2023-2024学年江苏省常熟市高一年级下册4月月考数学试卷

2023-2024学年江苏省常熟市高一下册4月月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.sin20°cos100+sin70°sin10°=()

A1B1C--D—

2222

2.已知点2(1,3),5(4,-1),则与才后同方向的单位向量为()

(34、(43、(34、<43

A\5，-5jB\5，-5jC\?5jD\-5,5

3.已知a、h>c为单位向量，且满足a+B=c,贝la与石的夹角为()

A.30°B,60°C.90°D,120°

4.已知向量a=(3sina,-2),B=(l,l-cosa),若"花=-2,则tan2a=()

A,上B.-AC/D.-l

131355

5.已知点N、O、尸满足前iH■百+万弓=6,|a4|=|(?g|=|oc|,~PAKB='PC=VC~PA,

则点N、。、P依次是△48。的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

6.已知A48C是腰长为2的等腰直角三角形，D点是斜边48的中点，点尸在。上，且而=3而，

则方•而二()

A15D15「15…

A.---B.------C.------D.2

4168

7.在△/18C中，辟卜|元|=2,4=120°,点M满足=2+2〃=1,则|而|

的最小值为()

V2?亚

A.----B.----C.2D.1

714

8.在A48C中，BO=20C,过点O的直线分别交直线48,4c于N两个不同的点，若

AB=mAM,衣=〃彳犷，其中根，〃为实数，则机2+41的最小值为()

9

A.lB.4C.—D.5

2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列等式成立的是()

hI巧

A.sin2750-cos275°=——B.—sin15°H----cos15°=——

2222

C.sin75°cos750=—C.tan1650=2-VT

4

10.八四。是边长为2的等边三角形，己知向量Z,B满足而=2£,~AC=2a+b,则下列结论中

正确的是()

A.Z为单位向量B.3为单位向量C.aLbD.(4a+6)15C

ii.已知向量£=加=(cose,sine)(owe«%),则下列命题正确的是()

A.若"1b,则tan，=

B.若3在£上的投影向量为一则向量Z与右的夹角为生

63

C存在6,使得卜+6|=|a|+W

D.a.B的最大值为百

12.下列四个等式中正确的是()

A.tan250+tan35°+6tan25°tan35°=5

B.sin50°(l+V3tanl0°)=l

《已知函数/(%)=同11司+百上05司，则/(X)的最小正周期是〃

D.已知a,户2sin(a+/?)=sinasin/?,则85(-+?+sin(a+p：的最小值为1

V2Jsinasin/>cosacos夕

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

〔osin48°-cos180sin30°

sin18°

14.已知向量1=(4,2),加=(2,1),若"+25与"-石的夹角是锐角，则实数X的取值范围为

15.如图，已知菱形ABCD的边长为1,ADAB=60°,DE=EC,DF=2FB,则

16.已知4、B、。为ZU5C的三内角，且角4为锐角，若tan8=2tan4,贝ij_L-+_1_的最

tanBtanC

小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图在平行四边形48CD中，Z3=4,AD=2,ZBAD=6Q°,七为CZ)的中点，H为线段BE

上靠近点£的四等分点，记方=Z,AD=b.

(1)用a,石表亦AE,AH;

(2)求线段4H的长.

(1)求COS%的值；

(2)求sin(2x+2］的值.

I3

19.在直角坐标平面xQy内，已知向量a=(1,5),05=(7,1),丽=(1,2),尸为直线QW上的

一个动点.当数•而取得最小值时，求：

(1)向量ZTA的坐标；

(2)cos4尸8的值；

(3)求点/到直线尸3的距离.

20.已知向量a=(2cosx,sinx+®sin6)，b-(2sinx,-cosx+y/2cos6).

(l)若1〃否,求COS(X+6)；

⑵若6=7,函数/(x)=Z%(xe[0,句)，求/(X)的值域.

21.在平行四边形Z8C。中，AD=\,E为CD中效.

(1)若/氏4。=60°,且满足衣.瓦？=1,求43的长；

(2)若75.就+2瓦5.就=30.赤，求sin/，4cs的最大值.

22.如图，扇形钢板尸。。的半径为1m,圆心角为60°.现要从中截取一块四边形钢板48co.其中顶

点8在扇形POQ的弧P0上，A>C分别在半径。尸，OQ±,且43J_O尸，BC1OQ.

（1）设N/08=e,试用6表示截取的四边形钢板Z6C0的面积S（6）,并指出6的取值范围;

（2）求当。为何值时，截取的四边形钢板Z5CO的面积最大.

答案

1.B2.A2.A；3.D；4.C；5.A；6.C；7.A；8.C；

9.AC；10.AD；11.BCD；12.ABC；

6

132

13.—：i4.(i-vrf,2)u(2)i+vrf)；15.—；16.—.

123

17.(1)由已知得荏=赤+瓦=1万+L觉=而+"1在

-a+b，2分

222

....3..3/3

AH=AB+BH=AB+-BE=AB+-(BC+CE]=a+-\h=-a+-b,

44484

所以方=—d+B，~AH=-a+-b;5分

284

(2)由(1)得4H=±a+2b，

84

:25953III—I49

-a+-h——a+—b~+2x—x—5­/?xcos60°=

84641684T

所以线段Z"的长为二.

10分

2

713乃

18.(1)因为xw

1021025

713万

(2)因为xe

29T

25

oo2[7

cos2x=2cosx-1=----•—9分

25

八万=sm2xcosC+cos2xs〃=3」+(」]x^=.^I

所以sin2x-\—12分

333252I25J250

19.(1)OP=tOM=(t,2t),.............................1分

PA^(l-t,5-2t),PB=(7T,"2t),

.,.苏.丽=(17)(7-/)+(5-2。(1-2/)=5/一20吐12=5(/-2)2-8......3分

当方.而取得最小值时，t=2.：.(9P=(2,4)...................4分

(2)。4=(一1,1),1沙卜正，P8=(5,—3),=V34...................6分

PAPB一5一3

/.cosZAPB8分

72x734

(2)设点力到直线P5的距离为九则

〃=|E^sin(%-4P8)=V^sin4P8=0xJl-j*=噜........12分

20.(1)3=(2cosx,sinx+逝sin⑨，=(2sinx,-cosx+V2cos^),a//h,

2cosx(-cosx+V2cos0)=2sinx(sinx+>/2sin0)......................2分

即2^2(cosxcos-sinxsin0^=2(sin?x+cos2x),

五

V2cos(x+0)=1/.COS+夕)=一?.6分

(2)因为。=2，A5=(2cosx,sinx+l),B=(2sinx,—COSX+l)

4

f(x)=G・B=4sinxcosx+(sinx+1)(-cosx+1)

=3sinxcosx+(sinx-cosx)+l..................................8分

35

=--(sinx-cosx)2+(sinx-cosx)+—,

设/二sinx-cosx,则f=V^sin[x—wJ，

因为re[-1,5/2]，..........................9分

设g(')=-gJ+'+g'..................................10分

8

由二次函数性质可得：/（X）的值域为03.........................................................12分

21.（1）因为E为。。中点，CE=-CD

2

因为四边形/BCD为平行四边形，所以就=/+彳万，....................1分

因为赤=元+赤=而+!而=而-,刀，........................2分

22

因为4）=1,彳乙.3云=1,Z.BAD=60°

所以衣•丽=（刀+而）（瓦_（在）=1,

1.---------1------,>.21I--------I1I.12

-ABAD--AB'^AD=-L45cos60o--U5+1=B.........................................4分

2221।211

解得|六卜;，所以48=:,....................................................................5分

(2)H><;7B-7C+2B^BC=3C^-CS,

所以臣-冈.（-西+2©_。）.（_百=3瓦赤，

------------------2-----►------------2--------►---------

所以-CS・。+。一一2。•。+2c5=3CACB,

—*2,2,.

所以。+2CB=6CACB7分

所以+2=6|oi|-cos,

10分

_V7

所以sinNACB=4-cos2NACB<>11分

一3’

所以sin4cs的最大值为立

12分

3

22.（1）因为NZ08=。，扇形钢板尸0。的圆心角为60°,

所以/80C=三-。，

3

因为扇形钢板尸。。的半径为Im,ABLOP,BC1OQ,

所以04=cos。，AB=sin。，

所以S-%8=~OA-AB二;sin°cos8=-^-sin20,..................2分

OC=cos2-e],BC=sw\--o\,

U)13)

=-OC-5C=-cosf