河南省信阳市高三上学期12月调研考试文科数学试题

信阳市20202021学年高三年级调研考试高三文科数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。3.全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若为虚数单位，，且，则复数的模等于（）A. B. C. D.3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元4.在等比数列中，，且，则（）A.1 B.2 C. D.5.已知命题：，，命题：，，若为真命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知，是双曲线：（，）的左、右焦点，直线：与双曲线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.47.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期（）（参考数据：，）A.距今约在4011年到5730年之间B.距今约在3870年到11460年之间C.距今约在4011年到11460年之间D.距今约在2005年到5730年之间8.已知函数（），函数图象的一个对称中心为，现将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，当时，函数的值域为（）A. B. C. D.9.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知菱形中，，，，，若，则（）A. B. C. D.11.已知，，则，之间的大小关系是（）A. B. C. D.无法比较12.已知函数，，若任意给定的，总存在两个不同的（），使得成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知单位向量，，满足，则向量，的夹角为______.14.若实数，满足约束条件，则的最大值是______.15.过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于______.16.已知数列，满足，，，，，令，则满足的的最小值为______.三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须回答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线长为，求的周长.18.（12分）已知四棱锥，底面正方形，，为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面.（1）证明：；（2）当为的中点，与平面所成的角为，求点到平面的距离.19.（12）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，有效减少交通事故死亡人数，2020年4月，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动为研究交通事故中摩托车驾乘人员致死与是否戴头盔有关，现对发生交通事故的摩托车驾乘人员做相关调查，制成如下列联表.交通事故致死交通事故不致死总计不戴头盔8020100戴头盔2080100总计100100200（1）现从交通事故致死的驾乘人员中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行调查，求这2人都是不戴头盔致死的概率；（2）是否有99.9%的把握认为交通事故中摩托车驾乘人员致死与不戴头盔有关？附：（其中）（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820.（12分）在平面直角坐标系中，已知定点，直线:，动点到点的距离与到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设，过点作直线与曲线相交于不同的两点，.当的面积取得最大值时，求的内切圆的面积.21.（12分）函数.（1）若，求的单调性：（2）当时，若函数有两个零点，求证：.（二）选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，直线：，圆：.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；（2）已知点在圆上，点到直线和轴的距离分别为，，求的最大值.23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知函数（，）.（1）若，，求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，当时，求的取值范围.20202021学年高三年级调研考试高三文科数学参考答案1.【答案】B【解析】，，∴.故选：B.2.【答案】C【解析】因为，所以，.所以.故选：C.3.【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是，故A正确：由图可知，结余最高为7月份，为，故B正确；由图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由图可知，前6个月的平均收入为万元，故D错误.故选：D4.【答案】C【解析】，所以，则，设等比数列的公比为，，两边同除以，得到，解得或（舍），所以，，故选：C5.【答案】D【解析】设，当，，对于命题，，使得，若命题为真，则；设，所以，单调递减，当，单调递增，，，命题：，，若命题为真，则，由于为真命题，所以，均为真命题，所以，故选D.6.【答案】C【解析】∵，∴，∴，直线：的倾斜角为，，所以是等边三角形，，∴，则，所以，故选：C.7.【答案】A【解析】当时，，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的，令，则，∴，∴，∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间，故选：A.8.【答案】B【解析】，∵函数的一个对称中心为，∴，∴，∵，∴，∴，将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，则，∵，，所以函数的值域为，故选：B.9.【答案】C【解析】设球的半径为，平面与球心的距离为，截面圆的半径为，∵，∴平面与球心的距离为，即，∵截球所得截面的面积为，则，∴，故由得，∴，∴球的表面积，故选：C.10.【答案】D【解析】因为，所以，在菱形中，，在中，有，所以，所以，解得，故选：D.11.【答案】B【解析】设，则，.∴，，∴即，故选：B.12.【答案】A【解析】.当时，，，显然不满足题意；当时，函数的变化情况如下表所示01200+1极小值又时，在上是减函数，且对任意，的值域为，此时当时，函数上不存在两个（）使得成立，∴不合题意；当时，函数的变化情况如下表所示0120+01极小值在的最大值为.又时，在上是增函数，且对任意，.由题意可知.∴，综上，实数的取值范围是.故选：A.13.【答案】【解析】根据题意，向量，，设向量，的夹角为，向量，则，则有，；故答案为.14.【答案】9【解析】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时在上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.15.【答案】【解析】当面积取最大值时，，直线与曲线相交于，两点，圆心，半径，是等腰直角三角形，∴，，∴圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得.∵，∴.16.【答案】10【解析】，，故是首项为0.9，公比为的等比数列，故，则，即，当时，；当时，，显然当时，成立，故的最小值为10.17.【答案】见解析【解析】（1）因为，所以，根据三角形正弦定理，即，，，，因为、、是的三个内角，所以，，，.（2）因为是边上的中线，所以，两边平方整理得，①，又因为，所以，即②，由①②，解得，，，则，∴，故的周长为6.18.【答案】见解析【解析】（1）连结、且，连结.因为，为正方形，所以，，因为，，且为的中点，所以，因为，且、平面，所以，平面，因为，平面，所以，，因为，平面，平面，且平面平面，所以，，所以，.（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以，平面，所以与平面所成的角为，所以，∵设，所以，，，∵为的中点，∴点到平面的距离是点到平面的距离的，设点到平面的距离为，∵，∴正方形的弦长为2，，是等边三角形，，∵，即，，解得，所以点到平面的距离是.19.【答案】见解析【解析】（1）在交通事故致死的人员中，不戴头盔与戴头盔的比例是，所以按照分层抽样抽取的5人中，不戴头盔的有人，戴头盔的有人，为了问题研究的方便，将不戴头盔的4人记为，，，，戴头盔的记为.从5人中随机抽取2人，共有10中可能的结果，，，，，，，，，，而这2人都是不戴头盔的有6种可能结果，所以这2人都是不戴头盔致死的概率为.（2）由表计算得：，故有99.9%的把握认为摩托车驾乘人员交通事故致死与不戴头盔有关.20.【答案】见解析【解析】（1）设动点，点到直线的距离为，则，所以，即，化简整理得：.（2）设，，可设直线的方程为，联立，得，∴，，则，则，设，则，当且仅当，即时等号成立，取得最大值.设的内切圆半径为，的周长为，，则，，所以，的内切圆的面积为.21.【答案】见解析【解析】（1）当，，（），所以.设，则，所以在单调递增，又因为，所以当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增.综上，在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：因为函数（）有两个零点，所以方程有两个不等实根.设（），即有两个不等实根，则（）.设（），则由可知，而的对称轴方程为，且，所以存在使得，即，且当时，，则，所以单调递减；当时，，则，所以单调递增.因为有两个不等实根，所以必有，即.将，代入整理可得.设（），则易得在上单调