第五章 方差分析教材

第五章方差分析

ANOVAorAOV第一节方差分析的步骤和原理以“重复次数相等的单因素完全随机试验结果”，又称为“单向分组，组内重复值数目相等”的资料为例表8-15个小麦品系株高（cm）调查结果株号品系ABCDE164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.17069.846663.766.869.168.3565.863.968.57167.5处理总和（Tt）326.5322336.53543431682全试验总和（T）处理平均（Xt）65.3064.4067.3070.8068.6067.28全试验平均（X）一、线性可加模型与平方和、自由度的分解线性可加模型(P.115)：总体中每一个变量可以按其变异的原因分解成若干个线性组成部分，它是方差分析的理论依据。例8.1资料:总体的线性组成:Xij＝μ＋τi＋εij样本的线性组成:Xij＝X＋ti＋eijXij－X＝(Xt－X)＋(Xi.－Xt)2．变异的效应与平方和、自由度的分解总变异效应是各观察值Xij与总平均株高X的离差，即：Xij－X＝Xij－67.28总变异部分由两个部分组成：处理效应

Xt－X＝Xt－67.28它是各处理的平均株高Xt

与总平均株高X的离差误差效应

Xij－Xt它是各处理的各观察值Xij与该处理平均株高Xt

的离差

因此原表的25个xij，当皆以离均差的形式表示时，就得到以下结果总效应：Xij－X株号品系ABCDE1-2.68-2.780.524.521.922-1.98-1.98-0.984.820.923-2.48-2.68-0.182.722.524-1.28-3.58-0.481.821.025-1.48-3.381.223.720.22SST＝Σ(Xij－X)2＝（-2.68）2＋（-1.98）2＋……＋0.222＝147.32dfT＝5×5－1＝24处理效应：Xt－X株号品系ABCDE1-1.98-2.880.023.521.322-1.98-2.880.023.521.323-1.98-2.880.023.521.324-1.98-2.880.023.521.325-1.98-2.880.023.521.32SSt

＝Σ(Xt-X)2＝5×（-1.98）2＋5×（-2.88）2＋……＋5×1.322＝131.74dft＝5－1＝4误差：Xij－Xt株号品系ABCDE1-0.70.10.51.00.620.00.9-1.01.3-0.43-0.50.2-0.2-0.81.240.7-0.7-0.5-1.7-0.350.5-0.51.20.2-1.1SSei1.481.62.986.263.2615.58SSedfei4444420dfeA-2.68-1.98-2.48-1.28-1.48B-2.78-1.98-2.68-3.58-3.38C0.52-0.98-0.18-0.481.22D4.524.822.721.823.72E1.920.922.521.020.22＝＋A-1.98-1.98-1.98-1.98-1.98B-2.88-2.88-2.88-2.88-2.88C0.020.020.020.020.02D3.523.523.523.523.52E1.321.321.321.321.32A-0.70-0.50.70.5B0.10.90.2-0.7-0.5C0.5-1-0.2-0.51.2D11.3-0.8-1.70.2E0.6-0.41.2-0.3-1.1看黑板(直观理解，有利记忆）二、期望均方与F测验期望均方：某因素引起的变异方差的理论组成（EMS）P.108处理的总体效应：误差的总体效应：由样本估计时：（黑板上）比较项目固定模型随机模型混合模型τi固定的随机的某些因素的效应是固定的，某些是随机的。处理所属总体k个处理来自k个亚总体k个处理来自1个亚总体目的研究处理效应H0:μi＝μSS/DFF多重比较研究τi的变异程度H0:στ2≤σe2

SS/DFFστ2的分解重复试验处理不变处理变动EMS用η2表示方差用σ2表示方差运用范围栽培试验，品种比较数量遗传研究固定效应模型与假设测验F=MSt/MseF=多一项的均方/少一项的均方表15个小麦品系株高的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05处理间4131.7432.942.32.866处理内2015.580.78

总变异24147.32

Ho:μ1＝μ2

＝

…＝μ5；HA:μ1、μ2

、…、μ5间两两不等推断：不同品系间株高有显著差异。需要进行平均数间的多重比较测验来确定各平均数间的差异显著性。随机效应模型与假设测验表8.24窝动物的出生重(克)动物号窝别IIIIIIIV134.733.227.132.9233.32623.331.4326.228.627.825.7431.632.326.728Tt125.8120.1104.9118Xt31.4530.02526.22529.5表8-6某动物不同窝出生体重的方差分析差异源SSdfMSFF0.05EMS窝间58.575319.5251.973.49σe2+4στ2窝内(误差）118.945129.9121σe2总计177.5215

Ho:στ2≤σe2,HA:στ2

＞σe2推断:不同窝间该动物的出生体重间没有显著差异。三、多重比较多重比较：平均数间的两两比较多重比较（一）LSD法Sx1-x2=0.5582114t0.05,20=2.086t0.01,20=2.85LSD0.05=1.164LSD0.01=1.591表25个小麦品系株高平均数的差异显著性（字母标记法）品系苗高(cm)差异显著性α=0.05α=0.01D118.00aAE114.33bBC112.17cCA108.83dDB107.33eDLSDα1.1641.591表35个小麦品系株高平均数的差异显著性（列阶梯表法）品系苗高(cm)差数显著性XAXBXCXDA108.83

B107.331.50*

C112.17-3.33**-4.83**

D118.00-9.17**-10.67**-5.83**

E114.33-5.50**-7.00**-2.17**3.67**LSD0.05=1.164,LSD0.01=1.591Duncan测验SE＝（0.779/5)1/2=0.5582查dfe下的rα(表9，P.269)计算Rα=SE×Rα查表9，P.269,计算Rαp2345r0.05,202.953.13.183.25r0.01,204.024.224.334.4R0.05,201.1641.2241.2551.283R0.01,201.5871.6661.7091.737此题Duncan法差异显著性检验结果与LSD法相同（巧合）四、推断例8.1资料的分析结果推断：5个品系的株高间均有显著差异，D品系的株高最高，其余依次为E，C，A，B。方差分析步骤总结数据整理平方和和自由度的分解列方差分析表进行F测验多重比较推断第二节方差分析的基本假定和数据转换一、基本假定二、数据转换(P.140-141)使方差同质例如：

每50次捕捉获得牧草盲蝽数（x）处理ⅠⅡⅢⅣSi

2A75416.25B61215.67C62106.92D01200.92E10120.67F51491521.58X’=(X+1)1/2处理ⅠⅡⅢⅣSi

2A2.832.452.241.410.36B2.651.411.731.410.34C2.651.731.4110.49D11.411.7310.13E1.4111.411.730.09F2.453.873.1640.51使误差方差作独立的，正态分布补充例题：不同处理有生活力花粉的百分数

（盖本，例6.15P.126表6.38）处理对照ABC重复值（%）979593709177786882727566856476497856635577687164处理对照ABC比例1/20.9848860.97467940.9643650.836660.9539390.87749640.8831760.8246210.9055390.84852810.8660250.8124040.9219540.80.871780.70.8831760.74833150.7937250.741620.8774960.82462110.8426150.8处理对照ABCarcsin(p)1/2（弧度）1.3967131.34528291.3030330.9911571.2661041.07061671.0825910.9695321.1326471.01319751.0471980.9482631.1730970.92729521.0588240.7753971.0825910.84554310.9169090.8354821.0706170.96953211.0021210.927295处理对照ABCarcsin(p)1/2（角度）80.177.174.756.872.661.462.155.664.958.160.054.467.253.260.744.462.148.552.647.961.455.657.453.2表2

不同贮藏方式花粉活力的方差分析差异源SSdfMSFFcrit处理间783.6723.000261.2244.5943.098处理内1137.19320.00056.860总计1920.86423.000

否定Ho，接受HA,

不同贮藏方式的花粉活力间有显著差异。需要进行平均数间的多重比较．Ho:μ1=μ2=…=μ4,HA:μ1,μ2,…,μ4两两不等t0.05,20=2.086Sx1-x2=4.354LSD0.05=9.081表3不同贮藏方式花粉活力的差异显著性处理ASIN(P)1/2P(%)差异显著性对照68.0485.98aB61.2576.82aA58.9673.37aC52.0462.12bLSD0.059.081使环境效应与处理效应变为可加性补充例题：可加性模型与非可加性模型的比较处理可加性倍加性对倍加性取对数(lg10)121212A1020102011.3B304030601.481.78第三节完全随机试验结果

的分析方法一、单因数完全随机试验结果分析（一）重复次数相等的资料（单向分组组内重复次数相等的资料）P.104:例８.1表８－１资料例8.2表8-2(二)重复次数不等的资料

盖本P.113,(杜本P112)稻田类型观察值TtXtniⅠ1213141515161710214.577Ⅱ1410111314117312.176Ⅲ9210111213121180108Ⅳ1211109810127210.297T=327X=11.68Σni=28C=3818.89变异来源DFSSMSFF0.01EMSP稻田类型间396.1309532.0445.924.720.0034误差24129.97625.4157总变异27226.10718.3743

no=6.97619作业P117-1188.38.58.68.7二、两因素完全随机试验结果的分析（一）处理组合内没有重复的试验结果（两向分组组内没有重复的资料）P.119例6.13单因素的区组试验也为此种类型的资料补充例题:两向分组组内无重复值的资料M\HH1H2H3TMXMM11314144113.67M21212133712.33M333393.00M410910299.67M5254113.67TH404344T=127XH8.08.68.8X=8.47补充题分析方法见黑板浓度与浸种时间试验结果的

方差分析变异来源DFSSMSFF0.05浓度间4289.0672.27116.56**3.84时间间21.730.871.404.46误差84.940.62总变异14295.73浓度与浸种时间试验

浓度平均数的多重比较差异显著性处理平均数α=0.05α=0.05M113.67aAM212.33aAM49.67bBM53.67cCM33.00cCLSD1.4832.15两因素完全随机没有重复的试验特点、应用前提和要求特点:处理组合内没有重复前提:已知A、B互作不存在要求:重复次数必须满足dfe≥12（8OK）两因素完全随机试验结果分析

(二)处理内重复次数相等的资料(两向分组组内重复值数目相等的资料）P.120，122例6.14Ⅰ固定模型资料的方差分析例6.14，P.122，表6.31表6.31资料的分析

步骤1.整理处理单向分组表，分解平方和与自由度处理重复值处理总和TAB(3)A1B121.421.220.162.7A1B219.618.816.454.8A1B317.616.617.551.7A2B112.014.212.138.3A2B213.013.712.038.7A2B313.314.013.941.2A3B112.813.813.740.3A3B214.213.613.341.1A3B312.014.614.040.6T=409.4(27)SSe=SST-SSt=219.28-202.58=16.70Df

T=abn-1=26Df

t=k-1=ab-1=8Dfe=k(n-1)=182.列A、B两向表，分解平方和、自由度表6.31资料的AB两向表A\B(TAB(n))B1B2B3TA(bn)A162.754.851.7169.2A238.338.741.2118.2A340.341.140.6122.0TB(an)141.3134.6133.5T(abn)=409.43.列方差分析表进行F测验4.推断:表6.1资料推断P.124中间肥料A1对小麦的增产效果最显著，不同土类对产量的影响不显著，但土类与肥类两因素间互作效应显著，表现在A1肥料施于B1土壤上对小麦的增产效果更好。注意1、有重复与无重复试验的比较2、交互作用的判断ⅣA、B两因素试验不同模型

期望均方比较

P.121，表6.28EMS变异来源MSA、B固定A、B随机A随机、B固定AMSAσ2

ε＋bnΚ2

ασ2

ε＋nσ2αβ＋bnΚ2

ασ2ε＋bnΚ2

αBMSBσ2

ε＋anΚ2βσ2

ε＋nσ2αβ＋anΚ2

βσ2

ε＋nσ2αβ＋anΚ2

βA×BMSABσ2

ε＋nΚ2αβσ2

ε＋nσ2αβσ2

ε＋nσ2αβ误差MSeσ2

εσ2

εσ2

ε三三因素完全随机试验结果的方差分析例13.2P.253例13.2P.253列处理单向表（表13.9），求SST,SSt,SSe和相应的DF列AB、AC和BC两向表求SSA，SSB，SSAB，SSC，SSAC，SSBC，SSABC和相应自由度。AB两向表（表13.10）A\BTAB(nc)B1B2TA(nbc)A1182.4300.4482.8A2170.9265.3436.2A3155.5338.2493.7TB(nac)508.8903.9T=1412.7SSA.B两向总=ΣT2AB/nc–C=(182.42+300.42+338.22)/10-33262.02=2904.011SSAB=SSA.B-SSA-SSB祥见：253，254第四节随机完全区组试验结果的分析一单因素完全随机区组试验结果分析

(两向分组组内无重复观察值的结果分析P.119，表6.13等）1完整试验数据的分析例12.3P.228A.平方和自由度的分解区组品种ⅠⅡⅢTtXtA10.99.112.232.210.7B10.812.314.037.112.4C11.112.510.534.111.4D9.110.710.129.910E11.813.916.842.514.2F10.110.611.832.510.8G10.011.514.135.611.9H9.310.414.434.111.4Tr83.191.0103.9T=278.0X=11.6B.表12.4表12.3结果的

方差分析变异来源DFSSMSFF0.05区组227.5613.788.4*3.74品种734.084.872.97*2.77误差1422.971.64总变异2384.61推断:区组间差异显著,说明区组划分正确,控制误差效果显著。品种间差异显著。C.多重比较平均数间的比较

Sx1-x2=(2MSe/r)1/2总和数间的多重比较

ST1-T2=rSx1-x22有缺失数据的结果分析缺值估计总体线性模型:

xij=μ+τi+βj+εijεij=xij-μ-τi-βj样本线性模型:eij=(xij-x)-(xt-x)-(xr-x)=xij-xt-xr+x令缺值x所带有的误差为零

e’ij=xij-x’t-x’r+x’=0自学P.233～P.235二两因素试验结果的方差分析P.249例13.7图13.1三三因素试验结果的分析

P.257自学P.261表13.23及其下方的F测验中多一项均方比上少一项均方的方法第四节拉丁方试验结果的

方差分析一、单因素试验结果的方差分析P.236例12.6纵行区组横行区组12345TrⅠD(37)A(38)C(38)B(44)E(38)195ⅡB(48)E(40)D(36)C(32)A(35)191ⅢC(27)B(32)A(32)E(30)D(26)147ⅣE(28)D(37)B(43)A(38)C(41)187ⅤA(34)C(30)E(27)D(30)B(41)162Tc174177176174181T=882表12.6资料的处理单向表品种XTtXtA383532383417735.4B444832434120841.6C383227413016833.6D373626373016633.2E384030282716333.6表12.17表12.15资料的方差分析变异来源DFSSMSFF0.05横行区组4348.6487.16纵行区组46.641.