河北省唐山市2022-2023学年高一年级下册学期期末数学试题（解析版）

河北省唐山市2022-2023学年高一下学期期末

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条

形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题［［答案］后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的工答案X

信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他K答案W.K答案》涂在试卷上一

律无效.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，k答案』必须写在答题卡各题目指定区域

内相应位置上；如需改动，先划掉原来的工答案％然后再写上新［!答案》不准使用铅笔

和改正带.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设复数Z=I-『，则复平面内Z表示的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

K答案HD

K解析》VZ=I-Z,则复数Z在复平面内对应的点的坐标为（1,-1）,

因此，复平面内Z表示的点位于第四象限.

故选：D.

2.已知α=（l,机），Z?=（2,4）.若£//〃，则加为（）

A.-3B.-2C.OD.2

K答案》D

R解析』因为一=（Lm）,b=（2,4）,a∕∕b>

所以1x4—2m=O,得加=2.

故选：D

3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1,2,3,4的四种添加剂

可供选用，则选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）

K答案HB

K解析》从芳香度为1,2,3,4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂,

其可能结果有（1,2）,（1,3）,（1,4）.（2,3）,（2,4）,（3,4）共6个,

其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有（1,4）,（2,3）共2个,

21

则所求概率为尸=二=一.

63

故选：B.

4.在正三棱柱ABC-A4G中，AB=AA=2,E为棱AC的中点，则异面直线A∣E与

BC所成角的余弦值为（）

√5D6

A.旦B.一些r---

101055

K答案DA

K解析D记AB的中点为尸，连接E∕7,AP,如图，

因为E为棱AC的中点，E为AB的中点，所以砂//8C,

所以NAEF为异面直线AE与BC的所成角（或补角），

因为在正三棱柱ABC-中，AB=AAx=I,

所以/E=JA1A?+AE?=逐,AF=由,EF=^BC=\,

AE2+EF2-AF25+1-5_√5

所以在ii

.M1EFΦ,CosZAlEF

2AlE∙EF^2×√5×1^-κΓ

所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为亚

10

故选：A.

5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位Cm）：60,61,

62,63,65,65,66,67,69,70,则第40百分位数是（）

A.62B.63C.64D.65

R答案HC

K解析H因为10x40%=4为整数，

所以第40百分位数是空奂=64.

2

故选：C

6.若圆锥的底面半径为G,高为1,过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）

A.2B.√3C.2πD.2√3π

K答案》A

K解析11依题意，设圆锥的母线长为/,贝M=万斤=2，

设圆锥的轴截面的两母线夹角为e,则COSe=2-+2—一075）=,

2×2×22

2TT

因为0<6<兀，所以

3

（2π^

则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为0,彳，

I7T

故截面的面积为S=—χ2χ2XSina≤2,当且仅当a=—时，等号成立，

22

故截面的面积的最大值为2.

故选：A.

7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不

对立的是（）

A.“至少有1名女生”与"都是女生”

B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”

C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”

D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”

K答案Hc

K解析》“至少有1名女生”与"都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互

斥事件，A错；

“至少有1名女生”与“至少有1名男生“能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B

错；

“至少有1名女生”与“至多有1名男生“能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D

错；

“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”

与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生“两种情况发生，即“恰有1名

女生''与"恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.

故选：C.

8.在^ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=I,。=2.若

(sinA—sinB)(6?sinA÷⅛sinB)-(6z-Z?)sin2C=O,则一ABC的面积为()

A.√3B.g或空C.毡D.1或2

33

K答案DB

K解析H由(SinA-Sin团(asinA+0sin3)-(α-b)sin2C=。及正弦定理得

(α-b)(a2+A?)一m一⅛)c2=O,

得。=6或/+b2=C2，

若a=b,因为A=Ia=2,所以Z?=c=2,S,arc=-bcsin-=-×2×2×^-=∖∕3，

3-abc2322

π

若4+∕72=C2,则三角形ASC为直角三角形，C=—,

2

m⅛,Λ-πCκr∣>∣D-Π；2。,1,1c2Λ∕32∖f3

因为A=T^,4=2,所以B=二，b=----，Sc,.――ab-—×2×------=-------

363rγ2233

2拒

综上所述:ABC的面积6或

3

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知一组数据3,5,6,9,9,10的平均数为最，方差为s?,在这组数据中加入一个数据

7后得到一组新数据，其平均数为F,方差为<2,则下列判断正确的是（）

2a2

A一X=X一，R―X<XrD.?>/

K答案UAD

1

K解析』对于ABX=-×(3+5+6+9+9+10)=7

6

r=l×(3+5+6+9+9+10+7)=7,

所以Λ；一Λ;，A正确，B错误；

对于CD,?=1x(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2]

5,2=l×Γ(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2^∣=-

7L」7

所以—>丁2,C错误，D正确.

故选：AD

10.在.ABC中，下列结论正确的是（)

A.若A>B,则SinA>sinBB.若SinA>sinB,则力>8

C.若力>B,则sin2A>sin23D.若C为钝角，则SinA<cosB

K答案》ABD

K解析Il对于A,由大角对大边知，若/>8,则α>b,

所以由正弦定理得SinA>sinB,故A正确；

对于B,若SinA>sin3,则由正弦定理得”>人，

所以由大边对大角/>B,故B正确;

对于C,JRA=120°,5=30。,则sin2A=sin24()°<0,sin28=sin60。>0,

所以sin2A>sin2B不成立，故C错误；

JIJIJI'11JI

对于D,若C为钝角，则A+8<°,0<A<-,0<5<二,所以0<A<--B<-,

22222

因为y=sinx在∣0,∙∣)上单调递增，所以SinA<sin(■!-BJ=COS8,故D正确.

故选：ABD.

11.若4，Z2是关于X的方程f_2x+2=0的两个虚根，则()

A.z1=z2B.z；+z；>。

2

C.(z1+z2)>0D.>0

K答案UACD

K解析》因为/-2x+2=0,所以△=(—2)2—4x1x2=—4,

根据求根公式可得%=2士口=1±i,

2

又Z∣,Z2是关于X的方程χ2-2χ+2=0的两个虚根，不妨令z∣=l+i/2=I-L

对于A,z1=z2,A正确；

22

对于B,zfΛ-∑2=(1+i)+(1—i)=2i—2i=O»B错误；

22

对于C,(Z1+Z2)=2=4>0,C正确；

222

对于D,z∣∙z2=(ι+i).(i-i)=2i∙(-2i)=4>0,D正确.

故选：ACD

12.如图，在菱形ABe。中，ZBAD=600,延长边CT)至点E，使得DE=CD动点P

从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=XA8+"AE,则()

EDPC

A.满足彳+〃=1的点P有且只有一个

B.满足九+〃=2的点P有两个

C.4+〃存在最小值

D.4+〃不存在最大值

R答案XBC

K解析Il建立如图所示的平面直角坐标系，设菱形ABC。的边长为1,P(x,y),则

40,0)回，0)，《|，卦Dt普猾用,

所以AB=(1,0),AE=—;,乎，AP=(x,ʃ),

(22J

/、f1√3W1√3

由AP=2AB+〃AE,得(x,y)=4(1,0)+〃~^2,~2=-2

,1

X=A-----!Λ

2

所以《所以4+〃=X+∖∣3y,

yF

①当点尸在A3上时，O≤x≤l,Ky=O,

所以4+∕∕=x+Gy=x∈[θ,l]:

∩而

②当点P在BC(不含点B)上时，则8P=m6C,所以(XT,>)=m2,~Γ,化简

j=√f3(x-l),

所以X+〃=X+ʌ/ɜʃ—X+3(x—1)—4x—3，

3

因为l<x4,,所以l<4x—3≤3,即∕l+"∈(l,3];

③当点P在Co(不含点C)上时，L≤x<3,且>=走，

22,2

所以g+∙∣Vx+√5y<∙∣+T,即2≤x+Qy<3,所以几+4e[2,3)；

(1Jj)

④当点P在AZX不含点A、。)上时,则AP=〃AO,所以(x，y)=",化简y=JIr,

(22J

所以X+〃=x+My=x+3x=4x9

因为O<x<g,所以0<4x<2,所以；l+∕∕e(0,2);

对于A,由①知，当九+〃=1时，x=l,此时点P与点B重合;

由④可知当4+〃=1时，x=L,V=—,此时点P在AD的中点处；

4J4

其它均不可能，所以这样的点尸有两个，所以A错误，

5R

对于B,由②知，当丸+〃=2时，X=-,y=、」，此时点尸在BC的中点；

44

1Fi

由③知，当∕l+"=2时，%=-,y=-,此时点P在点。处；

2-2

其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以B正确，

对于CD,由①②③④可得：

当χ=y=O,即点P为点A时，九+〃取到最小值0;

当尤=3y=走，即点P为点C时，4+〃取到最大值3,所以C正确，D错误,

22

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数z∣=-2+i,z2=l-3i,贝∣J∣z∣-Z2∣=.

K答案H5

K解析H∙.∙Z∣=-2+i,Z2=l-3i,

Λ∣z,-z2∣=∣(-2+i)-(l-3i)∣=∣-3+4i∣=√9+16=5.

故K答案』为：5.

14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6,

乙通过的概率为0.5,则至少一人通过考试的概率为.

K答案X0.8

K解析』因为两人考试相互独立，

所以两人都未通过的概率为(1-0.6)×(l-0.5)=0.2,

故两人至少有一人通过的概率为1-0.2=0.8.

故R答案H为：0.8

15.若一ABC的面积为S,角A氏C的对边分别是α/,C,且4S=tan—§),则

a=.

K答案H√5

K解析X因为4S=tanA92+C∙2-5),

所以4x,〃csinA=Sin"+c2-5),

2cosA'7

π

因为OvA<π,且AW一,所以SinA>0,

2

则2bc=—(Z?2+c2-5),即2bccosA=b2+c2-5，

cosA'/

,222

所以2bcx—————=/?2+c2-5»则加+C?-a?=廿+c?—5，即/=5，

2bc

所以。=有(负值舍去).

故K答案U为：√5.

16.在正六棱台ABCf)EF'-A'B'C'O'E'L中，AB=4,A'B'=3,AA=J设侧棱延

长线交于点尸，几何体P-AB'C'D'E'F'的外接球半径为R∣,正六棱台

ABCOM-A'B'C'O'E'L的外接球半径为此，则此正六棱台的体积为，

且=

R2-----------

K答案』①.卫叵②.-

25

K解析Il依题意，正六棱台ABCOE/一A%'。'。'E'F'中，AB=4，AB'=3.A'A=y∕l

则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为S=6x@x3?=生叵，

142

其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为Sl=6×^×42=24√3，

其高为h=j(ʌ/ŋ-(4-3)~=1，

所以该正六棱台的体积为v=∣×f2华+/^Z^X24√3+24√3]×1=笠巨

32V22

\/

设上底面中心为。I,下底面中心为o,，连接a。,，Aa，A。,，则。o,垂直于上下底面,

如图,

O

连接aA，。/,则aA=3,O'A=4,

由题意可得。|。'=人=1,

作AGLAO'垂足为G,则AG=LAG=1,

连接A。。'。，则ΛlD=Jl+(8—l)2=5叵,

故AA?+AO2-A。？=2+50-64<0,则NAA。为钝角，

又由于正六棱台外接球球心位于平面上，

故设正六棱台外接球球心为O,则。在QO'的延长线上，

因为外接球半径为故；12222

R2,R=OA+0'0,R-=ΛI(91+OO1,

即用=16+O'O:R；=9+(O'O+l)2,

解得。g=3,g=25,则&=5,

连接P。，如图，易得P,a，。'三点共线，且AoJ/A。',

易知Aa=BR=C1O1=DR=E1O1=片。=3,

所以。I是几何体P-ArBrCUErF,的外接球的球心，则4=3,

Rl3

所以十

5,

376ɜ

故答案》为:

K2；5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知平面向量”与6的夹角为60，且同=1,W=2.

（1）⅛<∣2α-⅛∣；

（2）若α+〃与2a—Zb垂直，求上的值.

解:⑴∣2α-0==√4∣α∣2+∣⅛∣2-Aab

=+∣b]γ∣α∣.闻.cos60=^4+4-4×l×2×ɪ-=2.

（2）因为α+b与2α-%b垂直，所以（4+8）∙（2α-Z6）=0,

14

所以2∣4『一人|人『+（2一左）“/=（）,所以2—4人+（2—幻xlx2x]=0,得k=三.

18.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数BM/来衡量人体胖瘦程度.

体重（单位：kg）

,

其计算公式是：§用/=身高,单位,πιj成年人的3M/数值标准是：BM∕<18.5为偏瘦；

18.5WBM∕<24为正常；24≤6M∕<28为偏胖；BM7≥28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的

体检数据，将其BA〃值分成以下五组：[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],

得到相应的频率分布直方图.

(1)求。的值，并估计该公司员工BMI的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；

(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工BMl数值正常的人数.

解：(1)根据频率分布直方图可知组距4,

所以4X(0.01+0.04+0.09+«+0.03)=1,解得α=0.08

该公司员工BMI的样本数据的众数为22.

设该公司员工创〃的样本数据的中位数为X,

则4*0.01+4X0.04+(x-20)×0.09=0.5,解得χ=23.3.

故该公司员工创〃的样本数据的中位数约为23.3.

(2)因为成年人的BMl数值18.5≤BMI<24为正常，

所以该公司员工创〃数值正常的概率为

0.04X(20-18.5)+0.09X(24-20)=0.42,

所以该公司员工6Λ〃数值正常的人数为1200x0.42=504.

19.在AeC中，内角A,8,C的对边分别是。，b,c,已知2ccosC+αcos6+Z?CoSA=0.

(1)求角C的大小；

(2)若c=3,AB边上的中线CD=I,求，ABC的周长.

解：(1)由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=O,

即2sinCcosC+sin(A+B)=0,即2sinCcosC+sinC=O.

12Tt

因为SinCW0,所以COSC=——.因为0<C<π,所以C=-.

23

(2)已知c=3,CD=I,

在_ABC中，由余弦定理得：9=/+"+"〃①,

由C。为一ABC的中线，得2CD=CB+CA,

两边平方得4=/+〃一"②，

513

联立①②得ab=-,a1+b2

22

所以_ABC的周长为α+/?+C=Ja2+〃+2α∕+3=+3∙

2

20.如图，在四棱锥B-ACa中，AD//CE,ADJ_平面A8C,AZ>=2,CE=I,

AABC是边长为2的等边三角形，尸为棱8。的中点.

(1)证明：E尸〃平面ABC；

(2)求AE与平面BeE所成角的正弦值.

(1)证明：取AB中点连接短W,CM,

产为棱BD的中点，.∙∙VE∕∕AO,Λ1∕='AD,

2

又AD//CE,CE=-AD,

2

.∙.MF∕∕CE且MF=CE,

四边形MeM是平行四边形，.∙.M∕∕C0,

又∙CMU平面ABC,EF仁平面ABC,

.∙.砂//平面ABC；

(2)解：取BC中点N,连接AN,EN,

ABC是边长为2的等边三角形，二AN_LBC,且AN=也，

AZ)，平面ABC,AO//CE,

.∙.CEJ.平面ABC,

又4Vu平面A8C,.•.CEJ_4V,

又∙ANlBC,且CECBC=C,.∙.AN，平面BCE,

.∙.ZAEN即为AE与平面BCE所成的角，

在RtZ∖E4C中，AC=2,CE=1,.∙.AE=VL

在Rt∆AE7VΦ,则SinNAEN=—=^=—,

AE√55

所以AE与平面BeE所成角的正弦值为巫.

21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第

一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮

从8类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不

低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知甲每个问题答对的概率都为0.6,在A类的

5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，乙答对的概率都为0.4,甲、乙

回答任一问题正确与否互不影响.

(1)求乙在第一轮比赛中得20分的概率；

(2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

解：(I)对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,

设乙能答对的4个问题的编号为α∕,c,d.

第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用(玉,々)表示选题结果，其中多,々为所

选题目的编号，样本空间为

Q={(a,b),(a,c),(<z,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(C,e),(d,e)}共10个样本点.

设“乙在第一轮得20分”事件为E，

则E={(a,b),{a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d))共6个样本点.

则乙在第一轮得20分的概率为P=A=O.6.

(2)甲晋级复赛分两种情况：

①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：0.62×(1-0.4