高中数学一题多解经典题型汇编

高中数学一题多解经典题型汇编

【典例1】设48是全集〃的两个子集，且IqS则下列式子成立的是()

ʌ.CUA=CUBB.CuAUCuB=U

C.A[∖CυB=φD.CuArlB=O

解法一：运算法

A.∙.∙CtzA=(CβA)U(Cf7β)=>Ct7B⊂CyΛ,A错误

B.CuA∖jA=U^CuB∖jB=U,B错误

C.VA⊂B=>A∩B=A,又∙.∙CfγBn8=0=>Cu8Γ∣A=0,C正确

D.∙.∙A⊂B=>A∩B=A=>CσA∩B≠(⅛,D错误

解法二：特殊值法

由题意，不妨设U={1,2,3},B={1,2},A=⑴，则

CUA={2,3}

ʌ.n{3}={2,3}n(Q5)u(QA),A错误

QB={3}

Xl1丁0(QB)U(CU4)={2,3}X{1,2,3}=U,B错误

B.

8—lɔʃ

C.CυB={i},A=∖∖}^>CljBΓ∖A=φ,C正确

D.QA={2,3},B={l,2}nQAnB={2}≠0,D错误

解法三：韦恩图法

如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.

♦◊方法解读

解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。

解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简

单。

解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的

思想。

【典例2】己知(1-，)2=3+痣，(，是虚数单位)，则复数2在复平面内对于的点位于第象

限.

解法一：复数的四则运算法

∙∙∙(lr∙R=3+"n”如亘=(3+同(l+i)=(3-扬+(3+扬、三在+也互

1-z(l-z)(l+r)222

.∙.Z=上叵一±也i=第四象限.

22

解法二：利用相等复数法(待定系数法)

设复数z=α+瓦,则5=α-0i

.∙.(l-z)z=3+√2∕=>(1-Z)(α-⅛O=3+√2z=>(α-fc)-(α+fo)Z=3+√2z

-3-√2

"b=3"=2,.3-√23+√2.给Iraana

/—={LnZ=α+Zn=-------------------1=>第四家限.

-(α+⅛)=√2,3+√222

D=----------

2

♦◊方法解读

解法一：先通过解方程得出复数Z的共匏复数，再根据复数与共加复数的关系判断出复数

在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。

解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法

解出a,6的值，这种方法在有些时候非要有用。

'y≤2x

【典例3］若变量X,y满足约束条件■2x+y≤l,则∙z=3*+y的最大值是________.

y≥-1

解法一：解方程法

y=2x①

将原式的不等号看成等号，得2x+y=l②

J=T③

1

X=—

y=2x4CC115

由①②，得=>z=3x+y=3∙—I=一

2x+y=1l424

1

y=2x一X—___

由①③，得+(-∣)=-∣

V=T=2=>Z2=3x+y=3∙

J=T

2χ+y=1X=I

由②③，得

=>z3=3x+y=3∙l+(-1)=2

y=-ι=J=T

比较z∣,z2,z3的大小，得,3jf+y的最大值是2.

解法二：作图法

J=2Λ∙

P

y=-ι

2x+y=∖

∖y=-3x+z∖

由图可知，只有当待定直线y=-3x+z过点P(l,-1)时，直线的截距b=z才最大，即

zman=3x+y=3-1+(-1)=2.

♦◊方法解读

解法一：解方程法虽然来得快，但是并不是所有线性规划题型都适用，具有一定的局限性。

解法二：作图法比较直观，但是很多同学作图不规范、区域找不准也容易造成丢分。因此

一定要掌握好作图法的精髓，避免不必要的丢分。

【典例4］当0<x<2时，函数y=x(6-3x)的最大值是

解法一：二次函数图像法

y=x(6—3x)=—3X2+6X=Λ⅛=---=-------=1

-f2a2-(-3)

,3

∕ωmax=∕()=∙

解法二：均值不等式法

由不等式"«^[4/7€尺+知

3x+3v

y=x(6-3x)=ɪ-3x(6-ɜɪ)≤ɪ∙^^~^ŋ=3

当且仅当3x=6-3x,即x=l时，等号成立

故/(x)max=/⑴=3∙

解法三：单调性法(求导法)

已知函数的定义域为(0⑵，则

f(X)=-3X2+6X=>f'(x)=-6x+6

f∖x)>0=-6x+6>0=>0<x<l

∕,(x)<0=>l<x<2

.∙.∕(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)单调递减

n∕(x)max=AD=3∙

♦◊方法解读

解法一：二次函数图像法在初中阶段就已经深入学习，要用此法一定要充分掌握二次函数

的图像和性质，知道如何求二次函数的对称轴，最值等方法。

解法二：观察该函数的结构，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要

注意三个前提条件“一正、二定、三相等"，如果无法取到等号那讨论将失去意义，同学们

应当特别注意。

解法三：通过求导得到函数的单调性，再将函数的极值与端点值进行比较，从而得到最值。

【典例5］已知Sina+cosα=,且∙^≤a44,贝∣Jtan(a-?)=

~5

解法一：解方程组法

1

∙.∙sma+cosa=——①

5

又∙.∙sin2α+cos2a=1②

2

=>sin2α+(-E-Sina)2=1=∑>25sinα+5sina-12=0

即(5sina-3)(5Sina+4)=O

解得Sina=3或Sina=-4

55

由工≤α≤乃=Sina3

25

3

.•.cos«=-l-sin«=-4,tanaSina_53

55CoSa44

5

π3

tana-tan—

tanα-l

.,.tan(α-44

九I+tana

I1+tanatan—

4

解法二：整体代入法

πsinaɪ

tanσ-tan

πtanof-1CoSa_sina-COSa

tan(α----)=4=

4.冗l÷tanaɪɪsinorSina+cosα

1+tancrtan—

4CoSa

1

∖∙SIna+cosα=——①

5

(sinα+cosa)2=>sι.n2α+c2s∙ιnαcosα+cosi~α=——ɪ

25

ɪ+2sinacosα=Lnsinacosa=--

2525

(Sina-COSa)2=sin20-2sinacosσ+cos2<7=(sinor+cosσ)2-4sinacosa

又∙.∙工≤α≤τr=sinα—CoSa>O

2

,7小

SIna-CoSa=W3

7

∏-Sina-CoSa5

「•原s式μ=----------=ɪ='-7.

Sina+cosa_ɪ

~5

解法三：万能公式法

1

∙.∙sɪnɑ+costz=——

5

2(1Y

=(Sina+cosa)=I--Insm2a+c2sm∙acosa÷cos2a=——ɪ

25

・・

sɪnc2a-2csιnacosa=---2-4-

25

2tanX

2tan。24Ie2CUICC

∙.∙sinx=--------2-=>s.inC2a=--------==>12tana+25tan。+12=0

,2χ2

1+tan—l+tana25

2

=>(3tan。+4)(4tana+3)=O

解得tana=-9或tana=--∣(舍)

43

π

tana-tan_2,,

.∙.tan(σ-ɪ)=--------------ɪ=tana-l_4_

'+tana-

1+tanatan-

4

♦◊方法解读

解法一：解方程组法是非常常规的方法，是大多数同学普遍使用的方法。但是应用该方法

计算相当繁琐，而且不易计算。

解法二：观察所求式子的结构，采用整体代入法是本题的技巧，但是该方法不是所有题目

都适用，同学们要灵活的运用，不能死记硬背，机械记忆。

解法三：此题也可以用万能公式法，但是很多同学记不住万能公式。因此有些必要的公式

还需要同学们加强记忆和巩固，只有基本功扎实了，才能应付灵活多变的数学难题。

【典例6】已知向量苏=(匕2),OB=(-2,3),ð?=(34,-4),且A,8,C三点共线，则Z=.

解法一：距离公式法

AB,C三点共线n∣ΛB∣+∣BC∣=∣AC∣

取。点的坐标为(0,0),则

A(*,2),β(-2,3),C(3k,-4)

=>IABI=7(-2-ŋ2+(3-2)2

22

=>∖BC∖=y∣(3k+2)+(-4-3)

=>IAq=J(3A-Z)2+(T-2)2

由∣AB∣+忸q=,q,解得Z=_3.

解法二：共线向量法

A,B,C三点共线=>ΛB∕∕BC∕∕AC

AB=OB-OA=(-2,3)-(Λ,2)=(-2-⅛,1)①

IiC=OC-OB=(3⅛-4)-(-2,3)=(3⅛+2,-7)②

AB//BC=>xiy2-X2y↑=O

(-2-*)∙(-7)-(3*+2)∙l=0=>⅛=-3.

解法三：斜率法

AB,C三点共线=>kAB=kBC=kAC

又∙∙∙A(k2),B(-2,3),C(3kT)

噎=-ξ1ξ2-==L②

氏3我-(-2)32+2

,,1-7

♦◊方法解读

解法一：距离公式法属于常规法，容易想到。但应用此法主要的困难是去掉根号这一步，

要等式两边同时平方两次才能将根号去掉，计算量相当大，一般来说不建议应用此方法。

解法二：将三点共线问题转化为共线向量问题，是解决该题最好的方法和思路。因此在以

后遇到的数学问题当中，转化思想仍然值得每位同学理解和掌握。

解法三：斜率法也是解决该题很好的方法，应用此法可以减少很多计算，过程简单，逻辑

鲜明。

【典例7】已知函数满足f(x-2)=χ2+5χ+7,则/(X)=.

解法一：图像平移法

2

f(x-2)=X+5X+1是将/(X)的图像向右平移2个单位长度得到

因此再将/(x-2)=χ2+5χ+7的图像向左平移2个单位长度，得

/(x+2-2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21

2

BP∕∙(Λ-)=X+9X+21.

解法二：赋值法

为了得到/(x),不妨令X=X+2,贝IJ

/(X+2-2)=(X+2)2+5(A∙+2)+7=√+9X+21

即/(χ)=χ2+9x+21.

解法三：换元法

令“=x—2,贝IJX=〃+2

/(x-2)=x2+5x+7n/("+2-2)=(w+2)2+5(«+2)+7=M2+9«+21

n/(w)=W2+9M+21

2

g[J∕(x)=x+9x+21.

解法四：构造法

/(x-2)=x2+5x+7=(x2—4x+4)+4x-4+5x+7

=(X-2)2+9Λ∙+3=(X-2)2+(9JT-18)+18+3=(X-2)2+9(X-2)+21

将X-2看成整体X,g∣J∕(x)=x2+9x+21.

解法五：待定系数法(特殊值法)

由题意知，/(X)为二次函数

不妨设/(X)=ax2+bx+c(a≠0),则

,

由t∕(x-2)=X-+5x+7,得

当x=2时，W∕(O)=22+5∙2+7=α∙O2+⅛∙O+c①

当X=O时，Wf(-2)=02+5-0+7=a-(-2)2+b-(-2)+c②

⅛x=3l⅛,W∕(l)=32+5∙3+7=α∙l2+⅛∙l+c③

联立解得α=l,6=9,c=21

即/(χ)=χ2+9x+21.

♦◊方法解读

解法一：应用图像平移法一定要清楚函数图像平移的原则：左加右减，上加下减。左右平

移变化的是χ(横坐标)，上下平移变化的是y(纵坐标)o

解法二：赋值法的本质是换元法，所以此方法与换元法相一致，值得一提的是户户2的意

思是将广2赋给X,这里的等号不是严格意义上的等号，否则出现0=2的逻辑错误。

解法三：换元法是求函数解析式最重要的方法之一，同学们一定要熟悉掌握。但此方法也

有局限性，不是所有题目都适用，有些题目只能用其他方法如解方程组法、整体代入法等。

解法四：构造法也叫配凑法，也是求函数解析式常用的方法之一，配凑的原则是“形式一

致性”，只有配凑与函数自变量一致的形式，才能整体换元。

解法五：待定系数法最重要的思想是已知函数的类型，从而假设出函数的解析式，进而转

变为求函数的系数或参数。

【典例8】函数/(x)=ln(x2-9x+20)的单调递增区间是,

解法一：利用复合函数的求导法则

f(x)=In(X2-9x+20)的定义域为f-9χ+20>0n(x-4)(X-5)>0

=>x<4⅛lx>5

令"(x)=χ2-9x+20,则X对=--—=—

12a2

；.“(x)在(-∞,4)单调递减，在(5,∙w)单调递增

又∙.∙/(〃)=In"在(0,-κo)上单调递增

故/(x)在(YO,4)单调递减，在(5,^o)单调递增

解法二：利用导数与函数单调性的关系

f(x)=In(X2-9x+20)的定义域为(TO,4)U(5,+∞)

f,ω=-y—!-------(χ2-9x+20y=

√-9x+20J√-9"x+20

9

f∖x)>0=>2x-9>0=>x>ɪ=>x>5

9

f,M<0=>2x-9<0=>x<-=>x<4

故F(X)在(FO,4)单调递减，在(5,转)单调递增.

♦◊方法解读

解法一：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，即当内、外层函数的单调性相同时,

复合函数单调递增；当内、外层函数的单调性不同时，复合函数单调递减。值得一提的是,

所有函数都要在定义域的范围之内进行讨论和研究，超出定义域的范围函数没有意义。

解法二：利用导数与函数单调性的关系来求函数的单调性，是中学阶段最重要的思想方法

之一。同学们一定要掌握：只要导函数大于零的区间，函数一定单调递增；只要导函数小

于零的区间，函数一定单调递减；在导数为零处，函数的增减性无法判断。

【典例9】已知直线区-y+2-3k=O过定点P,则P点的坐标是.

解法一：点斜式法

由kx-y+2-3k=0=>y-2=k(x-3)

显然，当x=3时，y=2

点(3⑵与直线斜率左无关

故直线过定点P(3,2).

解法二：解方程组法(特殊直线交点法)

取A=O时，得y=2①

取&=1时，得x-y-l=0②

联立①②式，解得x=3,y=2

即直线过定点P(3,2).

♦◊方法解读

解法一：点斜式法求直线过定点是最直接的方法，这也是最常规的方法。但在有些题型中

很难将给定的待定直线写成点斜式，这就要求同学们另寻他法，以求得解。

解法二：解方程组法的基本思路是寻找特殊的两条直线的交点，这个交点即为直线所经过

的定点。这是目前解决此类问题最好的方法，同学们一定要掌握其精髓，已达到事半功倍

的效果。

【典例10】已知A46C为等边三角形，。是6C上的点，AB=4,BD=X,则荔•瓦—

解法一：直接运算法(数量积公式、向量的加法)

A

^∖B^∖D=^B(AC+CD)=ABAC+ABCD

—►—►—►3—»—►—»3—►—»

=AB∙AC+AB-CB=∖AB^AC∖cos60°+-1AB∣∣Cβ∣cos600

44

B1DC

131

4×4×-+—×4×4×-=14.

242

解法二：三角函数法(余弦定理法)

由余弦定理，得

A

AD-=AC2+α>2-2AC∙8∙cos60°=42+32-2X4X3XL13

2

4

=>AD=√13

6oςi

C

42+(而)2一半_7

COSa=

2A8∙AQ2×4×√13^2√13

/.Aβ∙ΛD=∣Λβ∣∣AD∣cosa=4×√13×-^==14.

2√13

解法三：建立坐标系法

y

取的中点为。，建立平面直角坐标系XO)，如图所示:

A(0,2√3),8(-2,0),D(TO)

CX

^ΛB=(-2-2√3),ΛD=(-l,-2√3)

2Λ∕3)

=>AB-AD=xlx2+y}y2——2×(―1)+(―2∙∖∕3)×(―=14.

♦◊方法解读

解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本

运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。

解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量

运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。在一定程度上也是解题

不错的方法。

解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向

量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

【典例11】求过点P(2,l),且与圆(X-I)2+(y+2)2=4相切的直线/的方程是

解法一：判别式法

由题意知，设直线的方程为y-l=%(x-2),则

f>∙-l=⅛(χ-2)2r

∖,ɔ=>√-2x+l+k(x-2)+3^V=4

l(Λ-l)2+(y+2)2=4

=>(l+λ2)√+(-4λ2+6⅛-2)x+4Λ2-12⅛+6=0

Δ=⅛2-Aac=(-4M+6&_2)2_4(1+k2)(4k2-12⅛+6)=0

nQk2-3⅛+l)2-(l+⅛2)(4⅛2-12Zr+6)=0

=>∣4Λ4+2(2k1)(1-3⅛)+(1-3⅛)2]-(4⅛2-12⅛+6+4⅛4-12⅛3+6⅛2)=0

=>4⅛4+4⅛2-l2⅛3+(l-6⅛+%2)-4⅛2+12⅛-6-4⅛4+12⅛3-6⅛2=0

=>3⅛2-6⅛-5=0

解得&=士)也=过普

故所求直线方程为y-l=3-；痣(X-2)或y-l=3+;"(χ-2).

解法二：圆切线的性质法

由题意知，设直线的方程为y-l=A(."2),则

Ax-y+l-2⅛=0

又因为圆心为(1,-2)

圆心到直线的距离等于半径，即

IAr+ByO+C∣|4+2+1-2我|

a=-----0/:—=------7----=r=Z

√Λ2+B2y∣lc2+1

=^∣3-⅛∣=2√jt2+l≈>9-6Ar+⅛2=4M+4=3/+6Z-5=0

解得女三侦也二主吆.

33

故所求直线方程为y-l=±2仅(x-2)或y-l=主心近(x-2).

♦◊方法解读

解法一：依据数形结合的思想，直线与圆相切，意味着将直线与圆联立方程后消去y得到

的关于X的一元二次方程有唯一的实数根，从而转化为△=()的解方程问题。该方法的思路

非常简单，也属于常规法之一。但是应用此方法解题有时候计算量太大，通常不建议应使

用该方法。

解法二：利用切线的性质是解决此类题型非常好的方法，而且计算量小，过程简单，非常

值得每位同学去学习和掌握。

①当OCXCl时，log2x<0,x-^<0,止匕时有/(x)=2T0g2*+x-L=L+x-L=x

XXXX

②当x21时，log2X>0,x-^>0，此时有/(x)=2∣°g2*-卜-L)=x-(x-l)=L

只有D符合题意

解法二：特殊值法

①取x=!，则∕d)=2∣-∣!-l∣=!,排除B、C

2222

②取x=2,则/(2)=2∣-∣2-gbg,排除A

只有D符合题意

解法三：极限法

ɪim/(x)=Iim(2侬"-IX」|]=0

A→+∞X->4oc(XJ

Iimf(x)=Iimf2l'0g2λ1-∣ɪ-ɪ11=0

Λ→0Λ→θlX)

只有D符合题意

♦◊方法解读

解法一：观察题目中函数的表达式有绝对值，因此考虑去掉绝对值，方法是将函数区间讨

论。

解法二：特殊值法是解决函数图像题型最好的方法之一，通过取特殊的自变量值大致知道

函数值，然后将答案一一排除。应用此法应当注意的问题是：所取的特殊值一要能够猜测

函数值的大小，而要能够和其他选项的图像区分开来，否则所取数值将失去意义。

解法三：极限思想是同学们学习高中数学较难理解和掌握的一个重要思想，它所指的就是

无限逼近的意思。掌握好此方法，一定能够让你在学习的道路上脱颖而出！

【典例13】已知定义在R上的偶函数/(x)在区间(7,0］上单调递增，则满足/(3Λ-4)>/(8)

的解集为.

解法一：偶函数特性法

由题意，得-8<3x-4<8=⅛-4<3x<12=>--<x<4

3

即不等式的解集为(-±4)./

3/

解法二：特殊函数法-8O8X

由题意，不妨取/(x)=-f,则

/(3x-4)>/(8)=>-(3X-4)2>-82

=9f-24x+16<64=>(3x-12)(3x-4)<0=>--<χ<4

3

即不等式的解集为(-*4).

♦◊方法解读

解法一：根据偶函数的定义和性质，画出草图，便于分析结论。草图只要满足题意，可以

任意画，只要方便解题即可。

解法二：特殊函数法是解决此类问题非常好的方法之一。首先题干只给了函数的某些性质,

具体解析式并没有直接给出，这是典型的抽象函数。同学们可根据题干描述，找到性质与

之相对应的特殊函数，从而使问题迎刃而解。这种方法在选择题或填空题中非要好用，因

为它并不要求过程的严谨性，但用此法的前提是要熟悉一些常见函数的图像与性质。

42I

53

【典例14】已知CI=23,⅛=4,c=25,贝IJ()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

解法一：函数图像法

422

a=2^=4^,Z?=4^

22—2~2X

由y=4，的图像与性质知：->-=>4]>4*=。>匕①I-

35

4212

a=2^=43,c=253=53

A.VA、

a值越大函数图像越靠近y轴C∕v^4

由y=""(α>l)的图像与性质知：4z

22

∑z>5ɜ>=>c>a②

综上所述，得c>a>b.

解法二：跟特殊值比较法

43

。=2§>2§=2

>=>a>2>b①

245

Z?=45=25<25=2

43'

<2孑=2

I>=>a<2<c=>cKC②

c=25^<(23)5=2

综上所述，得c>α>b.

解法三：假设法（反证法）

①假设4>6,则

15Z2∖15

23>45=>>4]^2'5>46=2l2,假设成立.∙.a>b

②假设0>c,贝IJ

4ɪ(C1V

V>25≡=>2ʒ>25§=>24>25=>16>25,假设不成立.∖a<c

∖J\/

综上所述，得c>a>t>.

♦◊方法解读

解法一：函数图像法是解决比较大小题型的常用方法之一，此类题型一般都考察我们对指

数函数、对数函数及幕函数的图像和性质的理解及掌握情况，因此要求同学们一定要熟悉

掌握基本初等函数的有关图像与性质，做到融会贯通，灵活应用。

解法二：跟特殊值比较法是解决此类题型的专用方法，很有具有特殊和代表性。这里的特

殊值一般是O或L但有些时候也会跟其他特殊值比较，比如此题就是跟特殊值2作比较后

得出了结论。同学们要活学活用，灵活应对。

解法三：假设法是老师自己想出来的方法，但假设法（反证法）的确在高中学习中占有重

要的地位，在数学和物理中经常用到。有时候在题目中需要判断一种说法或命题是否正确，

不妨假设其成立，再用逻辑推理证明，使问题迎刃而解。

【典例15】化简：/(x)=vɜsinl2x--j+2sin2∣x-■—I=.

解法一：配凑和差角公式

I-CoSl4/一,

/(x)=ʌ/ɜsinf+2sin2Ix-2xcos工-cos2xsin—+2-

662

.C1ʌI.冗.A.冗

sinLx——cos2x+11-cos4xcos-+sin4xsιn—

266

=-sin2x--cos2x+l--eos^-ɪsin4x

2222

=sin4x-V3cos4x+l

=2f1sin4x--cos4x∖l

22

c(∙4.∙II

=2sin4z1xcos-----cos4xsin—÷1

33

=2sinf4x-yj+l.

解法二：辅助角公式

l-cos^4x--^

2

/(x)=vɜsin(2x--^∙j+2sinf2x-2xcos--cos2xsin-+2∙

662

ππ

sin2x—cos2x÷1-∣CoS4xcos工+sin4xsinɪ

266

=-sin2x--cos2x+l--cos4x--^-sin4x

2222

=sin4x-也cos4x+1

=2pUin4x-立cos4x]+l

22

\2

=2,sin(4x+^)+1

=2sin(4x+^>)+l

π

tan¢9=—b=---2=-√h3=<p=----

a13

2

f(x)=2sinl4x-yj+l.

♦◊方法解读

解法一：配凑和差角法有两个要求，一要熟悉和差角公式，二要记得特殊角的三角函数值。

只有对三角恒等变换相当的熟悉，才能融会贯通。

解法二：辅助角公式是将“asin户AoSX”化为“AsinU+e)”形式的有力工具，一般情况

下我们都采用辅助角公式来处理类似的问题，但唯独需要注意的问题是：角夕一般是锐角，

有时还可能是负的锐角。

【典例16］若数列｛%｝的前〃项和为品,则数列｛*｝的通项公式%=.

解法一：定义法

由等比数列的前n项和公式S“="二维=--^-an+ɪ=Aall+B知:

∖-q∖-q∖-q

%=》+资足上式子,因此数列&｝是等比数列

1-q3(al=1

且有B=-J=b=-2

∖-q3

,n*1

a,,=α1√-*=(-2)-.

法二：a”与S关系法

(1)当几=1时，q=S[=gq+；=%=1

⑵当〃≥2时，Sn=-an+-①

n33

O1

S〃-i=50,1+5②

①—②，得

C。2222

ss

∏~n-ι=1%Tn%=Ia“一§。"-1

nl

an=aiq'-'=(-2)-.

♦◊方法解读◊♦

解法一：观察等比数列的前A项和S发现，其具有S=Z&+S的结构，即满足该式的数列一

定为等比数列，这就是判断某个数列是否为等比数列的一个方法。既然题干中的式子满足

S=Za(I+8,直接利用等比数列的性质求解即可。

解法二：通常情况下，如果在题目中看到某个数列的通项公式为与前〃项和S的关系，即

&与S的关系，我们就要首先想到公式%=q∣e值得一提的是，该公式适用

于所有数列，如果题目中已经给出了结的数值，那么在利用上式求得的劣公式时，一定要

验证这里的为跟题干的a是否相同，如果不相同，则要写成分段数列的形式；如果相同，

则不需要分开来写。这是大多数同学容易犯错的地方，注意题中的陷阱，要非常小心！

【典例17］若x,yeR+,且满足2x+y+6=孙，则Ay的最小值是.

解法一：均值不等式法

cι+h≥2∖[ab,a,heR+

xy=2x+y+6=(2x+y)+6≥2y∣2xy+6

不妨令〃=J^,“≥0,则

W2≥2Λ∕Ξ"+6=u2-2y[2u-6≥O=(w-3^2)(«+V∑)≥O

w≥3√2w≤-√2(舍去)

u>3JΣ=>y∣xy≥3V2=>xy≥↑S

当且仅当y=2x时，等号成立

2x+y+6=xy%=3T

或

y=2xy=6;二⑴

即当x=3,y=6时，(Xy)mm=18.

解法二：转化为求函数最小值法

_///2x+6

xy=2x+y+6=>(x—l)y=2x+6=>y=-------

x-1

21+6CX2+3X(x*^—2,x÷1)÷5%-1

：.xy=X----------2-=---2-------------------------------

x—1x—1x-1

C(x-l)2+(5x-5)+4C(X-I)2÷5(x-l)÷4

=2--------------------------=2--------------------------

x-lx-1

Q

=2(x-l)÷——+10

x-1

(1)当x>l时:

QIQ8

2(x-l)+——+10≥2J2(x-l)------+10=2×4+10=18

ɪ-lVx-1

当且仅当2(x-l)=±,即x=3时，等号成立

ɪ-l

ʌ(ʃʃ)minɪɪɛ-

⑵当O<XV1时:

QQIQ

2(x-l)+——+10=-2(1-x)+——+10≤-22(1-%)----+10=-2x4+10=2

x-1L1-xJΛV1-x

当且仅当2(1T)=Y^―,即X=T或r=3时，等号成立

又∙.∙0<x<l

而X=—1任(0,1)且X=3任(0,1)

因此不满足题意

综上所述，得(Wmin=18.

♦◊方法解读

解法一：均值不等式α+b≥2∕石(α,8eR+)中的a,b不一定是单个变量，它可以是一个整

体或式子。应用时只要满足均值不等式的使用条件，原则上都可以运用。

解法二：X,y是两个变量，这在大学的学习中叫做二元函数，二元函数研究起来比一元函

数难度大得多，因此我们总是试图将二元的变为一元的。因为题干中已经给出了X与旷的

关系式，通过该式恰好可以用X的式子表示月这就成功的将二元函数变为了一元函数，进

而转化为讨论一元函数的值域问题，非常简单。

【典例18］已知椭圆C：上+¢=l,在椭圆C上存在一点P,使得P点到直线/:2x-)，+8=0

169

的距离最短，则最短距离为.

解法一：常规法

设P点的坐标为（XO，加），则

22

因为点尸在椭圆上=9+当∙=1

169

ɪo=16-y>0=>Xo=±+6-与'

又∙.∙-3≤%≤3

÷∕(X)=2^16-^X2+X-8=∣√9-X2+X-8,X€[―3,3J,则

O1一1_or

//U)=τ∙-∙(9-χ2)2∙(-2X)+1=—--'—+1

323y∣9-x2

①/(x)>0n+l>0n—<1=>8/<3)9——

3√9-√3√9-√

=>64X2<9(9-x2)=>73X2<81=>——=<x<-^=

√73√73

oo

(2)/z(χ)<O=>—3<X<—"或一^=-<%<3

√73√73

.∙J（幻在（-3,-3）单调递减，在—二＜χ＜二单调递增，在二＜χ＜3单调递减

√73√73√73√73

解法二：数形结合法

当点尸到直线的距离最小时，设过点。的直线方程为Ly=2x+m,如图所示，则

Δ=Z?2—4ac=(64/77)2—4∙73∙(16m2—144)=Onm=±V73

解法三：参数方程法

设P(4cosα,3sina)，则

,

d_IAv0+B>0+C∣_12∙4cosa-3sina÷8∣_13sina-8cosa-8∣_∣V73sin(a÷^)-8∣

Λ∣A2+B2√22+(-l)2亚石

当且仅当sin(α+φ)=∖时，dmι-n=---ʃ=—.

J5

♦◊方法解读

解法一：通常的思路是假设点P的坐标，点户又在椭圆上，因此满足椭圆方程，此时将有

关y的式子代替力使得未知数变为一个。然后再利用点到直线的距离公式列出式子，最后

转化为求解函数最值的问题。此方法思路简单，但过程繁琐，不建议使用。

解法二：数学结合是解决高中数学最常用的方法之一，而且通过图形能够形象地反映问题

的性质，便于分析和理解，是非常好用的解题方法。

解法三：本题最好的解决方法就是参数方程法，利用椭圆的参数方程，假设出点的坐标，

最后将复杂的问题转化为求三角函数的最值问题，从而顺利、快速的解决了问题。由此得

到这样的启发：数学模块并不是孤立的，很多知识结构存在着这样或者那样的联系，这给

我们学习数学增加难度的同时，也为我们提供了更多的解决问题的思路和方法。

【典例19】设ΔABC的内角48,列所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=SinAcosC+

CosAsinC.求角A的大小.

解法一：和差角公式法

2sinBCoSA=SinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)

,.∙A-^-B+C=7Γ=>A+C=τr-B

:.sin(A+Q=Sin(%—B)=sinB

=>2sinBcosA=sinB

又∙.∙sinB≠O

_.,.1

=2cosA=I=cosA=—=A=—.

23

解法二：正、余弦定理法

2sinBcosA=sinAcosC+cosΛsinC=sin(A+C)

由正弦定理，得

2Z?cosA=αcosC+ccosA

由余弦定理，得

~b.9-VC2-aɔa2+bι2-c2b>2+c2-a2

2bc2ab2bc

2222222222

b+c-aa+b-cb+c-a2b人

c2b2b2b

=>b2+c2-a2=bc

b2c2-a2be1

:.cosA-+

2bc2

,冗

=A=—

3

解法三：射影定理法

2sinBcos4=sinAcosC+cosAsinC

=>2Z?cosA=acosC+CCoSA①

由射影定理，得

b=acosC+ccosA②

n2∕?cosA=b=2cosA=1=>cosA=ɪ

2

π

nA=一.

3

♦◊方法解读

解法一：和差角公式在三角函数中占有举足轻重的地位，非常重要，应用要注意前后同角，

即都为α,B,不是同角的要先用诱导公式化简后再使用和差角公式，特别注意。

解法二：正弦定理和余弦定理是解三角形题型必考知识，同学们处理熟记正、余弦定理公

式外，还应当记住它们常用的变式，只有这样，才能应对灵活多变的数学题目。

解法三：射影定理一般很少使用，但有些时候应用射影定理解题非常方便。公式本身也特

别好记忆，请同学们牢记于心。

【典例20】设函数/(x)是奇函数，且在(0,包)内单调递增，又满足/(-2)=0,则/(x)<O的

解集是.

解法一：特殊图像法

由题意，画出函数/(x)的草图，如图所示

由图可知：/(x)<0=xv-2或0<x<2

即f(x)<O的解集为(γo,-2)U(0,2).

解法二：特殊函数法

根据题意，不妨设f(x)=1"-'"O,则

(x+2,x<0

①当x>0时，/(x)<0=>x-2<0=0<x<2

②当x<0时，/(x)<0nx+2<O=XC-2

综上所述，得

F(X)<O的解集为(γo,-2)U(0,2).

♦◊方法解读

解法一：题干中所描述的函数f(χ)不知其解析式，属于抽象函数。在不违背题意的情况下,

可以画出满足题意的草图，从而直观的分析和解决问题。图像法是解决函数题型非常好用

的方法。

解法二：特殊函数不具备普遍性，但对于选择填空题来说，只要找到满足题意的函数即可,

过程的严谨性不作要求，因此同学们尽管大胆地猜想，只要满足题意的函数都可以解决该

题。后面做压轴题就会发现，特殊函数大有用武之处！

【典例21］如图所示，在底面是矩形的四棱锥。-4战中，必，底面力及力，E,尸分别是PG

外的中点，Λ4=45=l,Bg.求证：跖〃平面必8

解法一：线面关系转化线线关系

...[P'=ECnE尸为ΔPCZ)的中位线

[PF=FD

BPEFH-CD①

=2

又•.♦四边形A88为矩形

=ABuCD②

.∙.EFH-AB

=2

而ABG面「AB,EF(Z面PAB

故EF〃面PAB.得证

解法二：线面关系转化为线与面的法向量关系

PAJ_MBCDnPALAO①

四边形ABa>为矩形=>AB_LAD②

又∙.∙PA,ABα面PA8,且PAΓ∖AB=A

而47<2面出8

nA。，面PAB

n而为面PAB的法向量③

PE=EC]

EFH-CD

PF=FD∖