高等材料力学课件第六章平面问题

高等材料力学课件第六章平面问题CATALOGUE目录平面问题基本概念与分类弹性力学平面问题基本方程平面问题解法概述与分类典型平面问题解析解示例复杂平面问题数值求解方法介绍高等材料力学中平面问题扩展内容01平面问题基本概念与分类在某一特定平面内，物体各点处只存在两个相互垂直的应力分量，而该平面外的应力分量可以忽略不计的状态。平面应力状态在某一特定平面内，物体各点处只存在两个相互垂直的应变分量，而该平面外的应变分量可以忽略不计的状态。平面应变状态在弹性力学中，应力与应变之间存在一一对应的关系，即广义胡克定律。在平面应力或平面应变状态下，该定律可简化为二维形式。应力与应变的关系平面应力状态与平面应变状态薄板弯曲问题对于厚度远小于其他尺寸的薄板，在受到垂直于板面的载荷作用时，可以近似地将其视为平面应力问题进行处理。长柱压缩问题对于长度远大于其横截面尺寸的长柱，在受到轴向压缩载荷作用时，其横截面上的应力分布可以近似地视为平面应变问题。轴对称问题对于具有轴对称性的物体，在受到对称载荷作用时，其内部应力分布和变形情况也可以简化为平面问题进行分析。平面问题在工程实际中应用解析法：通过求解偏微分方程或积分方程来得到问题的精确解。这种方法适用于简单几何形状和边界条件的问题。数值法：利用计算机进行数值模拟，通过离散化方法将连续体划分为有限个单元，并对每个单元进行力学分析，最终得到整个结构的应力分布和变形情况。这种方法适用于复杂几何形状和边界条件的问题。实验法：通过实验手段对实际结构或模型进行加载和测试，得到其应力分布和变形情况。这种方法可以用于验证理论分析和数值模拟的正确性。平面问题的研究意义：平面问题是弹性力学中最基本、最简单的问题之一，但其研究方法、思路和结论对于更复杂的空间问题具有重要的指导意义。同时，平面问题在工程实际中具有广泛的应用背景，对于解决实际工程问题具有重要的实用价值。平面问题研究方法及意义02弹性力学平面问题基本方程表示物体内部各点处应力与外力之间平衡的微分方程组。描述物体边界上应力、位移等物理量所满足的条件，分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。平衡微分方程及边界条件边界条件平衡微分方程几何方程表示物体内部各点处应变与位移之间关系的方程，也称为应变-位移关系或协调方程。应变分量包括正应变和剪应变，分别表示物体在各个方向上的伸缩变形和剪切变形。几何方程（应变-位移关系）物理方程表示物体内部各点处应力与应变之间关系的方程，也称为本构方程或应力-应变关系。弹性模量和泊松比描述材料弹性性质的两个重要参数，弹性模量表示材料抵抗弹性变形的能力，泊松比表示材料在单向拉伸或压缩时横向应变与纵向应变之比。广义胡克定律适用于各向同性材料的物理方程，表示应力与应变之间呈线性关系。对于各向异性材料，需要采用更复杂的物理方程来描述其应力-应变关系。物理方程（应力-应变关系）03平面问题解法概述与分类通过数学物理方程等理论工具，求得精确解或近似解的方法。对于简单边界条件和几何形状的问题，解析解法通常可以得到精确解。解析解法基于数学和计算机科学的原理，通过数值逼近的方式求解问题。适用于复杂边界条件和几何形状的问题，可以得到足够精确的近似解。数值解法解析解法与数值解法简介分离变量法将多变量问题转化为单变量问题，通过求解常微分方程得到问题的解。适用于具有规则几何形状和齐次边界条件的问题。复变函数法利用复变函数理论，将平面问题转化为复平面上的问题，通过求解复变函数方程得到问题的解。适用于具有复杂几何形状和边界条件的问题。分离变量法、复变函数法等解析技巧将连续的问题离散化，用差分方程近似微分方程，通过求解差分方程得到问题的近似解。适用于具有简单几何形状和规则网格的问题。有限差分法将连续体离散化为有限个单元，每个单元用简单的函数近似表示，通过求解有限元方程得到问题的近似解。适用于具有复杂几何形状和不规则网格的问题，是工程上最常用的数值方法之一。有限元法有限差分法、有限元法等数值方法04典型平面问题解析解示例问题描述01矩形区域在边界上受到均匀分布的拉伸载荷作用，需求解其应力分布和变形情况。解析方法02通过弹性力学中的平衡方程、几何方程和物理方程联立求解，可得到矩形区域内各点的应力和位移解析解。结果分析03解析解表明，在均匀拉伸载荷作用下，矩形区域内部各点应力分布均匀，且最大应力出现在边界上。同时，矩形区域发生整体均匀变形，无局部屈曲或失稳现象。矩形区域受均布拉伸载荷作用问题描述圆形区域在边界上受到均匀分布的压力作用，需求解其应力分布和变形情况。解析方法采用极坐标下的弹性力学方程进行求解，通过联立平衡方程、几何方程和物理方程，可得到圆形区域内各点的应力和位移解析解。结果分析解析解表明，在均匀压力作用下，圆形区域内部应力分布呈现出明显的非均匀性，最大应力出现在圆心附近。同时，圆形区域发生整体压缩变形，且变形量随着半径的增大而逐渐减小。圆形区域受均布压力作用问题描述含有孔洞或裂纹的结构在受到外部载荷作用时，其应力分布和变形情况会发生变化，需进行专门的分析。解析方法针对孔洞或裂纹附近的应力集中现象，可采用复变函数方法、积分方程方法或有限元方法进行求解。这些方法能够较为准确地描述孔洞或裂纹附近的应力分布和变形情况。结果分析解析解表明，孔洞或裂纹的存在会导致应力集中现象的发生，使得局部应力显著增大。同时，结构的整体变形也会受到影响，可能会出现局部屈曲或失稳现象。因此，在设计含有孔洞或裂纹的结构时，需要特别注意其应力和变形情况的分析和计算。含有孔洞或裂纹结构受载分析05复杂平面问题数值求解方法介绍有限差分法原理及步骤原理有限差分法是基于差分原理的数值计算方法，通过离散化连续问题为差分方程进行求解。步骤首先将求解区域进行网格划分，然后在网格节点上用差分方程近似代替微分方程，最后通过求解差分方程组得到近似解。原理有限元法是基于变分原理和加权余量法的数值计算方法，通过构造插值函数来近似表示求解域上的未知场函数。操作流程首先进行区域离散化，即划分网格；然后选择合适的插值函数构造单元；接着进行单元分析，形成单元刚度矩阵和载荷向量；最后进行整体分析，组装各单元刚度矩阵和载荷向量，并引入边界条件，求解线性方程组得到近似解。有限元法基本原理和操作流程边界元法在平面问题中应用边界元法适用于求解具有规则边界的平面问题，如弹性力学、热传导等问题。优点相比于有限元法，边界元法只需在边界上划分单元，降低了问题的维度和计算量；同时，边界元法在处理无限域和半无限域问题时具有天然优势。实施步骤首先确定问题的边界条件和载荷；然后选择合适的基本解和权函数；接着将边界条件离散化，形成边界积分方程；最后通过求解边界积分方程得到近似解。应用范围06高等材料力学中平面问题扩展内容123描述材料在复杂应力状态下的非线性弹性行为，涉及应变能函数、应力-应变关系等。非线性弹性本构关系考虑材料在屈服后的塑性变形行为，包括屈服准则、流动法则、硬化规律等。塑性本构关系描述材料的时间相关变形行为，涉及蠕变、松弛等现象。粘弹性与粘塑性本构关系非线性材料本构关系在平面问题中应用基于线弹性理论，研究裂纹尖端的应力场、位移场和能量释放率等，判断裂纹的扩展方向和稳定性。线弹性断裂力学考虑材料塑性变形对裂纹扩展的影响，涉及裂纹尖端塑性区、J积分等概念。弹塑性断裂力学研究交变载荷作用下裂纹的扩展规律，涉及疲劳裂纹扩展速率、门槛值等参数。疲劳裂纹扩展断裂力学中裂纹扩展规律研究03复合材料层合板的优化设计针对特定载荷和边界条件，对复合材料层合板进行铺层优化和结构设