第二章 一元二次函数、方程和不等式单元复习提升（3大易错与3大拓展）（原卷版）-2023-2024学年学年高一数学上学期单元精讲·速记·巧练（人教A版2019必修第一册）

第二章一元二次函数、方程和不等式（易错与拓展）易错点1忽视基本不等式使用条件“一正,二定,三相等”中的“一正”致错【指点迷津】在用基本不等式计算最值时，很多同学因忽略了题干条件中变量范围为负（或不全为正）的情况，从而导致求解错误，所以大家在用基本不等式求最值时一定要注意适用条件中的“一正”.典例1.1当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4典例1.2设实数满足，则函数的最大值是（

）A． B． C． D．跟踪训练1.1若，则有（

）A．最小值为3 B．最大值为3C．最小值为 D．最大值为跟踪训练1.2已知，则的最小值为（

）A． B．4C． D．易错点2解一元二次不等式中忽视二次项系数为负致错【指点迷津】在解一元二次不等式时，同学们经常会用“大于取两边，小于取中间”的结论来解题，而忽略了使用结论的前提条件是二次项系数为正，因而解题错误。正确的解题思路是先观察二次项系数是否为正，为正（画图象或用结论解题即可），不为正，则需先把二次项系数化为正，再画图象或用结论解题即可.典例2.1不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或典例2.2不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．跟踪训练2.1不等式的解集是（

）A． B．C． D．跟踪训练2.2等式的解集为（

）A． B． C．或 D．易错点3解分式不等式时直接把分母乘到不等式右边致错【指点迷津】在解分式不等式中，有同学会忽略分母符号直接把分母乘到不等式的右边而导致解题错误，正确的解题思路是先把不等式右侧常数移到左侧，再通分，最后把分式不等式等价为整式不等式解题即可，同时也要同步观察二次项系数是否为正，进而转化成易错点2进行后续求解。具体分式不等式等价整式不等式如下：①②③④典例3.1解不等式的解集典例3.1解不等式的解集跟踪训练3.1解不等式的解集跟踪训练3.2解不等式的解集拓展1糖水不等式结论：若,则有(1);(2);(3);(4)若,则.典例1.1（1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.我们将这一事实表示为不等式：当时，有，请证明这个不等式；（2）设△ABC的三边长分别为，请利用第（1）问已证不等式证明：.典例1.2（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（

）A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化B．若，，则C．若，，则D．若，，则典例1.3已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定不成立的有（）A． B．C． D．跟踪训练1.1不等关系是数学中一种最基本的数量关系，生活中随处可见.例如：“已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.”请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.跟踪训练1.2（多选）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（

）A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化B．若，，则C．若，，则D．若，，则一定有跟踪训练1.3在日常生活中有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜．已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖（，假设全部溶解），可将糖水变甜．这一事实表示为下列哪一个不等式？（

）A． B． C． D．拓展2几个重要平均数的大小关系时有，，当且仅当时取等即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数如图，设为算术平均值，为几何平均值，为平方平均值，为调和平均值，大小关系得证.典例2.1《几何原本》卷2的几何代数法（几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明；如图所示图形，点、在圆上，点在直径上，且，，于点，设，，该图形完成的无字证明.则图中表示，的调和平均数、平方平均数的线段分别是（

）A．， B．， C．， D．，典例2.2已知a、b为正实数，，则（

）A． B．C． D．跟踪训练2.1设，称为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，如图，C为线段上的点，且，，O为中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧的中点F，连接FC，则正确的是（

）A．BD的长度是a，b的算术平均数 B．OE的长度是a，b的调和平均数C．CD的长度是a，b的几何平均数 D．FC长度是a，b的平方平均数跟踪训练2.2已知a，b∈，且ab≠0，则在①≥ab；②；③ab≤2；④2≤这四个不等式中，恒成立的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4拓展3权方和不等式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)广义上更为一般的权方和不等式:设,上述两个不等式中的等号当且仅当时取等注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键，特别的,高考题中以最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.典例3.1已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．典例3.2已知实数，且，则的最小值是（

）A．21 B．25 C．29 D．33典例3.3若，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．典例3.4权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．16 B．25 C．36 D．49跟踪训练3.1已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．12 D．10跟踪训练3.2已知实数，且，则的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4跟踪训练3.3已知，，且，那么的最小值为（

）A． B．2 C． D．4跟踪训练3.4权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为．1．若，则函数最大值为.2．解下列不等式：（1）；（2）.3．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）解不等式．4．（多选）设，，称为a，b的调和平均数，称为a，b的平方平均数.如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧AB的中点F，连接FC，则下列结论正确的有（

）A．OD的长度是a，b的几何平均数B．DE的长度是a，b的调和平均数C．CD的长度是a，b的算术平均数D．FC的长度是a，b的平