（聚焦典型）高三数学一轮复习《二项式定理》理 新人教B版

[第59讲二项式定理](时间：35分钟分值：80分)eq\a\vs4\al\co1(基础热身)1．[2013·焦作质检]二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(9)的展开式的第3项是()A．－84x3B．84x3C．－36x5D．36x52．[2013·四川卷](1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42B．35C．28D．213．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．64．[2013·上海卷]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))eq\s\up12(6)的二项展开式中，常数项等于________．eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．[2013·北京东城区二模]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))eq\s\up12(4)的展开式中的常数项为()A．－24B．－6C．6D．246．在(x－a)10的展开式中，x7的系数是－15，则实数a＝()A.eq\f(1,8)B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)7．[2013·湖北重点中学联考]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(20)的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项8．[2013·厦门质检]设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x29．[2013·福建卷](a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．10．[2013·浙江重点中学联考](1－2x)5(1－3x)4的展开式中按x的升幂排列的第2项等于________．11．[2013·保定八校联考]已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________．12．(13分)已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．eq\a\vs4\al\co1(难点突破)13．(12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))eq\s\up12(n).(1)若其展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若其展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

课时作业(五十九)【基础热身】1．D[解析]由二项式定理，得展开式的第3项是T3＝Ceq\o\al(2,9)x7·－eq\f(1,x)2＝36x5，故选D.2．D[解析]根据二项展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)xr，取r＝2得x2的系数为Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2)＝21.3．B[解析]令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，则a0＋a2＋a4＝8，故选B.4．－160[解析]考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝(－2)rCeq\o\al(r,6)x6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以第4项为常数项，T4＝(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－160.【能力提升】5．D[解析]展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(2x)4－r·－eq\f(1,x)r＝(－1)rCeq\o\al(r,4)·24－r·x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴展开式中的常数项为(－1)2Ceq\o\al(2,4)·22＝24，故选D.6．D[解析]展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－r·(－a)r，令10－r＝7，得r＝3，∴Ceq\o\al(3,10)(－a)3＝－15，解得a＝eq\f(1,2)，故选D.7．B[解析]展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,20)xeq\f(1,3)20－r·(x－eq\f(1,2))r＝Ceq\o\al(r,20)xeq\f(40－5r,6)，因为x的幂指数是整数，则必需40－5r是6的倍数，所以r＝2，8，14，20，即x的幂指数是整数的项共4项，故选B.8．B[解析]令x＝1，得2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an，∵a0＝Ceq\o\al(0,n)＝1，且a1＋a2＋…＋an＝63，∴2n＝64，即n＝6,则(1＋x)n的展开式有7项，展开式中系数最大的项是第4项，T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3，故选B.9．2[解析]本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr,x3的系数为8，即令r＝3，所以Ceq\o\al(3,4)a1＝8，所以4a＝8，所以a＝2.10．－22x[解析](1－2x)5(1－3x)4＝[1＋Ceq\o\al(1,5)(－2x)＋…][1＋Ceq\o\al(1,4)(－3x)＋…]，按x的升幂排列的第2项为x的一次项，它的系数为Ceq\o\al(1,5)(－2)＋Ceq\o\al(1,4)(－3)＝－22，即展开式中按x的升幂排列的第2项等于－22x.11．1[解析]展开式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(kx2)r，令2r＝8，得展开式中x8的系数为Ceq\o\al(4,6)·k4，∴Ceq\o\al(4,6)·k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.12．解：展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)xeq\f(1,3)n－r·－3x－eq\f(1,3)r＝(－3)rCeq\o\al(r,n)xeq\f(n－2r,3)，(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有eq\f(n－2r,3)＝0，解得n＝10.(2)令eq\f(n－2r,3)＝2，得r＝eq\f(1,2)(n－6)＝2，∴x2的项的系数为Ceq\o\al(2,10)(－3)2＝405.(3)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))令eq\f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－eq\f(3,2)k，∵r∈Z，∴k应为偶数，k＝2，0，－2，即r＝2，5，8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236，295245x－2.【难点突破】13．解：(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数＝Ceq\o\al(3,7)eq\f(1,2)423＝eq\f(35,2)，T5的系数＝Ceq\o\al(4,7)eq\f(1,2)324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数＝Ceq\o\al(7,14)eq\f(1,2)727＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵eq\f(1,2)＋2x12＝eq\f(1,2)12(1＋4x)12，∴eq\b\lc\