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2024/3/252020—2021学年北师大版高中数学选修4-4同步配套：2.41.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.一、平摆线1.平摆线(旋轮线)一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图所示.名师点拨根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的字母r是指圆的半径,参数α是过圆周上点M的半径与过圆与x轴切点的半径的夹角.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.3.平摆线的性质当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M,得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为2r.二、渐开线1.渐开线、基圆把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,铅笔尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线的基圆,如图所示.名师点拨根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时,半径OB相对于Ox转过的角度,显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.【做一做1】

半径为4的圆的渐开线的参数方程为

.

题型一题型二题型三题型一

求平摆线的参数方程【例1】

已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程.题型一题型二题型三反思要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义.题型一题型二题型三【变式训练1】

在平面直角坐标系中,若圆的平摆线过点(1,0),求这条平摆线的参数方程.题型一题型二题型三题型二

求渐开线的参数方程【例2】

求半径为10的基圆的渐开线的参数方程.分析:代入参数方程公式即可.解:因为圆的半径r=10,所以圆的渐开线的参数方程为反思求渐开线的参数方程,只需知道半径即可.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型三

平摆线、渐开线的参数方程的应用

分析:利用参数方程求出t的三角函数值,从而求出点的坐标.反思解此类题目,应明确相应参数的意义.题型一题型二题型三解:由平摆线方程可知,圆的半径为2,则圆的周长为4π,当φ=π时,y有最大值4,平摆线具有周期性,周期为2π,故平摆线上最高点的坐标为(π+2kπ,4)(k∈Z).123451半径为2的圆的渐开线方程是(

).答案:A123452半径为4的圆的平摆线的参数方程为(

).答案:C123453面积为81π的

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