+2=x—3,与y=-4x联立可求得圆心

为(1,-4).

所以半径r=.(l-3)2+(—4+2)2=2也,

所以所求圆的方程为。-1)2+()，+4)2=8.

(2)设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(Di+E2-4F>0),

l+144+£>+12E+F=0,

则《49+100+7。+10E+F=0,

.81+4-9£)+2E+F=0.

解得。=-2,£=-4,F=-95.

所以所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.

10.已知以点P为圆心的圆经过点&-1,0)和8(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P

于点C和力，且IC£>l=4jT5.

(1)求直线CO的方程；

(2)求圆P的方程.

解：(1)由题意知，直线A8的斜率k=l,中点坐标为(1,2).

则直线C。的方程为y—2=—(x—1),即x+y—3=0.

(2)设圆心P(a,h),

则由点P在CD上得a+6—3=0.①

16

又因为直径ICDI=4回，所以I巩1=2回,

所以3+1)2+62=40.②

a=-3,

由①②解得或，

b=6,

所以圆心P(—3,6)或P(5,-2).

所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(无一5)2+0+2)2=40.

[综合题组练]

1.自圆C：(x-3)2+G，+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为。，尸。的长

度等于点？到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()

A.8x-6y-21=0B.8x+6y—21=0

C.6x+8y—21=0D.6田一8y-21=0

解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.

因为IPQI=POI,JLPQLCQ,

所以IP0l2+f2=PCl2,

所以ja+y2+4=(x—3)2+。+4)2,

即6x-8y-21=0,所以点尸的轨迹方程为6x-8y-21=0,故选D.

2.设点P是函数y=—{4—(x—1)2的图象上的任意一点,点Q(2a,a—3)(aWR),则炉。1

的最小值为()

A.8，-2B.\{5

C.巾-2D.乎-2

解析：选C.如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(l,0),点。在

直线/:X-2)，-6=0上.过圆心C作直线/的垂线，垂足为点A,»]\CA\=\[5,\PQ\.=ICAI

17

-2=帀-2.故选C.

卜20,

3.(应用型)已知平面区域“20，恰好被面积最小的圆C：(x—a)2+(y—b)2—rz

Lr+2y-4<0

及其内部所覆盖，则圆C的方程为.

解析：由题意知，此平面区域表示的是以0(0,0),尸(4,0),2(0，2)所构成的三角形

及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.

因为厶。/5。为直角三角形，

所以圆心为斜边尸。的中点(2,1),半径厂=华=由，

因此圆C的方程为。一2)2+。-1)2=5.

答案：(X—2)2+。-1)2=5

4.(应用型)已知4(0,2),点尸在直线x+y+2=0上，点。在圆C：x2+y2-4x~2y=

0上，则IM+IPQ啲最小值是.

解析：因为圆C:x2+y2-4x—2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r=小的圆.设

I机+0,〃+2

I-y+—7-+2=0,

点4(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为4(〃?，n),故

n-2

m—0

w=-4,

解得故4(-4,-2).

几=—2,

连接4。交圆。于Q,由对称性可知

\RA\+\PQ\=\A,P\+\PQ\^\A,Q\=lA,C\-r=2yj5.

答案：2小

5.(2018•高考全国卷H)设抛物线C：/=4元的焦点为尸，过尸且斜率为左伏>0)的直线