第五章 弯曲内力

Page1§5-2梁的约束与类型第五章弯曲内力§5-1

引言§5-3剪力与弯矩§5-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§5-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系§5-6刚架与曲梁的内力Page2§5-1引言上图：水闸立柱下图：跳板弯曲实例Page3弯曲变形特征：轴线变弯以弯曲为主要变形形式的杆——梁受力特征：力或力矩矢量垂直于轴线平面弯曲：Page4Ø

梁上的外力-横向载荷Ø

梁上的计算简图Page5§5-2梁的约束与类型主要约束形式与反力

固定铰支座：支反力FRx与FRy

可动铰支座：垂直于支承平面的支反力

FR

固定端：支反力

FRx,FRy与矩为

M

的支反力偶Page6Ø

静定梁的形式：静不定梁：仅靠平衡方程不能确定全部支反力的梁Fq(x)简支梁q(x)FFF外伸梁FF悬臂梁FPage7§5-3

剪力与弯矩拉压杆横截面上的内力——轴力受扭轴横截面上的内力——扭矩受弯曲梁横截面上的内力——？内力分析应力分析变形分析Page8Q

以简支梁为例，分析梁的内力ABFFAyFFBymmFByFsMåFY=0

Þ

FS=FByåMC=0Þ

M=FBy·lFS——剪力

M——弯矩FNFSMFS剪力，平行于横截面的内力合力M

弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩FByFNFSM3FAyPage10剪力：使微段有沿顺时针方向转动趋势为正弯矩：使微段弯曲呈凹形为正弯矩符号另一定义：使横截面顶部受压为正剪力与弯矩的符号规定

左顺右逆为正；反之为负Page11§5-4

剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图剪力、弯矩方程：剪力、弯矩沿梁轴（x轴）变化的解析表达式。剪力、弯矩图：表示剪力与弯矩沿梁轴变化的图线。方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩方程（函数），然后画其函数图象。12解：1.确定支反力FAyFBy2.用截面法研究内力FAyFSEMEFAy13FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO14FAyFBy

截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。FAyFSE2F15FAyFBy

截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。FAy2FMEPage16ABqFAyFByqFAyxFSM例：试建立图示简支梁的剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图。解：1、求支反力，由梁的平衡：

FAy=FBy=ql/2xo2、建立坐标轴Ox轴3、在截面x处截取左段为研究对象，根据平衡条件：FS=FAy-qx=q(l-2x)/2

0<x<lM=FAyx-(qx2/2)=qx(l-x)/20≤x

≤lPage17FS=q(l-2x)/2

0<x<l

M=qx(l-x)/20≤

x

≤lABqFAyFByxoFS:xFSql/2ql/2+_M:xMql2/8+4、根据剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图注意事项：载荷、剪力、弯矩图对齐标注段值、极值、正负号按工程图要求，请用工具作图Page18例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图1、求支反力：FAy=bF/(a+b)

FBy=aF/(a+b)2、建立坐标：3、建立剪力、弯矩方程：(截面法)FAyFByxFAyxFSMFS=FAy(0<x<a)

M=FAyx(0£

x

£

a)ABFabFS=FAy-F

(a<x<a+b)

M=FAyx-F(x-a)(a£

x£

a+b)FAyxFSMFPage19ABFabx1x2FS=FAy(0<x1<a)

M=FAyx1(0£

x1

£

a)

FS=-FBy(0<x2<b)

M=FByx2(0£

x2

£

b)

F

也可以建立局部坐标：FAyx1FSMFByx2FSMPage20ABFabx1x2FS=FAy(0<x1<a)

M=FAyx1(0£

x1

£

a)

FS=-FBy(0<x2<b)

M=FByx2(0£

x2

£

b)

FS:xFSbF/(a+b)+_aF/(a+b)M:xM+abF/(a+b)$

在集中力作用处(包括支座)剪力有突变,突变量等于集中力之值。Page21

解：1、计算支座反力，作用于AC梁中点。例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图AB段内力BC段内力Page22例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图qqa2aaABCx可以不求支反力建立坐标建立剪力弯矩方程：FS=-qx

(0£

x

£a)

M=-qx2/2(0£

x<a)

FS=-qa

(a

£

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

xAqFSMqqa2xABFSMPage23qqa2aaABCxFS=-qx

(0£

x

£a)

M=-qx2/2(0£

x<a)

FS=-qa

(a

£

x<2a)

M=qa2-qa(x-a/2)(a<x<2a)

FS:xFS_qaM:xM+qa2/2__qa2/2qa2/2$

在集中力偶作用处(包括支座)弯矩有突变Page24总结：Q

分析步骤：求支反力建立坐标建立剪力弯矩方程画剪力弯矩图Q

当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布载荷不作用在整个梁段），可以采用整体坐标或局部坐标。Q

剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小。Q

剪力图在有集中力作用处（包括支座处），发生突变。Q

弯矩图在有集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。Page25一、微积分关系的推导取梁一长dx微段，研究它的平衡q向上为正

x向右为正注意：积分关系：§5-5

剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系Page26二、微积分关系的几何意义（用于快速画剪力弯矩图）Q

剪力图某点处的切线斜率=

该截面处载荷集度的大小Q

弯矩图某点处的切线斜率=

该截面处剪力的大小Q

该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点处的凹凸性分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向下（q<0），抛物线呈凸形。Page27例：利用微积分关系画剪力弯矩图ABqa/2qa/2a/2aCD1、求支反力：FAy=5qa/8FDy=7qa/85qa/87qa/82、求出特征点的剪力弯矩值：03qa2/85qa2/165qa2/160M-7qa/8qa/8qa/85qa/85qa/8FsD-C-B+B-A+CDBCAB2次凸曲线斜线斜线M图斜线直线直线Fs图q<0q=0q=0qFSABCD+-5qa/8qa/87qa/8MABCD+3qa2/85qa2/1649qa2/1283、确定各段的曲线形状：4、画剪力弯矩图：Page28$

利用微分关系画剪力弯矩图的步骤：F

利用平衡方程，求出各支反力F

根据载荷和约束，确定各个特征点位置，一般特征点：支座内侧截面，集中载荷（集中力和集中力偶）两侧，分布载荷两侧.F

将各个控制点的数值标在坐标系中M

切记：q向上为正；x向右为正。F应用截面法确定各个控制点的剪力、弯矩值，F根据微分关系，确定各段曲线的形状，Page29作业5-15-2c,e,f5-55-6Page30M

F向上,向上突变M

Me顺时针,向上突变（喻打伞）Page311、截面法

——基本方法2、面积法

(积分法)：x左边分布载荷的面积

+x左边的集中载荷(包括支反力)=x左边剪力图的面积

+x左边的集中力偶(包括支反力偶)=M顺时针为正q、F向上为正F

求特征点剪力、弯矩值的方法：Page32qaqa2a/2--+qaABCqa5/4qa2qa2qa2ABC-Ø

利用微分关系快速画剪力弯矩图跟着箭头走——先求支反力，从左往右去，剪力图口诀根据剪力图，两点对一段；若遇到力偶，顺上逆下走。弯矩图口诀2qaaACBqa例：Page33例：利用微积分关系画剪力弯矩图ABqaaaaCDqa22/3qa1/3qa+2/3qaABCD1/3qa-2/3qa21/3qa2ABCD1/3qa2++-Page34ABa/2--+qaCqaAB5/4qa2qa2qa2C-例：利用微积分关系画剪力弯矩图qaqa22qaaACBqaPage35例：利用微积分关系画剪力弯矩图思考：如何计算支座反力？计算支座反力后，利用微积分关系画图时，是否还要考虑中间支座？载荷作用在梁间铰上、铰链左侧梁端，铰链右侧梁端，剪力、弯矩图有无区别？Page36§5-6

刚架与曲梁的内力刚架：用刚性接头连接的杆系结构一、刚架刚性接头的力学性质：

约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移

受力－既可传力，也可传递力偶矩

轴线位于同一平面，且各横截面的纵向对称轴位于该平面的刚架，称为平面刚架Page37二、刚架的内力及其符号刚架的内力包括轴力、扭矩、剪力和弯矩，其中轴力、扭矩和剪力符号与前相同。弯矩图不标正负号，画在受压一侧。注释：刚架弯矩符号有时不易做出统一规定。无论是正弯矩，还是负弯矩按规定通常都画在受压一侧，与坐标方向无关。38Bqly

已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。B试：画出刚架的内力图。ql解：1、确定约束力2、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆AB：A点向上为yY39横杆CB：C点向左为xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x40竖杆AB：Bqly3、根据各段的内力方程画内力图横杆CB：MFNFSql＋－＋＋＋Page41三、曲梁未受力时，轴线即为曲线的杆件，