北理工高等代数课件§

北理工高等代数课件大纲contents目录引言线性方程组与矩阵向量空间与线性变换特征值与特征向量多项式与行列式线性变换的矩阵表示01引言123高等代数是数学的一个重要分支，主要研究线性代数、多项式代数、抽象代数等领域的基本概念、性质和定理。高等代数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是解决复杂数学问题的重要工具。学习高等代数有助于培养学生的逻辑思维、抽象思维和解决问题的能力，提高数学素养。高等代数的定义与重要性高等代数起源于19世纪，随着数学的发展和需要而逐步形成和完善。线性代数的研究可以追溯到17世纪，而抽象代数的研究则是在19世纪末和20世纪初开始兴起。20世纪以来，随着计算机科学和数学的不断发展，高等代数的研究和应用也得到了更广泛的发展和应用。010203高等代数的发展历程02线性方程组与矩阵线性方程组的定义线性方程组是由一组线性方程组成的数学模型，其中包含未知数和已知数。线性方程组的解法通过消元法、代入法、高斯消元法等解线性方程组，得到未知数的值。解的存在性讨论线性方程组解的存在性，如唯一解、无穷多解等。线性方程组的解法矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵的定义矩阵中的每个元素都有行标和列标，表示其在矩阵中的位置。矩阵的元素矩阵的行数和列数称为矩阵的维度。矩阵的维度矩阵的基本概念矩阵的加法一个数与一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的性质01020403讨论矩阵的一些基本性质，如转置、逆、行列式等。相同维度的两个矩阵可以相加，得到一个新的矩阵。两个矩阵相乘，需要满足一定的条件，得到一个新的矩阵。矩阵的运算与性质03向量空间与线性变换向量空间的基本概念01向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法、数乘等封闭性、结合律、分配律等基本性质。02向量空间中的向量可以用坐标表示，坐标系的选择对于向量的表示具有重要意义。向量空间中的零向量和负向量的定义和性质。03线性变换的定义与性质线性变换是向量空间中的一种变换，它将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，满足加法、数乘等线性性质。线性变换可以用矩阵表示，矩阵的行和列对应于输入和输出空间的基向量。线性变换的性质包括：线性变换的加法、数乘、复合、逆变换等。向量空间的子空间是指向量空间中的一部分，仍然满足向量空间的性质。基底是向量空间中一组线性无关的向量，可以用来表示向量空间中的任意向量。向量空间的子空间与基底子空间的性质包括：子空间的加法、数乘封闭性、子空间的基底等。基底的选择对于向量的表示和线性变换的矩阵表示具有重要意义。04特征值与特征向量特征值与特征向量的定义与性质特征值对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和常数λ，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。特征向量的性质特征向量与特征值一一对应，不同的特征值对应的特征向量线性无关，矩阵乘以特征向量等于特征值乘以特征向量。相似变换法通过相似变换将矩阵A变换为对角矩阵，对角线上的元素即为特征值，对应的非零列向量即为特征向量。幂法通过反复计算矩阵的幂来逼近特征向量，当矩阵A的幂趋于零时，对应的列向量即为特征向量。定义法根据特征值的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特征值和特征向量。特征值与特征向量的计算方法在线性变换中的应用通过求出线性变换矩阵的特征值和特征向量，可以了解线性变换的性质和行为。在矩阵分解中的应用通过求出矩阵的特征值和特征向量，可以将矩阵分解为若干个简单的部分，便于分析和计算。在数值计算中的应用在解决某些数值问题时，需要求解方程组的根或者求解某些函数的极值，通过利用特征值和特征向量的性质，可以简化计算过程。特征值与特征向量的应用05多项式与行列式VS由数字、未知数和四则运算符号通过有限次运算得到的代数式称为多项式。性质多项式是整式的一种，具有整式的所有性质。此外，多项式还有次数、根等特性。定义多项式的定义与性质行列式是n个数字按照一定排列和顺序构成的代数式，通常用大写字母A或D表示。定义行列式具有一系列独特的性质，如转置、乘法、除法等。行列式的值是一个标量，可以用来解决线性方程组等问题。性质行列式的定义与性质计算方法行列式的计算方法包括展开法、递推法、归纳法等。其中，展开法是最基本的方法，通过将行列式按某一行或某一列展开，将其化为更简单的形式。应用行列式在数学和物理中都有广泛的应用，如解线性方程组、求矩阵的逆和行列式、判断二次型是否正定等。此外，行列式在计算机科学、工程学等领域也有重要的应用价值。行列式的计算方法与应用06线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示方法线性变换的矩阵表示具有一些重要的性质，如线性组合性质、数乘性质、转置性质等。矩阵表示法的性质线性变换是向量空间中的一种运算，它将向量空间中的元素进行线性变换。矩阵表示法是将线性变换用矩阵形式表示的一种方法。定义给定一个线性变换，选取一组基向量，将线性变换作用在这组基向量上，得到新的向量组，用矩阵表示这个新的向量组，即为该线性变换的矩阵表示。矩阵表示法的步骤矩阵加法两个线性变换的矩阵表示可以通过矩阵加法进行运算。标量乘法标量与线性变换的矩阵表示相乘，相当于将线性变换放大或缩小。矩阵乘法两个线性变换的矩阵表示可以通过矩阵乘法进行运算，满足结合律和分配律。逆矩阵对于可逆的线性变换，存在逆矩阵，使得逆矩阵与原矩阵相乘为单位矩阵。线性变换的矩阵运算规则线性变换的矩阵表示的应用通过将线性方程组的增广矩阵转换为系数矩阵和常数列矩阵，利用线性变换的矩阵表示可以方便地求解线性方程组。特征值和特征向量通过将特征值和特征向量的定义转换为矩阵形式，利