高二数学期末押题卷01（测试范围：选修一+选修二第四章）（解析版）

高二数学期末押题卷01考试时间：120分钟试卷满分：150分测试范围：选修一+选修二第四章一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角为（）A．45° B．135° C．45°或135° D．60°【分析】先求出过两点的直线的斜率，由此能求出过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角．【解答】解：过点A（﹣，）与点B（﹣，），kAB＝＝1，∴过点A（﹣，）与点B（﹣，）的直线的倾斜角为45°，故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的斜率、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知a＞0，b＞0，那么“b+4a≤ab”是“a+b≥9”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，则+≤1，根据基本不等式和充分条件必要条件的定义即可判断．【解答】解：a＞0，b＞0，由b+4a≤ab，则+≤1，∴a+b≥（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当b＝2a时取等号，若a+b≥9+≤（a+b）（+）＝（5++），∵5++≥5+2＝9，∴不能由“a+b≥9”得到“b+4a≤ab”，故“b+4a≤ab”是“a+b≥9”充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查基本不等式的运用，充分条件，必要条件，考查运算能力，属于中档题．3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a10＝a11+3，则S11＝（）A．33 B．66 C．22 D．44【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a7+a10﹣a11＝a6＝3，又由S11＝＝11a6，计算可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，若a7+a10＝a11+3，则a7+a10﹣a11＝a6＝3，则S11＝＝11a6＝33；故选：A．【点评】本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．4．（5分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都是1，O为A1C1中点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，，则（）A．x＝1，y＝1 B．x＝1， C．， D．，y＝1【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．【解答】解：依题意＝＝，又，所以，．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则下列四组向量中能使l⊥α的是（）A．＝（﹣1，0，1），＝（1，0，1） B．＝（0，2，1），＝（0，1，﹣2） C．＝（1，﹣2，1），＝（﹣2，1，﹣2） D．＝（2，﹣1，1），＝（﹣4，2，﹣2）【分析】根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则，以此判断即可．【解答】解：根据题意，直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则，对于A、B、C，均不满足，故不平行，对于D，，故，故选：D．【点评】本题考查平面的法向量与直线方向向量相关问题，属于基础题．6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是＝（﹣2，1，2），＝（3，﹣2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（）A． B． C． D．【分析】先计算两直线方向向量间夹角的余弦值，然后转化为异面直线间的夹角的余弦．【解答】解：因为cos＜＞＝＝，所以＝．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的计算方法，属于基础题．7．（5分）已知点F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点（点A在x轴上方），与y轴的正半轴相交于点N，点Q是抛物线不同于A，B的点，若，则|BF|：|BA|：|BN|＝（）A．1：2：4 B．2：3：4 C．2：4：5 D．2：3：6【分析】由，可得A为中点，进而可得A，N的坐标，再由三角形的对应比成比例可得B的坐标，进而求出|BF|：|BA|：|BN|的值．【解答】解：由题意如图所示，若，可得2＝（）+（）＝2+，可得＝，可得A为NF的中点；因为焦点F（，0），所以xA＝，代入抛物线的方程可得yA＝，即A（，p），所以N（0，p），设B（，y0），y0＜0，由＝，即＝可得：y0＝﹣p，x0＝p，即B（p，﹣），所以：|BF|＝x0+＝，|BA|＝+p+p＝，|BN|＝＝3p，所以|BF|：|BA|：|BN|＝：：3p＝2：3：4，故选：B．【点评】考查抛物线的性质，属于中档题．8．（5分）已知F是椭圆＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，在三角形AFF'中利用余弦定理，结合基本不等式，转化求解离心率的范围即可．【解答】解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝120°，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝60°，在三角形AFF'中，|FF'|2＝|AF|2+|AF′|2﹣2|AF|⋅|AF'|cos∠FAF＝（|AF|+|AF'|）2﹣3|AF|⋅|AF'|，所以，即，当且仅当|AF|＝|AF′|时取等号，即，可得，所以椭圆的离心率，故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（5分）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第k项为 B．已知数列{an}的通项公式为，则﹣8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为 D．数列{an}的通项公式为，则数列{an}是递增数列【分析】A，由数列通项求解判断；的第k出项为，B，令n2﹣n﹣50＝﹣8求解判断；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，求解判断；D判断an+1﹣an的符号即可．【解答】解：对于A，数列的第k出项为，故A正确；对于B，令n2﹣n﹣50＝﹣8，得n＝7或n＝﹣6（舍去），故B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为，故C错误；对于D，，则，因此数列{an}是递增数列，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于中档题．（多选）10．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比的倒数，即e0＝的双曲线称为黄金双曲线，若a，b，c分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（）A．当焦点在x轴时，其标准方程为 B．若双曲线的弦EF的中点为M，则kEF•kOM＝﹣e0 C．a，b，c成等比数列 D．双曲线的右顶点A（a，0），上顶点B（0，b）和左焦点F（﹣c，0）构成的△ABF是直角三角形【分析】由双曲线离心率及a2+b2＝c2可判断A；利用点差法可判断B；由及ac＝a2e0可判断C；由斜率之积为﹣1可判断AB⊥BF，进而判断D．【解答】解：对于A，若双曲线为黄金双曲线，则离心率为，又，所以，所以黄金双曲线的方程为，故A正确；对于B，由A可知，黄金双曲线的方程为，设E（x1，y1），F（x2，y2），线段EF的中点M（x0，y0），则，两式相减得，所以，即，即，所以，则kEF•kOM＝e0，故B错误；对于C，因为，所以b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故C正确；对于D，，所以kAB•kBF＝﹣×＝﹣＝﹣1，即AB⊥BF，故D正确；故选：ACD．【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△OAB为等腰三角形，顶角∠OAB＝θ，点D（3，0）为AB的中点，记△OAB的面积S＝f（θ），则（）A． B．S的最大值为6 C．|AB|的最大值为6 D．点B的轨迹方程是x2+y2﹣4x＝0（y≠0）【分析】令A（x，y）且y≠0，根据题设及两点距离公式求A轨迹为（x﹣4）2+y2＝4且y≠0，应用余弦定理、三角形面积公式求S＝f（θ）表达式，利用S△OAB＝S△OAD+S△OBD，结合圆的性质求面积、|AB|最大值，令B（m，n），则x＝6﹣my＝﹣n≠0．代入A轨迹求B的轨迹方程，即可判断各项的正误．【解答】解：由∠OAB＝θ，|OA|＝|AB|，D（3，0）为AB的中点，若A（x，y）且y≠0，则B（6﹣x，﹣y），故x2+y2＝（6﹣2x）2+（﹣2y）2＝4（x﹣3）2+4y2，整理得：（x﹣4）2+y2＝4，则A轨迹是圆心为（4，0），半径为2的圆（去掉与x轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A在轨迹圆的上半部分，即0＜yA≤2，令|OA|＝|AB|＝2|AD|＝2a，则|OD|2＝|OA|2+|AD|2﹣2|OA||AD|cosθ，所以5a2﹣4a2cosθ＝9，则，所以，A正确；由，则S的最大值为6，B正确；由下图知：|OA|＝|AB|∈（2，6），所以|AB|无最大值，C错误；令B（m，n），则xA＝6﹣myA＝﹣n≠0．代入A轨迹得（m﹣2）2+n2＝4，即m2﹣4m+n2＝0，所以B轨迹为x2﹣4x+y2＝0且y≠0，D正确；故选：ABD．【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，考查了圆的几何性质，属于中档题．（多选）12．（5分）在棱长为2的正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，DA的中点，则（）A．AC∥平面EFG B．过点E，F，G的截面的面积为 C．异面直线EG与AC所成角的大小为 D．CD与平面GBC所成角的大小为【分析】由线面平行的判定定理即可判断选项A，分析证明四边形EFGH是边长为1的正方形，且为截面，求解即可判断选项B，利用异面直线所成角的定义得到∠EGF为所求的角，即可判断选项C，利用线面垂直的判定定理证明DA⊥平面GBC，从而得到∠DCG为直线CD与平面GBC所成的角，利用边角关系求解即可判断选项D．【解答】解：对于A，因为F，G为棱CD，DA的中点，所以FG∥AC，又FG⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，所以AC∥平面EFG，故选项A正确；对于B，取AB的中点H，则四边形EFGH为截面，由选项A可得，FG∥AC，FG＝，同理可得，HE∥AC，HE＝，所以HE∥HG，且HE＝HG，故四边形EFGH为平行四边形，取BD的中点M，则BD⊥AM，BD⊥CM，又AM∩CM＝M，AM，CM⊂平面ACM，所以BD⊥平面AMC，又AC⊂平面AMC，故BD⊥AC，则EF⊥FG，所以四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面的面积为1，故选项B错误；对于C，因为AC∥FG，故异面直线EG与AC所成的角即为∠EGF，由选项B可得，∠EGF＝，故选项C正确；对于D，如图所示，因为DA⊥GB，DA⊥GC，且GB∩GC＝G，GB，GC⊂平面GBC，所以DA⊥平面GBC，则∠DCG为直线CD与平面GBC所成的角，在△DCG中，∠DCG＝，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何知识的理解与应用，主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果依然是一个向量．错误（判断对错）【分析】根据已知条件，结合空间向量数量积的定义，即可求解．【解答】解：空间向量乘法坐标运算结果为一个数字，故原命题错误．故答案为：错误．【点评】本题主要考查空间向量乘法坐标运算，属于基础题．14．（5分）已知直线l1经过点A（3，0），直线l2经过点B（0，4），且l1∥l2，则l1与l2的距离d的取值范围为（0，5]．【分析】由题意可得AB＝5，d表示l1到l2的距离，再根据0＜d≤AB，可得d的范围．【解答】解：由题意可得|AB|＝＝5，d表示l1到l2的距离，再根据0＜d≤AB，可得0＜d≤5，故答案为：（0，5]．【点评】本题主要考查两条平行线间的距离的定义和范围，基本知识的考查．15．（5分）已知数列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），则a2020的值是【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】解：数列{an}中，a1＝，an＝1﹣（n≥2），可得a2＝﹣3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2020＝a673×3+1＝a1＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，求解数列的周期是解题的关键，是基本知识的考查．16．（5分）函数的最小值为m，则直线5x+3y﹣15＝0与曲线的交点为2个．【分析】函数＝x+1++2≥2+2＝6，从而得m＝6，然后对曲线取绝对值讨论，画其与直线5x+3y﹣15＝0图像得交点个数．【解答】解：因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以数＝x+1++2≥2+2＝6，当且仅当x+1＝，即x＝1时等号成立，又因为函数的最小值为m，所以m＝6，所以曲线即为+＝1，当x＞0，y＞0时曲线方程为+＝1，当当x＞0，y＜0时曲线方程为﹣＝1，当x＜0，y＞0时曲线方程为﹣＝1，当x＜0，y＜0时曲线方程为﹣﹣＝1，不成立．以此可画出其图像，然后画出直线5x+3y﹣15＝0，如图所示可得交点为2个．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查数学运算能力及直观想象能力，所以中档题．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求一个焦点为（5，0），渐近线方程为y＝±x的双曲线标准方程．【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的a，b，得到椭圆方程即可．（2）利用焦点坐标，渐近线方程求解a，b，得到双曲线方程即可．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，∵焦距为4，长轴长为6，∴a＝3，c＝2，∴b2＝5，∴椭圆标准方程为；（2）由已知可设双曲线的标准方程为，则其渐近线方程为，因为渐近线方程为，所以，又因为双曲线的一个焦点为（5，0），所以a2+b2＝52，故所求双曲线的标准方程为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质以及方程的求法，是基础题．18．（12分）已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝9，数列{bn+an}是公比为3的等比数列，且b1＝3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（1）分别运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式；（2）运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式及错位相减法，计算可得所求和．【解答】解：（1）数列{an}是公差为d的等差数列，满足a2＝5，a4＝9，可得a1+d＝5，a1+3d＝9，解得a1＝3，d＝2，即有an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；数列{bn+an}是公比为3的等比数列，且b1＝3，可得bn+an＝6•3n﹣1＝2•3n，则bn＝2•3n﹣（2n+1）；（2）前n项和Sn＝（6+18+…+2•3n）﹣（3+5+…+2n+1）＝﹣n（3+2n+1）＝3n+1﹣3﹣n（n+2）．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的分组求和，错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．（12分）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点，且点P到抛物线准线的距离不大于10，过点P作斜率存在的直线与抛物线E交于A，B两点（A在第一象限），过点A作斜率为的直线与抛物线的另一个交点为点C．（1）求抛物线E的标准方程；（2）求证：直线BC过定点．【分析】（1）由抛物线的方程可知焦点F的坐标，由|PF|的大小，可得p的值，即求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，分别讨论直线BC的斜率存在和不存在两种情况，可证得直线BC恒过定点，【解答】解：（1）由抛物线的方程可知：焦点F（，0），|PF|＝＝3，∵p＞0，又点P到抛物线E准线的距离不大于10，解得p＝2，抛物线E的标准方程为y2＝4x；（2）证明：依题意直线AB斜率存在，设AB的方程为y﹣3＝k（x﹣7），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化简得：ky2﹣4y+12﹣28k＝0，k≠0，Δ＝16（7k2﹣3k+1）＞0，则，消去k得：y1y2+28＝3（y1+y2），①又kAC＝＝＝，则y1+y3＝6，②由①②得（6﹣y3）y2+28＝3（6﹣y3+y2），∴3（y2+y3）＝y2y3﹣10，③（ⅰ）若直线BC没有斜率，则y2+y3＝0，又3（y2+y3）＝y2y3﹣10，∴＝﹣10（舍去）；（ⅱ）若直线BC有斜率，因为＝，直线BC的方程为，即4x﹣（y2+y3）y+y2y3＝0，将③代入得4x﹣（y2+y3）y+3（y2+y3）+10＝0，∴，故直线BC有斜率时过点．【点评】本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．20．（12分）设数列{an}，{bn}的各项都是正数，Sn为数列的前n项和，且对任意n∈N*，均有，b1＝e，，cn＝an•lnbn（其中e是自然对数的底数）．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）由，n≥2时，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相减可得：an﹣an﹣1＝1，n＝1时，＝2a1﹣a1＞0，解得a1．根据等差数列的通项公式即可得出an．b1＝e，，取对数可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．利用等比数列的通项公式即可得出bn．（2）cn＝an•lnbn＝n•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）∵，n≥2时，＝2Sn﹣1﹣an﹣1，相减可得：﹣＝2an﹣an+an﹣1，又an＞0，可得：an﹣an﹣1＝1，n＝1时，＝2a1﹣a1＞0，解得a1＝1．∴数列{an}是等差数列，∴an＝1+n﹣1＝n．b1＝e，，可得：lnbn+1＝2lnbn，lnb1＝1．∴数列{lnbn}是等比数列，首项为1，公比为2．∴lnbn＝1×2n﹣1，解得：bn＝．（2）cn＝an•lnbn＝n•2n﹣1．∴数列{cn}的前n项和Tn＝1+2×2+3×22+4×23+……+n•2n﹣1．∴2Tn＝2+2×22+3×23+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．∴﹣Tn＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n．化为：Tn＝（n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了等比数列与等差数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4，AC⊥PC．（1）证明：AC⊥平面PBC：（2）若，求点D到平面PBC的距离．【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，根据条件得出BE＝1，进而得出∠ABC＝60°，然后根据余弦定理求出AC2＝12，从而根据勾股定理得出AC⊥BC，再根据AC⊥PC，即可得出AC⊥平面PBC；（2）可得出PB⊥平面BCD，连接BD，可求出CE的值，根据三角形面积公式可求出△BCD的面积，进而求出三棱锥P﹣BCD的体积，可求出△PBC的面积，设D到平面PBC的距离为d，从而用d表示出三棱锥D﹣PBC的体积，然后根据体积相等即可求出d的值．【解答】解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝2，AB＝4，过点C作CE⊥AB于E，则BE＝1，可知∠ABC＝60°，由余弦定理知AC2＝22+42﹣2×2×4×＝12，则AC2+BC2＝AB2，所以AC⊥BC，又AC⊥PC，BC∩PC＝C