高二上学期期末复习【第五章 一元函数的导数及其应用】十大题型归纳（基础篇）（解析版）

高二上学期期末复习第五章十大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1变化率问题1．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）若函数f(x)=x2+x，则函数f(x)从x=-A．6 B．3 C．2 D．1【解题思路】根据条件，直接求出f(-1)=0，f(3)=12，再利用平均变化率的定义即可求出结果.【解答过程】因为f(x)=x2+x，所以f(-1)=故函数f(x)从x=-1到x=3故选：B.2．（2023上·福建南平·高二统考期末）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为st=2t，那么该质点在t=3秒时的瞬时速度为：（A．23 B．-23 C．2【解题思路】根据瞬时变化率的定义求解即可.【解答过程】Δs所以limΔ故选：D.3．（2023下·高二课时练习）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系s=10t+5t(1)当t=20，Δt=0.1时，求Δs与(2)求当t=20时的瞬时速度.【解题思路】（1）代入计算出Δs=21.05，进而计算出Δ（2）在（1）的基础上得到ΔsΔt=210+5【解答过程】（1）Δ=10Δs（2）由（1）可知Δs当Δt趋于0时，ΔsΔ所以赛车在t=20时的瞬时速度为210m/s.4．（2023·全国·高二随堂练习）已知函数y=fx(1)当x从1变为2时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？(2)当x从-1变为1时，函数值y改变了多少？此时该函数的平均变化率是多少？(3)该函数变化的快慢有何特点？求该函数在x=1，x=3处的瞬时变化率．【解题思路】根据函数的平均变化率计算即可解决（1）（2），由瞬时变化率的定义求（3）.【解答过程】（1）Δy=f(2)-f(1)=-2，Δ故函数值y改变了-2，此时该函数的平均变化率是-2.（2）Δy=f(1)-f(-1)=-4，Δ函数值y改变了-4，此时该函数的平均变化率是-2.（3）这个函数的变化是均匀，变化率为定值.∵lim∴故函数的瞬时变化率为定值-2，该函数在x=1，x=3处的瞬时变化率都为-2.题型2题型2利用导数的定义解题1．（2023下·天津·高二统考期中）已知函数fx的导函数是f'x，若f'xA．12 B．1 C．2 D．【解题思路】根据导数定义，将增量化成12Δ【解答过程】因为f所以lim故选：B.2．（2023下·河南驻马店·高二统考期末）定义在R上的函数y=fx在区间2,2+ΔxΔx>0内的平均变化率为ΔyΔx=ΔxA．-1 B．1 C．3 D．9【解题思路】利用导数的定义可求得f'2【解答过程】由导数的定义可得f'故选：B.3．（2022·高二课时练习）已知函数fx=ax2-43ax+b，f【解题思路】先根据导数的定义求出f'(1)，再由f'1=1可求出a【解答过程】解：∵f=limΔx→0∴a=3又f1=a-43故a=32，4．（2023·高二课时练习）已知函数f(x)＝{-1x【解题思路】根据导数的定义f'(x0)=limΔx→0【解答过程】当x=4时，Δy=-1=Δx∴Δy∴lim∴f当x=-1时，ΔyΔx由导数的定义，得f'∴f'题型3题型3求曲线切线的斜率（倾斜角）1．（2022·江西上饶·统考一模）设fx为可导函数，且lim△x→0f1-f1-2△x△xA．2 B．-1 C．1 D．-【解题思路】利用导数的定义及几何意义进行求解.【解答过程】由导数的几何意义，点1,f1处的切线斜率为f因为△x→0时，f1所以f'所以在点1,f1处的切线斜率为-故选：D.2．（2023·河南·高三校联考阶段练习）设limΔx→0f2+Δx-f2-ΔxΔx=-2A．π4 B．π3 C．3π4【解题思路】根据导数的概念可得f'2【解答过程】因为limΔx→0所以f'2=-1，则曲线y=fx在点故所求切线的倾斜角为3π4故选：C.3．（2023·高二课时练习）已知函数y=fx在x=x0(1)f'(2)f'(3)f'【解题思路】分别设切线斜率为k1,k2,k【解答过程】（1）设该函数的图象在x0,fx0处的切线斜率为根据导数的几何意义由f'x0又k1=tan因为α1∈0,（2）设该函数的图象在x0,fx0处的切线斜率为根据导数的几何意义由f'x0又k2=tan因为α2∈0,（3）设该函数的图象在x0,fx0处的切线斜率为根据导数的几何意义由f'x0又k3=tan因为α3∈0,4．（2023·全国·高二随堂练习）（1）运用割线逼近切线的方法，分别求曲线y=x2在x=0，x=-2，（2）用割线逼近切线的方法，求曲线y=1x在【解题思路】（1）（2）利用导数的定义直接计算即可．【解答过程】（1）由题意，各点处导数即为曲线在该点处切线的斜率．limΔlimΔlimΔ故y=x2在x=0，-2，3处的切线斜率分别为0，-4，（2）∵limΔ故曲线y=1x在x=1处切线的斜率为题型4题型4求（复合）函数的导数的方法1．（2023下·福建泉州·高二校考期末）下列求导运算正确的是（

）A．(3x)C．(cosx)【解题思路】根据导数运算求得正确答案.【解答过程】A选项，(3x)'B选项，(lgx)'C选项，(cosx)'D选项，(x2cosx故选：B.2．（2023下·上海普陀·高二校考期末）下列求导运算正确的是（

）A．lnx+3xC．excos2x【解题思路】根据导数的运算法则求导后判断．【解答过程】lnx+3xx2exexcos2xln12+故选：C．3．（2023上·新疆昌吉·高二校考期末）求下列函数的导数.(1)y=ln(2)y=sin(3)y=xln(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).【解题思路】利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则求解作答.【解答过程】（1）函数y=ln(2x+1)，所以（2）函数y=sinxcos（3）函数y=xln(1+x（4）依题意，y=(x+1)(x+2)(x+3)=x3+64．（2023下·山东临沂·高二统考期末）已知函数fx满足f(1)求fx在x=(2)求fx的图象在点π3【解题思路】（1）求导，再令x=π（2）由（1）求得fπ3【解答过程】（1）由fx得f'则f'所以f'（2）由（1）得fx则fπ所以fx的图象在点π3,f即3x-y-题型5题型5已知切线（斜率）求参数1．（2023上·江苏南京·高二校考期末）若曲线y=x2+ax+b在点P(0,b)处的切线方程为x-y+1=0，则a，bA．1，1 B．-1，1 C．1，-1 D．-1，-1【解题思路】利用切点处的导数等于切线斜率，结合切点在切线上可得.【解答过程】解：因为y'=2x+a∵曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线x-y+1=0∴a=1，又切点(0,b)在切线x-y+1=0上，∴0-b+1=0∴b=1．故选：A．2．（2023下·湖北·高二统考期末）已知曲线y=ex+ax在点0,1处的切线与直线2x-y+3=0平行，则实数aA．-32 B．-12 C．【解题思路】由导数的几何意义求解即可.【解答过程】因为y=ex+ax则曲线y=ex+ax在点0,1又因为直线2x-y+3=0斜率为2，所以1+a=2，即a=1.故选：C.3．（2023上·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数f(x)=x(1)当x∈(0,1)时，函数f(x)的图像上任意一点处的切线斜率为k，若k≥-3，求实数a的取值范围；(2)若a=-2，求曲线y=f(x)过点M(-1,f(-1))的切线方程.【解题思路】(1)根据导数的几何意义可得当x∈0,1时，f(2)设切点，根据导数的几何意义求出切线方程，将M-1,1代入切线方程计算即可【解答过程】（1）函数f(x)=x2(x-a)由题意可得当x∈0,1时，3即有2a≤3x+函数y=3x+1x在(-∞,-1)和(1,+所以3(x+1x)>3(1+11所以a的取值范围是-∞（2）函数f(x)=x2(x+2)设切点为m,n，则n=m3+2m2，f即有切线方程为y-n=3将M-1,1代入可得1-整理可得(m+1)2(2m+1)=0，解得m=-1或即有所求切线的方程为y-1=-x+1或y-1=-即y=-x或y=-54．（2023·全国·高三校联考期末）已知ab≠0，曲线f(x)=3xa-x2在(1)求a，b的值；(2)证明：当x∈(0,1]时，f(x)<tan【解题思路】（1）根据切点和斜率求得a,b.（2）化简f(x)<tanx【解答过程】（1）由题可知f(1)=3a-1=又f'(x)=3解得a=3b=-2，即a=3,b=-2（2）f(x)=3x3-x要证f(x)<tanx，只需证3sin令g(x)=3sin则g'令h(x)=sinx-xcos所以h(x)在(0,1]上单调递增，所以h(x)>h(0)=0，即g所以g(x)在(0,1]上单调递增，则g(x)>g(0)=0，即当x∈(0,1]时，f(x)<tan题型6题型6导数中函数图象的应用1．（2023下·山东菏泽·高二统考期末）如图，函数y=fx的图象在点P1,y0处的切线是l，则

A．1 B．2 C．0 D．-1【解题思路】根据函数图象中的数据求出切线l的方程，从而可求出点P的纵坐标，则可得f(1)，求出直线的斜率可得f'(1)【解答过程】由图象可得切线过点(2,0),(0,2)，所以切线l的方程为x2+y所以切线的斜率为-1，所以f因为点P1,y0在切线上，所以y所以f1故选：C.2．（2023下·广东东莞·高二统考期末）函数y=f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是（

）

A．f'(2)<fC．f(3)-f(2)<f'(3)<【解题思路】由题意可知f'2为函数y=f(x)的图象在点A处的切线的斜率，f'3为函数y=f(x)的图象在点B处的切线的斜率，f(3)-f(2)=【解答过程】f'2为函数y=f(x)的图象在点f'3为函数y=f(x)的图象在点f(3)-f(2)=f(3)-f(2)3-2表示直线由图可知0<f故选：D.

3．（2022·高二课时练习）函数y=f(x)的图象如图所示，在图中作线段，分别表示f(2)，f(2+h)，f(2+h)-f(2)，【解题思路】根据题意在图中作出线段即可.【解答过程】如图所示：线段AC表示f(2)，线段BE表示f(2+h)，线段DE表示f(2+线段AB表示h.4．（2022·高二课时练习）如图，A，B，C，D，E，F，G为函数y=f(x)图象上的点．在哪些点处，曲线的切线斜率为0？在哪些点处，切线的斜率为正？在哪些点处，切线的斜率为负？在哪一点处，切线的斜率最大？在哪一点处，切线的斜率最小？【解题思路】根据导数的定义以及函数的图象判断即可．【解答过程】解：根据导数的定义结合图象可知，在E，F处曲线的切线的斜率是0，在A，B，C处曲线的切线的斜率是正，在D，G处的曲线的切线的斜率是负，在B处的切线的斜率最大，在D处的切线的斜率最小．题型7题型7利用导数研究函数的单调性1．（2023下·吉林长春·高二校考期末）函数f(x)=12xA．(-1,1) B．(-∞,1) C．(0,1) D【解题思路】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.【解答过程】函数fx=1求导得f'令f'∵x>0，∴0<x<1，因此函数fx=1故选：C.2．（2023下·江西萍乡·高二统考期末）已知函数fx=lnx-x-a2a∈RA．12,+∞C．1,+∞ D．【解题思路】分析可知，存在x∈1,+∞，使得f'x>0，由参变量分离法可得a>x-12x，求出函数【解答过程】因为fx=ln因为函数fx在区间1,+∞上存在单调递增区间，则存在x∈1,+即1x-2x+2a>0，可得a>x-1因为函数y=x、y=-12x在1,+∞上均为增函数，则函数g当x≥1时，gxmin=g故选：B.3．（2023下·四川自贡·高二统考期末）已知函数f(x)=1(1)若f(x)的单调递减区间为-23,1(2)若函数y=f(x)在[2，3]单调递减，求实数【解题思路】（1）求出函数的导数，根据f(x)的单调递减区间为-23,1，可得-（2）由函数y=f(x)在[2，3]单调递减，可得f'(x)≤0在[2，3]【解答过程】（1）由题意得f'因为f(x)的单调递减区间为-23,1，即f故-23,1是(x-1)(x+a+1)=0当a=-13时，f'(x)=(x-1)(x+2等号仅在x=-23,1时取得，即f(x)故a=-1（2）函数y=f(x)在[2，3]单调递减，即f'即(x-1)(x+a+1)≤0在[2，3]上恒成立，此时即a≤-x-1在[2，3]上恒成立，而(-x-1)min经验证当a=-4时,f'(x)≤0即等号仅在x=3,1时取得，此时函数y=f(x)在[2，故a≤-4.4．（2023下·天津滨海新·高二统考期末）已知函数fx=x(1)当c=3时，求函数fx在点1,f(2)求函数fx(3)设函数gx=fx-x3⋅【解题思路】（1）将c=3代入函数中求导，求斜率，然后利用点斜式写出切线方程即可；（2）对函数求导，列表分析即可；（3）先写出函数gx的表达式，对函数求导，然后将问题进行转化求出即可【解答过程】（1）当c=3时，则fx此时f'所以f'1=0，又所以切点为：1,2所以此时切线方程为y-2=0×x-1（2）因为fx从而f'x---11,+f+0-0+f递增有极大值递减有极小值递增所以fx的单调递增区间是-∞,-13和（3）函数gx有g'设h当函数gx在区间x∈等价于hx=-x由函数hx开口向下，对称轴为x=-所以问题转化为只要h2即-2实数c的取值范围11,+∞题型8题型8利用导数求函数的极值1．（2023下·广东广州·高二统考期末）已知函数fx=ax+1xa∈RA．函数fx在x=1B．函数fx在区间-1,1C．函数f'D．函数f'x在区间【解题思路】先由f'-1=0【解答过程】fx的定义域为(-由fx=ax+1因为f'-1=0，所以f所以fx=x+1由f'x>0，得x<-1或x>1，由f'x所以fx在(-∞,-1)和(1,+∞)所以fx在x=-1时取得极大值，在x=1所以AB错误，令gx=f'x当x<0时，g'x<0，当x>0所以gx=f'x所以C错误，D正确，故选：D.2．（2023下·山东菏泽·高二统考期末）已知函数fx=alnx+1A．函数fxB．当a>0时，函数fx在0,+C．当a>0时，函数fx的极小值为D．当a>0时，函数fx的极小值的最大值大于【解题思路】求出函数的导数，举反例可判断A；根据导数与函数单调性的关系可判断B；求得函数极值判断C；根据函数极小值的表达式构造函数，利用导数求得其最小值判断D.【解答过程】由fx=aln当a=0时，f'x=-1x2<0当a>0时，当0<x<1a时，f'x<0当x>1a时，f'x>0，f由B的分析可知，x=1a时，函数fx取极小值，极小值为f令g(x)=x1-lnx-1,x>0当0<x<1时，g'x>0，g当x>1时，g'x<0，g故gx≤g(1)=0，即当a>0时，函数fx的极小值的最大值小于等于0故选：C.3．（2023下·四川雅安·高二统考期末）已知函数fx=12(1)当a=1时，求函数fx(2)若函数fx在区间1,+∞上单调递增，求实数a【解题思路】（1）先求函数fx（2）由条件可知f'x≥0在【解答过程】（1）函数fx的定义域为0,+当a=1时，fx求导得f'整理得：f'令f'x=0可得，x=2当0<x<2时，f'x<0，函数f当x>2时，f'x>0，函数f所以当x=2时，函数fx取极小值，极小值为f函数fx（2）由已知x∈1,+∞时，所以x-a-2即a≤x-2x恒成立，则令函数gx由g'x=1+2x从而a≤gx经检验知，当a=-1时，函数fx所以a的取值范围是-∞4．（2023下·山东滨州·高二统考期末）已知函数fx=13x3+(1)求a的值；(2)求函数fx的极值【解题思路】（1）由导数几何意义，求出a的值；（2）由求极值的步骤，求出极大值和极小值.【解答过程】（1）由fx=1因为曲线y=fx在点1,f1处的切线平行于直线y=0，即所以12+2×1+a=0，解得（2）由（1）知fx=1令f'x=x+3x-1令f'x=故fx的单调递增区间是-∞,-3和1,+由极值的定义知极大值为f-3极小值为f1题型9题型9利用导数求函数的最值1．（2023下·江西赣州·高二统考期末）已知函数fx=2f'1A．2ln2-2 B．2ln2+2 C．【解题思路】求导，令x=1求得f'1【解答过程】函数fxd的定义域为0,+由fx=2f则f'1=2所以fx=-2ln当0<x<12时，f'x>0所以函数fx在0,12所以fx故选：A.2．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）若函数fx=ax+lnx-aA．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】先利用导数确定函数f(x)的单调性，从而确定g(a)，然后再利用导数确定g(a)的最大值.【解答过程】因为fx=ax+lnx-a当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以当a>0时，令f'(x)<0得0<x<a，此时令f'(x)>0得x>a，此时所以当x=a时，f(x)取得最小值，即g(a)=f(a)=1+lng'令g'(a)>0得0<a<1，此时g(a)单调递增，令g'(a)<0得所以当a=1时，g(a)取得最大值，即g(a)故选：A.3．（2023下·辽宁阜新·高二校考期末）设函数fx(1)求f(x)的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-2x在区间12,3【解题思路】（1）用导数的正负求单调区间即可；（2）求导，判断单调性，再求最值即可.【解答过程】（1）由题意可得f'x=x-令f'x>0，即x故f(x)的单调递增区间为1,+∞，递减区间为0,1（2）因为g(x)=f(x)-2x=1故g'x=x-令g'x>0故gx在0,1+2单调递减，在故最小值为g1+又因为g1g3故最大值为g14．（2023下·安徽亳州·高二校联考期末）已知函数fx(1)若a=0，b=1，求函数斜率为1的切线方程；(2)若ba=e，讨论f【解题思路】（1）依题意可得f(x)=xlnx-x+1，对函数f(x)进行求导，设切点为(x（2）若ba=e，则f(x)=xlnx-x-ax+ae，对函数f(x)进行求导，分别讨论当a≤1、【解答过程】（1）已知fx=xln当a=0，b=1时，函数f(x)=xln可得f'不妨设切点为(x0,因为切线斜率为1，所以lnx0=1所以f(x此时切点坐标为(e则曲线y=f(x)在点(e,1)处的切线方程为即x-y-e（2）若ba=e此时f(x)=xlnx-x-ax+ae可得f'(x)=1+lnx-1-a=ln当ea≤e，即a≤1此时函数f(x)在定义域上单调递增，则f(x)当e<ea当e≤x<ea时，f当ea<x≤e2时，所以f(x)又f(e)=elne当fe>fe2，即所以当ee-1<a<2当fe≤fe2，即所以当1<a≤ee-1当ea≥e2，即a≥2时，则f(x)综上，当a>ee-1时，函数f(x)当a≤ee-1时，函数f(x)题型10题型10导数在实际问题中的应用1．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）如图，某单位在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送两种经济作物M、N种子，并在三角形地块OAB划出一部分来种植M种子，一部分种植N种子，记OA长为70米，记OB长为50米，三角形地块OAB边OA上的高为40米，记△OAB位于直线x=tt>0左侧的图形的面积为ft，△OAB位于直线x=tt>0左侧的地块用来种植M种子，每个平方米盈利300t元，剩下的地块用来种植N

(1)求函数ft(2)设该农场种植两种经济作物M、N的盈利总和为S元，求S的最大值.【解题思路】（1）根据题意，先得到直线AB的方程，然后再将ft（2）根据题意，先得到S关于t的函数关系式，然后分别求得每一段的最大值，比较即可得到结果.【解答过程】（1）因为OB长为50米，OA边上的高为40米，所以B30,40，则直线OB的方程为y=43x，因为OA的长为70米，所以A70,0，所以直线AB的方程为y=当30<t≤70时，ft当t>70时，ft所以ft（2）由题意可知，S=记g当0<t≤30时，对称轴t=5，即gt在0,5单调递增，在5,30单调递减，此时g当30<t≤70时，S=300-30t所以，当t=5时，S的最大值为42500元.2．（2023下·山东日照·高二统考期末）某公园有一个矩形地块ABCD（如图所示），边AB长2千米，AD长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线AC是以A为顶点，以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线AC上某一点P（异于A，C两点）铺设一条直线隔离带MN，点M,N分别在边AB，BC上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点P到边AD的距离为t（单位：千米），△BMN的面积为S（单位：平方千米）．

(1)请以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出S关于t的函数解析式；(2)是否存在点P，使隔离出来的△BMN的面积S超过2平方千米？并说明理由．【解题思路】（1）由题意设抛物线方程为y=ax2，然后将点C的坐标代入可求出a，则可求得抛物线的方程，再利用导数的几何意义求出切线MN的方程，从而可求出M,N两点坐标，进而可表示出（2）利用导数求出S=12t3【解答过程】（1）如图建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(2由题意设抛物线方程为y=ax2，代入点C(2,4)，得所以抛物线方程为y=2x由题意知直线MN为抛物线的切线，因为点P到边AD的距离为t(0<t<2)，所以切点P的坐标为由y=2x2，得y'=4x，所以直线所以直线MN的方程为y-2t2=4t(x-t)令y=0，得x=t2，所以令x=2，得y=42t-2所以S=1即S=

（2）因为S=1所以S'因为0<t<2，所以t-2所以当0<t<223时，S'>0所以S=12t3-2所以当t=223时，S所以不存在点P，使隔离出来的△BMN的面积S超过2平方千米.3．（2023下·北京西城·高二统考期末）某种型号轮船每小时的运输成本Q（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为10km/h