2023年新高考数学一模试题汇编15 计数原理（解析版）

专题15计数原理

一、单选题

1.（2023・山东荷泽・统考一模）为了迎接“第32届荷泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员

需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，

丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）

A.9种B.11种C.15种D.30种

【答案】C

【分析】利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种

数.

【详解】解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，

然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有=12种分工方法；

若丙不是美工，则丙一定是总负责人，

此时需从甲、乙、内之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C专种分工方法；

综上，共有12+3=15种分工方法，

故选：C.

2.（2023•山东淄博・统考一模）某公园有如图所示4至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息,

要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（）

ABCD

EFGH

A.168B.336C.338D.84

【答案】B

【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个

位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4x3x2=24种，

第二步：排女生，若男生选4尸，则女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,CG共7种选择，由于女生可以互换，

故女生的排法有2X7=14种，

根据分步计数原理，共有24X14=336种，

故选：B

3.（2023•山东潍坊•统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事

业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失

重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须

安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有()

A.24种B.36种C.48种D.60种

【答案】B

【分析】根据特殊元素"失重飞行''进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试

的安排方案种数.

【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有A1=6种安

排方法，

此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；

②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有&种选择，超重耐力在第四、第五天有C：种选择，剩下两种测

试全排列则有CJGA/=8种安排方法，

此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；

③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C；种选择，超重耐力在第一、第五天有C；种选择，剩下两种测

试全排列A：,则有A：=8种安排方法；

故选拔测试的安排方案有6×2+8×2+8=36种.

故选：B.

4.(2023•湖南长沙•统考一模)G-2)(1-2x)4的展开式中，常数项为()

A.-4B.-6

C.-8D.-10

【答案】D

【分析】先求出(1-2x)4展开式的通项公式，然后求出其一次项系数和常数项，从而可求得结果.

【详解】(I-2x)4展开式的通项公式为TV+】=C；(-2x)r=Cζ(-2)r∙xr,

所以G-2)(1-2x)4的展开式中，常数项为

C：X(-2)+(-2)XC：=-8-2=-10,

故选：D

5.(2023•广东梅州•统考一模)若从0,I,2,3,…9这10个整数中同时取3个不同的数,则其和为偶数

的概率为()

A-⅛B∙[C∙ɪd∙Ξ

【答案】D

【分析】先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，利用古典概型概率求解.

【详解】10不同的数取3个不同的数的情况为：C∣o=120,

其中3个之和为偶数的情况为：

①三个为偶数：Ci=10,

②两奇数一偶数：C专Cg=50,

共60种情况，所以所求概率为：瑞=/

故选：D.

6.（2023•广东茂名・统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（）

A.480种B.240种C.15种D.10种

【答案】D

【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.

【详解】解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有CW=10方法，

故2个8不相邻的情况有10种.

故选：D

7.（2023・广东深圳•统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至

少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）

A.-B.—C.—D.—

5IO2525

【答案】D

【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出

各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.

【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；

当分为3,1,1人时，有髭Ag=60种实习方案，

当分为2,2,1人时，有笔1∙Ag=90种实习方案，

即共有60+90=150种实习方案，

其中甲、乙到同一家企业实习的情况有的AW+CjAl=36种，

故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为需=

故选：D.

8.（2023・重庆・统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任

选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾''三个不同项目，

每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）

A.36B.81C.120D.180

【答案】D

【分析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔

离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.

【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有Cg=5种不同的选派方案，

再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾''三个不同项目，

有CjAw=6x6=36种不同的选派方案，

所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有CgCjA,=5x36=180种.

故选：D.

9.（2023・重庆•统考一模）某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶

晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥

会吉祥物“冰墩墩”,2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”,若他从这15个吉祥物中随机取出两个,

这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）

A.—B.-C.-D.-

105S3

【答案】B

【分析】先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.

【详解】15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，

他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为m="

CIS5

故选：B

二、多选题

10.（2023・湖南岳阳•统考一模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有

“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件4为“恰有两名

同学所报项目相同“，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人'项目”，则（）

A.四名同学的报名情况共有34种

B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种

C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是够

D.P（BM）=W

O

【答案】ACD

【分析】根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判

断B,C；根据条件概率的概率公式，可判断D.

【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，

则共有3×3×3×3=34种,A正确;

“每个项目都有人报名''，则必有两人报同一个项目，

故此时报名情况有CicAg=36种，B错误；

“四名同学最终只报了两个项目“，此时可先选出两个项目，

报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，

故共有CxCj+C：A介=42种报名情况，

则“四名同学最终只报了两个项目，，的概率是Il=SC正确；

事件A为“恰有两名同学所报项目相同“，WCiAl=36种报名方法，

则P(A)=.T，

事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，

若4B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，

则有C次=6种报名方法，则PoIB)=捺=亲

故户(BM)=瑞=拿=，，D正确，

故选：ACD

三、填空题

11.(2023•福建・统考一模)近年来，“剧本杀”门店遍地开花.放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门

店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A,B角色各1人，C角色2

人.已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人

观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A,8角色不可同时为女生.则店主共有_________种选

择方式.

【答案】348

【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.

【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类，

第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演

A,B角色有A专种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A,B角色1名男生1名女生，女生先选有CL

剩下的一个角色从3名男生中选1人,则C：种，所以共有CC(A1+C⅛C⅛)=144种,

第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演

A,B角色有Ag种，剩余的2名女生扮演C角色，或A,B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角

色有C犯之,剩下的一个角色从2名男生中选1人，则C；种，所以共有C犯久A"C犯犯力=180种，

第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A,B角色1

名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C；©,剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色

C,所以共有C犯=24种，

由分类计数原理可得：店主共有144+180+24=348种选择方式，

故答案为:348.

12.(2023•山东临沂・统考一模)(/+1)GX-£)6的展开式中常数项为______.

【答案】-100

【分析】求出(2x-3)6的展开式的通项，再分别求出常数项和专的系数即可求解.

【详解】Qx-：)6展开式中通项为几+1=C*.(2x)6-fe(-%-1)k=(-l)k∙26-kClx6-2k,

令6-2∕c=0,则Jc=3,令6-2k=-2,则k=4,

所以常数项为-23或+22C⅛=-160+60=-100.

故答案为：—100.

13.(2023•山东威海•统考一模)在(x+α)6的展开式中的炉系数为160,则α=_______.

【答案】2

【解析】首先求出(x+α)6的展开项中/的系数，然后根据一系数为160即可求出ɑ的取值.

【详解】由题知4+1=却氏二鼠,

当r=3时有7；=C1x3a3=160x3nC^a3=160,

解得a=2.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.

14∙(2023∙山东日照•统考一模)在(1一%)5的展开式中的系数为___________.

【答案】10

【解析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出.

【详解】(I-X)5的展开式通项为7r+ι=M(-χ)r,令％=2,所以"的系数为盘(-1)2=10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题.

15.(2023・湖南邵阳・统考一模)(x-2y)3(y-2z)S(z-2x)7的展开式中不含Z的各项系数之和_____.

【答案】128

【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得Z项

基次为0,确定项数后即可得到答案.

【详解】(X-2y)3(y-2z)5(z-2x)7利用二项展开式的通项公式进行展开，设(X-2y)3项为k,(y-2z)s

项为n,(z-2x)7项为m.

展开后得Cg3-kQ2y)k.Cgy5-n(_2z)n,C7y7f(-2z)m对每一项进行合并得

C^Cψ(-2-)m+k+nx3-k+my5-n+kz7-m+n,因为展开式中不含z,所以7-m+n=0,又小得取值为

{0,l,2,3,4,5,6,7},n得取值为{0,1,2,3,4,5},故得Zn=7,n=0.

代入展开式得C第0(—2)7+。1。-45+上=c"-2)7+Oiofy5+k,又上得取值为{0,1,2,3},分别带入后各

项系数之和为C式-2)7+C⅛(-2)8+C式-2)9+C^(-2)10=(-2)7+3∙(-2)8+3-(-2)9+(-2)10=

128.

故答案为：128

16.(2023•广东梅州・统考一模)(1+x)(2-X)5展开式中式的系数为__________.

【答案】40

【分析】易知展开式中/项的系数是由两部分组成，分别求出再相加即可得出结果.

【详解】根据题意可知，展开式中含/的项为1XdX22X(-%)3=-40尤3和X戢χ23×(-X)2=80/两

部分；

所以展开式中二的系数为一40+80=40.

故答案为：40

17.(2023•广东茂名•统考一模)(x+的展开式中/的系数为______(用数字作答).

【答案】56

【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可.

【详解】τr+1=C>8-r,χ-r=CZχ8-2r,

令8-2r=2,解得r=3,所以CW=哉=56.

故(X+O8的展开式中/的系数为56.

故答案为：56

18.(2023•广东深圳•统考一模)(1-x)5的展开式中/的系数为______(用数字做答).

【答案】-10

【分析】利用二项展开式的通项公式求解