第九章动态电路的时域分析

第九章动态电路的时域分析本章内容动态电路的方程及其初始条件9-1一阶电路的零输入响应9-2一阶电路的零状态响应9-3一阶电路的全响应9-4一阶电路的阶跃响应9-5一阶电路的冲激响应9-6二阶电路的零输入响应9-7二阶电路的零状态响应和全响应9-8§9-1动态电路的方程及其初始条件1、动态电路的方程动态电路含有动态元件(电容和电感)的电路称动态电路。动态元件（储能元件）元件的电压电流约束关系通过导数(或积分)表达。特点

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。在图9-1中图9-1过渡过程事例K接通电阻支路中灯泡立即发亮程度不再变化。电感支路的灯泡由暗逐渐变亮达到稳定。电容支路的灯泡由立即发亮但很快变为不亮。过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。换路电路结构或参数发生变化引起的电路变化一般认为换路是在t=0时刻进行的。t=0：换路时刻，换路经历的时间为0—到0+；t=0—

：换路前的最终时刻；t=0+：换路后的最初时刻。分析动态电路的过渡过程的方法之一（经典法）：根据KCL，KVL和VCR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）。用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。若描述电路动态过程的微分方程为n阶，所谓初始条件就是指电路中所求变量（电压或电流）及其1阶至（n﹣1）阶导数在时的值，也称初始值。电容电压和电感电流称为独立的初始条件，其余的称为非独立的初始条件。2、电路的初始条件电容的电荷和电压取则若，则，且电容上电荷和电压不发生跃变！①若时，,则有,,故换路瞬间，电容相当于电压值为的电压源；②若时，,则应有,,则换路瞬间，电容相当于短路。电感的磁链和电流取则若（有限值），

则

,且电感的磁链和电流不发生跃变！①若时，,则有,故换路瞬间，电感相当于电流值为的电流源②若时，,则有,故换路瞬间，电感相当于开路。换路定律qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)

换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。注意电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。换路定律反映了能量不能跃变。求初始值的步骤:1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。小结例9-1电路如图所示，开关闭合时电路已达稳态。t＝0时打开开关，求iC(0+)。+-10ViiC+uC-S10k40k解：(1)由0－电路求uC(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(2)由换路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(3)

由0+等效电路求

iC(0+)+8V-0+等效电路+-10ViiC10k电容用电压源替代例9-2电路如图所示，t=0－时电路已处于稳态，t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+-解先求iL10V1

4

+-电感短路应用换路定律:iL(0+)=iL(0－)=2A由0+等效电路求uL(0+)2A+uL-10V1

4

+-电感用电流源替代§9-2一阶电路的零输入响应零输入响应无外施激励，由动态元件的初始值引起的响应。1、RC电路的零输入响应RC电路的零输入响应如图所示，分析过程如下：t<0时，S1闭合，S2断开，C被充电t=0时，换路（开关瞬时动作）t≥0时，S1断开，S2闭合，C放电iS(t=0)+–uRC+–uCR电路的微分方程为特征方程RCp+1=0特征根时间常数①，换路时，，但，电流发生跃变；②时间常数越小，电压、电流衰减越快，反之，则越慢；时，；时，；ⅰ）经过常数，总有

ⅱ)过渡过程的结束，理论上；工程上。t0

2

3

5

U00.368U00.135U00.05U00.007U0③指数曲线上任意点的次切距长度都等；RC电路中与t的关系曲线④，可用改变电路的参数的办法加以调节或控制；⑤能量转换关系：电容不断放出能量，电阻不断消耗能量，最后，原来储存在电容的电场能量全部为电阻吸收并转换为热能。2、RL电路的零输入响应RL电路的零输入响应如图所示，分析过程如下：t<0时，S1与b端相接，S2断开，L通电t=0时，换路（开关瞬时动作）t≥0时，S1投向c端，S2闭合，L放电电路的微分方程及其解为时间常数①零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性；②零输入响应都是随时间按指数规律衰减的，因为没有外施电源，原有的贮能总是要逐渐衰减到零的；RL电路中与t的关系曲线③零输入比例性，若初始状态增大N倍，则零输入响应也相应地增大N倍；④特征根具有时间倒数或频率的量纲，故称为固有频率。

时间常数求解：换路后，把电容C（电感L）断开，求出二端子间的戴维宁等效电阻，，零输入响应求解：①；②求解其它量（利用KCL、KVL、元件VCR）例9-3图示电路中t=0时，开关由a投向b，在此以前电容电压为U0，试求t≥0时，电容电压及电流。解：时间常数,从R2左端看进去的等效电阻。例9-4t=0时,打开开关S，求uviLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V解iL

(0+)=iL(0－)=1A+_§9-3一阶电路的零状态响应零状态响应动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加激励作用所产生的响应。1.RC电路的零状态响应RC电路的零状态响应如图所示，分析过程如下：t<0时，开关闭合，电容通过R放电完毕t=0时，打开开关t≥0时，电流源与RC电路接通电路的微分方程为通解为其中①为稳定分量，与外施激励的变化规律有关，又称强制分量；②(对应齐次方程的通解)取决于特征根，与外施激励无关，也称为自由分量，自由分量按指数规律衰减，最终趋于零，又称为瞬态分量。RC电路中UC与t的关系曲线2.RL电路的零状态响应RC电路的零状态响应如图所示。iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—类似于RC电路，可求出零状态响应为①当电路达到稳态时，电容相当于开路，而电感相当于短路，由此可确定电容电压或电感电流稳态值；稳态值②固有响应，微分方程通解中的对应齐次方程的解，因其随时间的增长而衰减到零，又称为暂态响应分量；③强制响应，微分方程通解中的特解，其形式一般与输入形式相同，如强制响应为常量或周期函数，又可称为稳态响应；④RC、RL电路，输入DC，贮能从无到有，逐步增长，所以，从零向某一稳态值增长，且为指数规律增长；⑤零状态比例性，若外施激励增大倍，则零状态响应也增大倍，如果有多个独立电源作用于电路，可以运用叠加定理求出零状态响应。3、RL电路在正弦电压激励下的零状态响应RL电路在正弦电压激励下的零状态响应如图所示，分析过程如下：电路方程：通解为自由分量：（特征方程）强制分量：为方程的特解这里：由①强制分量与外施激励按相同的正弦规律变化；②自由分量随时间增长而趋于零，自由分量指数函数

前的系数与有关，即与开关闭合的时刻有关。a)若开关闭合时，，则b)若开关闭合时，，则不发生过渡过程③很大（），衰减极慢，

；④RL电路与正弦电流接通后，在初始值一定条件下，电路过渡过程与开关动作的时间有关。零状态响应求解（直流激励）：①②求解其它量（利用KCL、KVL、元件VCR）例9-5在图示电路中，t=0时，开关由a投向b,并设在t=0时，开关与a端相接为时已久，试求t≥0时，电容电压及电流，并计算在整个充电过程中电阻消耗的能量。解：能量与R的大小无关。又因，可见例9-6在图示电路中，t=0时，开关S闭合，求。解：可用戴维南定理将原电路图简化iL10HUocReq+－例9-7如图所示，开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的电流iL(t)及电压源发出的功率。解：iL(0-)=0时利用戴维南定理等效总电流：功率：§9-4一阶电路的全响应全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。一阶电路的全响应分析如下：通解又因显然原图中

即全响应=（零输入响应）+（零状态响应）全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应。全响应=暂态响应（固有响应）+稳态响应（强制响应）例9-8图示电路中，t=0时，恒定电压加于RC电路，已知，，，求时的。零输入响应：零状态响应：暂态响应：稳态响应：解：无论是把全响应分解为零输入响应和零状态响应，还是分解为暂态响应和稳态响应，都只是从不同角度去分析全响应的。而全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素所决定的。在直流电源激励下，如用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该电压或电流的初始值，f(∞)表示响应的稳定值，τ表示电路的时间常数，则f(t)可表示为响应f(t)主要由f(0+)、f(∞)和τ三要素决定，因此称f(0+)、f(∞)和τ为一阶电路的三要素。只要求出这三个要素,可由公式直接写出电路的全响应，这种方法称为三要素法。该式子被称为一阶电路的三要素公式。三要素法求解电路步骤:①确定初始值f(0+)在换路前电路中求出uC(0-)或iL(0-)，如果0-时电路稳定，则电容C视为开路，电感L用短路线代替。根据换路定律得uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)。②确定新稳态值f(∞)由换路后t=∞的等效电路求出。电容C视为开路，电感L视为短路。③求时间常数τ求出戴维宁等效电阻，则例9-9已知：t<0时电路处于稳态，t=0时闭合开关，求换路后的uC(t)1A2

1

3F+-uC解tuc2(V)0.6670§9-5一阶电路的阶跃响应阶跃响应激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。1、阶跃函数单位阶跃函数定义：t

(t)01t=0时无定义，函数在t=0这一点是不连续的。该函数在时域内发生跃变，阶跃幅度为1，故称为单位阶跃函数。单位阶跃函数的波形如图所示。

单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001可看作是在时间轴上向右平移后的结果（一般认为>0），所以把它称作延迟的单位阶跃函数。2、阶跃函数的作用①阶跃函数表示电源作用t=0合闸

u(t)=A②阶跃函数可用来“起始”任意一个f(t)。③阶跃函数和延时阶跃函数可表示分段直流信号，矩形脉冲等。④积分式中对单位阶跃函数的处理例9-11试用阶跃函数分别表示下图中的脉冲串、正负脉冲和梯形信号。解：3、阶跃响应电路对单位阶跃函数的零状态响应称为单位阶跃响应。求单位阶跃响应就是零状态响应。其求法与零状态响应的方法相同，只要把输入改为即可。例如：RC一阶电路中，令，则单位阶跃响应例9-12求图示零状态RL电路在图中所示脉冲电压作用下的电流，其中。

解：该电路的零状态响应为∵∴根据叠加定理例9-13

RC电路如图所示，已知，求电流。

解：零输入响应零状态响应

§9-6一阶电路的冲激响应1、冲激函数定义其定义可通过下图(a)来描述。该函数波形与横轴包围的面积等于1。（b）为单位冲激函数，(c)为延时的冲激函数。单位脉冲函数函数可看成单位脉冲函数的一种极限，当一个单位脉冲函数的宽度变得越来越窄时，它的幅度越来越大，当时，幅度就变为无限大，但其面积仍为1；单位延时冲激函数2、冲激函数的性质①冲激函数是阶跃函数的导数②单位冲激函数的“筛分性质”

由于t≠0时，，所以对任意在t=0时连续的函数f(t)，有对于在t=t0时连续的函数f(t)，有有③为偶函数3、电容电压和电感电流的跃变1）电容电压的跃变①若在t=0时，有冲激电流流经电容,则否则若无冲激电流，电容电压不能突变②若在t=0时，流过电容的电流为单位冲激电流，则2）电感电流的突变a）若在t=0时，施加于电感的冲激电压为，则否则若无冲激电压，电感电流不能突变。b）若在t=0时，施加于电感的端电压为单位冲激电压,则①换路后，纯电容或仅由电容及电压源构成的回路中，电容电压可能突变；如电容电压发生突变，则有冲激电流流过电容；②换路后，纯电感或由电感及电流源构成的割集中，电感电流可能跃变；如电感电流发生突变，电感两端出现冲激电压。4、冲激响应1）冲激响应：零状态电路对单位冲激信号的响应；2）计算方法：先计算由产生的在时的初始状态，然后求解由这一初始状态产生的零输入响应（前述方法），即为t>0时冲激响应；3）时电容电压及电感电流初始值的确定①冲激电源作用于电路的瞬间,电感应看成开路，不论电感原来是否有电流(因电感贮能为有限值，电感电流应为有限值，故电感之中不应出现冲激电流)；②冲激电源作用于电路的瞬间，电容应看成短路，不论电容原来是否有电压(因电容贮能为有限值，电容电压应为有限值，故电容两端不应出现冲激电压)。4）RC电路中电容电压的冲激响应解：将电容看作短路(t=0)时，冲激电流全部流过电容或5）RL电路中电感电流及电压的冲激响应解：把电感开路(t=0)，冲激电压全部出现于电感两端例9-14试确定图示电路中的电感电流及电压的冲激响应。解：①t=0时，电感看作开路②冲激电压出现在电感两端，使电感电压发生跃变③t>0时，R1与R2并联，，由等效电路可知,5、由阶跃响应求冲激响应冲激响应h(t)与阶跃响应s(t)的关系求冲激响应的另一种方法，先求阶跃响应，再求阶跃响应的导数，便可得到冲激响应。例9-15利用冲激响应是阶跃响应的导数性质，求解图示电路中电容电压的冲激响应。解：该电路电容电压的阶跃响应为§9-7二阶电路的零输入响应

二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路。在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件的初始值决定。串联电路RLC和并联电路GLC为最简单的二阶电路。如图所示，假设电容原已充电，其电压为Uo，电感中的初始电流为Io。t=0，开关S闭合，此电路的放电过程即是二阶电路的零输入响应，分析如下：1、电路方程2、方程的解设代入上式,得到特征方程:所以特征根：给定的初始条件为又因为，因此有而，可解得零状态响应的三种情况(1)，非振荡放电过程，称为过阻尼特征根是两个不等的负实数，电容上的电压为电流为电流达最大值得时刻可由决定(2)，振荡放电过程，称为欠阻尼特征根是一对共轭复数，若令，则于是有，令，，则有根据欧拉公式，可求得：电流为电感电压(3)，临界情况，称为临界阻尼特征方程具有重根，根据初始值，可确定电容电压为电流为电感电压(4)R=0，称为无阻尼例9-16电路如图所示，，开关S原来闭合在触点1处，t=0时，开关S由触点1接至触点2处，求：(1)(2)。解：(1)特征根§9-8二阶电路的零状态响应和全响应二阶电路的初始储能为零（即电容两端的电压和电感中的电流都为零），仅由外施激励引起的响应称为二阶电